Динамика полета. Ч.1. Траектории летательных аппаратов

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
С.Д. САЛЕНКО, А.Д. ОБУХОВСКИЙ 
 
 
 
 
ДИНАМИКА ПОЛЕТА 

Часть 1 

ТРАЕКТОРИИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ 
АППАРАТОВ 

Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2014 

УДК 629.7.015(075.8) 
         C 161 

Рецензенты: 

канд. техн. наук  Ю.Н. Темляков; 
канд. техн. наук, доцент В.П. Однорал  
 
Работа подготовлена на кафедре аэрогидродинамики для студентов III, 
IV курсов ФЛА направления «Баллистика и гидроаэродинамика», 
«Авиастроение», «Техническая эксплуатация летательных аппаратов 
и двигателей» 
 
Саленко С.Д. 
C 161            Динамика полета. Ч.1. Траектории летательных аппаратов : учеб. 
пособие / С.Д. Саленко, А.Д. Обуховский. – Новосибирск: Изд-во 
НГТУ, 2014. –140 с. 

     ISBN 978-5-7782-2438-4 

В основе книги лежат классические монографии по динамике полета И.В. Остославского, И.В. Стражевой, А.Ф. Бочкарева, А.М. Мхитаряна, Г.С. Бюшгенса, 
адаптированные к относительно небольшому объему учебной нагрузки, а также 
35-летний опыт чтения курса «Динамика полета» на ФЛА НГТУ профессором 
С.Д. Саленко. 
Излагается теоретический материал первой части курса, посвященной 
изучению траекторий полета летательных аппаратов. 
Работа состоит из 7 глав и приложения. Рассматриваются уравнения движения самолета, системы осей координат, методы расчета траекторий, набор 
высоты, горизонтальный полет, снижение, оптимальные режимы полета на 
дальность, маневpенность самолета, взлет и посадка, способы уменьшения 
взлетной и посадочной дистанций. Каждая глава содержит контрольные вопросы для закрепления пройденного материала. 
Пособие предназначено для студентов III, IV курсов ФЛА направлений 
«Баллистика и гидроаэродинамика», «Авиастроение», «Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей», изучающих курсы «Динамика 
полета» и «Аэрогидрогазодинамика». Кроме того, пособие может быть полезно при курсовом и дипломном проектировании. 
 
 
УДК 629.7.015(075.8) 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-2438-4                                       © Саленко С.Д., Обуховский А.Д., 2014  
© Hовосибиpский государственный         
технический университет, 2014            

ВВЕДЕНИЕ 

Динамика полета (ДП) – раздел механики, изучающий законы движения 
летательных аппаратов (ЛА) в различных средах (атмосфера, космос, атмосфера–вода), условиях эксплуатации (ветер, отказ бортовых систем, двигателя, рулей и т. п.) и этапах полета (взлет, посадка, набор высоты и т. п.). Синонимами 
ДП являются: аэромеханика ЛА, аэродинамика ЛА, механика полета. Динамика 
полета совместно с аэродинамикой – это теоретическая основа авиации и ракетной техники. 
Динамика полета – сравнительно молодая наука. В России в 1876 году 
А.Ф. Можайский начал работать над проектом летательного аппарата тяжелее воздуха, и в 1882 году была предпринята попытка полета построенного 
самолета, закончившаяся неудачей. Немецкий инженер и первый летчикисследователь Отто Лилиенталь в 1889–1896 годах совершил свыше двух 
тысяч полетов на планерах собственной конструкции. В 1896 году Отто Лилиенталь погиб во время полета из-за порыва ветра. 
Первый удачный полет совершил 17 декабря 1903 года самолет братьев 
Райт, пролетев 36,5 метров за 12 секунд. 
Основоположники ДП в России: Н.Е. Жуковский, К.Э. Циолковский, 
С.А. Чаплыгин, В.П. Ветчинкин и другие; за рубежом: Л. Прандтль, 
Г. Глауэрт и др. 
Первые фундаментальные научные труды по ДП появились в России в 
конце XIX – начале XX века: Н.Е. Жуковский «О прочности движения», 1882 
(основные закономерности полета), «О парении птиц», 1892 (связь между углами атаки и наклона траектории), «Динамика аэроплана в элементарном изложении», 1916; А.М. Ляпунов «Общая задача об устойчивости движения», 
1892 (основа современной теории устойчивости движения ЛА); В.В. Ветчинкин – теория винта, курсы лекций по аэродинамике и динамике полета, 1914–
1916 годы, монографии «Динамика полета», 1927, «Динамика самолета», 
1933; С.А. Чаплыгин «К общей теории крыла моноплана», 1922 (расположение фокуса и центра масс ЛА). 
В XX веке весомый вклад в решение важных задач ДП внесли советские ученые В.С. Пышнов, А.И. Журавченко, В.С. Ведров, Б.Т. Горощенко, Б.Н. Юрьев, 
И.В. Остославский, И.В. Стражева, Г.С. Бюшгенс и др. 
В связи с увеличением скоростей полета и аэродинамических нагрузок 
появились новые направления ДП – аэроупругость, аэроавтоупругость. 
На современных ЛА широко применяется автоматика в каналах управления, 
статическая неустойчивость, непосредственное управление аэродинамиче

скими силами и вектором тяги двигателей. Благодаря успехам отечественных ученых в области аэродинамики и динамики полета современные российские истребители стали самыми маневренными самолетами в мире. 
Современный ЛА – это совокупность деформируемых твердых тел переменной в общем случае массы, совершающих в среде с изменяемыми характеристиками как общее переносное, так и взаимные относительные движения. 
Исследование такой системы весьма затруднительно, поэтому в ДП летательный аппарат заменяют механической моделью, т. е. некоторой системой, более простой для анализа, чем реальный объект. 
В ДП обычно используются следующие основные допущения. 
1. ЛА – твердое тело постоянной массы, имеющее шесть степеней свободы (иногда изменение массы необходимо учитывать). 
2. Параметры окружающей среды заданы и неизменны (обычно они определяются по международной стандартной атмосфере (МСА), см приложение). 
3. Кривизну и вращение Земли не учитывают. Земля считается плоской и 
неподвижной. Это допущение несправедливо для полетов со скоростями полета V > 1500... 2000 м/c и при решении задач точной навигации. 
При изучении движения ЛА возникают две основные группы задач. 
Группа 1. Устанавливается связь между внешними силами, которые действуют на ЛА, и параметрами, описывающими траекторию движения и состояние ЛА (координаты, скорость, высота, угловое положение, угловая скорость). Здесь решаются так называемые «прямые» задачи динамики полета: 
зная силы, нужно определить траекторию движения и состояние ЛА. Кроме 
того, существуют и «обратные» задачи: по траектории движения и состоянию 
ЛА найти силы. 
Группа 2. Исследование характеристик устойчивости и управляемости, 
которые имеет ЛА при движении по некоторой траектории (параметры «качества» движения, потребные отклонения органов управления, усилия на рычагах управления). 
В задачах первой группы, как правило, летательный аппарат рассматривается как тяжелая материальная точка (вес которой равен весу ЛА). Поэтому 
движение ЛА описывается только уравнениями равновесия сил. Моменты, 
действующие на ЛА, принимаются равными нулю, т. е. считается, что управление ЛА идеальное и обеспечивает заданную траекторию движения. 
В задачах второй группы ЛА рассматривается как твердое тело или система материальных точек, движущихся под действием сил. Поэтому движение ЛА описывается уравнениями сил и уравнениями моментов. В результате 
решения задач этой группы выясняются возможность движения ЛА по заданной траектории и способы обеспечения такого движения. 
Авторы глубоко признательны доценту И.Е. Бурдуну за помощь в оформлении учебного пособия, ведущему научному сотруднику Ю.Н. Темлякову и 
доценту В.П. Одноралу за полезные замечания, сделанные при рецензировании рукописи. 

Г Л А В А  1 

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛА 

1.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛА В ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ 

В механике различают инерциальные и неинерциальные системы 
отсчета. В инерциальной системе отсчета движение механической системы описывается в векторной форме двумя дифференциальными 
уравнениями. Это уравнение сил и уравнение моментов: 

dQ
F
dt 
;  
 
 
 
 
 
 
 
(1.1) 

dK
M
dt 
, 
 
 
 
 
 
 
 
(1.2) 

где Q  – главный вектор количества движения твердого тела; K – 
главный вектор момента количества движения тела относительно центра масс (ц.м.); F – главный вектор внешних сил, действующих на ЛА; 
M – главный вектор момента внешних сил, действующих на ЛА, относительно центра масс. 

Q  и K  определяются в виде 

;

m
Q
V
dm



  
.

m
K
r
V dm




 

Здесь r – радиус-вектор элементарного объема тела массой dm 
(рис. 1.1); V – вектор скорости элементарного объема тела массой dm; 
dm – элементарная масса. 
Если рассматривать ЛА как твердое тело постоянной массы, тогда 
уравнение (1.1) примет вид второго закона Ньютона: 

.
dV
m
F
dt 
  
 
 
 
 
 
 
 
(1.1') 

Рис. 1.1. К уравнениям дви- 
жения твердого тела 

Уравнение моментов (1.2) остается в неизменном виде. 
Обычно наиболее удобно исследовать движение самолета, используя подвижные системы координат (СК) с началом в ц.м. ЛА. Для записи уравнений (1.1') и (1.2) в проекциях на оси подвижных систем 
координат необходимо вспомнить некоторые свойства векторов. 

1.2. СВОЙСТВА ВЕКТОРОВ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ 

Величина вектора R  (рис. 1.2) не зависит от выбора системы координат. Зная проекции вектора в одной системе координат, можно 
определить его проекции в другой системе, пользуясь, например, таблицами направляющих косинусов, которые приведены в книгах и 
справочниках по динамике полета. 

Производная вектора dR
dt  зависит от того, подвижна система коор
динат или нет. 

Производная вектора dR
dt  в неподвижной системе координат (xн, yн, 

zн) и его производная 
R
t


  в подвижной системе (xп, yп, zп) связаны 

между собой соотношением 

,
dR
R
R
dt
t


 

 
 
 
 
 
 
 
 
(1.3) 

где 

y
x
z
dR
dR
dR
R
i
j
k
t
dt
dt
dt





 – локальная производная вектора R , 

характеризующая его изменение относительно подвижной СК;  – 

вектор угловой скорости вращения подвижной СК относительно неподвижной СК. 

R

z
y

x

y

z
x


 R

п

–

–

–
–

п
п

п

п

п

 
Рис. 1.2. Проекции вектора на оси координат 

Векторное произведение 
R

 можно представить в виде 

,
x
y
z

x
y
z

i
j
k
R

R
R
R


 


  
 
 
 
 
 
 
(1.4) 

где 
, ,
i j k  – единичные векторы подвижной системы координат; 
,
,
x
y
z


  – проекции угловой скорости на оси подвижной системы; 

,
,
x
y
z
R
R
R  – проекции вектора R на оси подвижной системы. 
Уравнения движения (1.1) и (1.2) с учетом (1.3) приобретут вид 

;
V
m
V
F
t



 






                                   (1.5) 

.
K
K
M
t

 


                                    (1.5) 

Уравнения (1.5) и (1.6) – это динамические уравнения движения 
ЛА в подвижной СК. Уравнения позволяют определять изменение скорости перемещения и угловой скорости вращения ЛА в проекциях на 
оси выбранной подвижной СК в зависимости от действующих сил и 
моментов. Кроме этого, необходимо знать положение ЛА относительно земной поверхности. Для этого к динамическим уравнениям необходимо добавить два кинематических: 

0
0
dr
V
dt 
   и         


 , 

где 
0r  – радиус-вектор положения ц.м. ЛА относительно неподвижной 
системы координат; 
,
,
   – углы Эйлера, определяющие ориентацию подвижной системы относительно неподвижной. 
Первое кинематическое уравнение связывает скорость и положение 
ЛА в пространстве, второе – скорость вращения ЛА и угловую ориентацию относительно неподвижной системы. 
Для изучения движения ЛА динамические и кинематические уравнения представляются в скалярной форме в проекциях на оси выбранной системы координат (СК). Вид и сложность уравнений движения в 
скалярной форме зависят от СК. Система координат выбирается так, 
чтобы по возможности упростить решение задачи, следовательно, для 
разных задач динамики полета могут понадобиться разные системы. 

1.3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 

Системы координат, используемые в динамике полета, определяются ГОСТ 20058–80 (за рубежом – ISO 1158). В динамике полета используются в основном прямоугольные, правые СК, связанные с Землей или с ЛА. 
В книгах разных авторов, в разных странах, в разные исторические 
периоды обозначения и названия СК могут быть разными, что может 
вносить некоторую путаницу. 
Система координат характеризуется положением начала координат 
и направлением осей. Рассмотрим более подробно основные системы 
координат, используемые в ДП ЛА. 

Земная СК: O0X0Y0Z0 
Начало O0 и оси X0Y0Z0 зафиксированы относительно Земли и выбираются в соответствии с задачей (рис. 1.3). 

Нормальная земная СК: O0XgYgZg 
Начало O0 находится на поверхности Земли (рис. 1.4). 
Ось O0Xg  направлена с запада на восток или по другому характерному направлению (например, по осевой линии ВПП). Ось O0Yg 
направлена вверх, по местной вертикали. Оси O0Xg и O0Zg лежат в 
плоскости местного горизонта. 

Рис. 1.3. Земная система координат 
Рис. 1.4. Нормальная земная система 
координат 

Нормальная СК: OXgYgZg 
Начало O – находится в центре масс ЛА (рис. 1.5). 
Ось OXg расположена параллельно O0Xg, оси OYg и ОZg – параллельно соответственно O0Yg и O0Zg. 

Связанная СК: OXYZ 
Начало O, как правило, располагается в центре масс ЛА (рис.1.6) 

 
 

Рис. 1.5. Нормальная система 
координат 
Рис. 1.6. Связанная система 
координат 

Продольная ось OX в плоскости симметрии ЛА, по одной из главных осей инерции или параллельно САХ крыла, направлена вперед. 
Нормальная ось OY лежит в плоскости симметрии ЛА, направлена 
вверх. 

Поперечная ось OZ перпендикулярна плоскости симметрии, 
направлена по правой консоли. 

Скоростная СК: OXaYaZa 
Начало O, как правило, располагается в центре масс ЛА (рис. 1.7). 
Скоростная ось OXa совпадает с воздушной скоростью ЛА V



. Воздушная скорость ЛА (V



) – это скорость перемещения центра масс ЛА 
относительно воздуха. 
Ось подъемной силы OYa лежит в плоскости симметрии ЛА, 
направлена вверх. 
Боковая ось OZa перпендикулярна плоскости OXaYa и направлена по 
правой консоли. 

Траекторная СК: OXkYkZk 
Начало O, как правило, располагается в центре масс ЛА (рис. 1.8). 

 

Рис. 1.7. Скоростная система 
координат 
Рис. 1.8. Траекторная система 
координат 

Ось OXk совпадает с земной скоростью ЛА 
к
V

, т. е. проходит по ка
сательной к траектории в ц.м. Земная скорость ЛА (
к
V


) – это скорость 
перемещения центра масс ЛА относительно выбранной нормальной 
земной СК. 
Ось OYk расположена в вертикальной плоскости, содержащей ось 
OXk, направлена, как правило, вверх от Земли. 
Ось OZk образует правую систему координат.