МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.9
c
⃝Í. Ã. Êîëìîãîðöåâà, À. Â. Ïèëþãèí
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ
РЯДОВ
Рассматривается приближенное решение функционально-дифференциального
уравнения на основе разложения решения в ряд Тейлора. Обсуждаются условия, гарантирующие необходимую гладкость решения.
Ключевые слова: системы с последействием, формула Тейлора, лайн-непрерывность, лайн-дифференцируемость функционалов.
Рассматривается задача нахождения приближенного решения функционально-дифференциального уравнения
˙
x = f(t, x, xt(·))
(1)
с начальными условиями
x(t0) = x0,
xt0+s(s) = y0(s),
−τ < s < 0.
(2)
Здесь x(t) ∈Rn  конечномерная составляющая решения, τ = const > 0,
xt(·) = {x(t + s), −τ ⩽s ⩽0}  функция-предыстория решения.
Построение приближенного аналитического решения основывается на
разложении решения функционально-дифференциального уравнения по
формуле Тейлора и вычислении коэффициентов с использованием инвариантных и коинвариантных производных. Для конструктивного вычисления коэффициентов (см. [1] ) ряда Тейлора используется техника и конструкции i-гладкого анализа (см. [2] ).
В настоящей работе исследуется гладкость решений функциональнодифференциальных уравнений (1) в зависимости от гладкости правой части системы  отображения
f[t, x(t), x(t + ·)] : R × Rn × Q(−τ, 0] →Rn.
(3)
О п р е д е л е н и е 1. а) Отображение (3) называется линейно-непрерывным (line-continuous), если оно непрерывно вдоль любой непрерывной
(кривой) ψ(·) : [α −τ, β] →Rn, то есть функция f(t, ψ(t), ψ(t + ·)) :
[α −τ, β] →Rn непрерывна на [α, β];
б) отображение (3) называется
линейно-дифференцируемым (line-dierentiable), если оно дифференцируемо вдоль любой дифференцируемой кривой ψ(·), то есть если функция
ψ(·) дифференцируемая, то функция f(t, ψ(t), ψ(t + ·)) также дифференцируема на [α, β].