Алгебра. Часть 1

УДК 501
ББК 22.1
К 44

К и с е л е в А. П. Алгебра. Ч. 1.
— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. — 152 с. —
ISBN 978-5-9221-0676-4.

В наше время книги А.П. Киселёва стали библиографической редкостью
и неизвестны молодым учителям. А между тем дальнейшее совершенствование преподавания математики невозможно без личного знакомства каждого
учителя с учебниками, некогда считавшимися эталонными. Именно по этой
причине и предпринимается переиздание «Алгебры» А.П. Киселёва.
Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия
для общеобразовательных школ и лицеев.

ISBN 978-5-9221-0676-4
c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2011

УРОКИ АЛГЕБРЫ

Издательство ФИЗМАТЛИТ свою новую серию «Библиотека физико-математической литературы для школьников и учителей» начало
с переиздания коллекции классических учебников А. П. Киселёва по
математике для средней школы. Уже вышли в свет «Арифметика» и
«Геометрия». Теперь читателю предлагается «Алгебра».
Истории российских школьных учебников по математике в 2003 г.
исполняется три века, если считать с появившейся в 1703 г. «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Авторами этих учебников были и известные
учёные (среди них — Л. Эйлер, Н. И. Лобачевский, В. Я. Буняковский, М. В. Остроградский), и люди, имена которых помнят разве
что специалисты-историки; одни учебники быстро исчезали, другие
просуществовали годы. Но А. П. Киселёв занимает среди российских
просветителей совершенно особое, можно сказать — уникальное место,
ибо его учебники, по которым почти век учились многие миллионы
россиян, обозначили собой целый период отечественного математического образования. Переиздание этих книг приурочено к двум знаменательным событиям: 300-летию первой российской «Арифметики» и
150-летию со дня рождения А. П. Киселёва.
Не станем подробно рассказывать здесь о почти 90-летнем жизненном пути Андрея Петровича Киселёва (1852–1940) — его биография
освещена в литературе достаточно полно (упомянем лишь одно мемориальное издание: Авдеев Ф. С., Авдеева Т. К. «Андрей Петрович
Киселёв. Жизнь. Научное творчество. Педагогическая деятельность».
Орёл: Изд. Орловской гостелерадиокомпании, 2002). Но нельзя не
отметить, что в его судьбе много неординарного. Уроженец Орловской
губернии (г. Мценск) — старинного русского края, блестящий студент
Петербургского университета (эпохи П. Л. Чебышёва, Д. И. Менделеева, А. Н. Коркина, Е. И. Золотарёва и др.), окончивший обучение
досрочно со степенью кандидата, А. П. Киселёв выбрал не научную, а
педагогическую стезю, полностью посвятив себя просвещению юношества, созданию школьных учебников.
Во всех ситуациях ему сопутствовали успех и уважение — но не по
капризу случая, а в награду за удивительное трудолюбие, упорство и
пытливость. Триумф его учебников — следствие редкостного симбиоза
в одном лице незаурядного педагогического таланта, богатого опыта
учительствования, высокой научной и методической компетентности.
История его жизни — пример того, как во времена исторических
переустройств человек мог и получить признание (в 1933 г. А. П. Киселёв был награжден орденом Трудового Красного Знамени), и навсегда
расстаться с близкими (его дочь, ученица И. Е. Репина, после революции эмигрировала в Югославию). И есть что-то символическое в том,

Предисловие

что великого Учителя А. П. Киселёва похоронили рядом с могилой
великого Учёного Д. И. Менделеева.
Учебники А. П. Киселёва по арифметике, алгебре и геометрии
долгие годы пользовались — и вполне заслуженно — самой высокой
репутацией. Дальнейшее совершенствование преподавания математики
в школе и взвешенная оценка нынешних пособий невозможны без
личного знакомства с учебниками, считавшимися в свое время эталонными. «Чаще и внимательнее перечитывайте классиков» — эта
глубокая мудрость касается не только бессмертных шедевров художественной литературы. С полным правом распространяется она и на
книги «мэтров» педагогики и методики преподавания, ибо профессиональное искусство обучающего и оригинальность преподнесения материала подчас важнее академических познаний учителя и следования
инструктивным письмам.
Поэтому новое издание «Алгебры» А. П. Киселёва, несомненно,
будет полезно и ищущему педагогу, и продвинутому ученику.
Появившаяся впервые в 1888 г. под названием «Элементарная алгебра», книга многократно автором совершенствовалась и регулярно
переиздавалась. В 1938 г. «Алгебра» А. П. Киселёва — после переработки, выполненной известным педагогом и методистом А. Н. Барсуковым — была официально утверждена как стабильный и единственный учебник по алгебре (в двух частях — соответственно для 6–8 и
8–10 классов) советской средней школы (использовавшийся вместе со
«Сборником задач по алгебре» Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова).
Учебник просуществовал (без всяких изменений) в качестве общепринятого до середины 50-х годов прошлого века, когда школьная
программа по математике претерпела изменения. Начали появляться
другие учебники по алгебре, включавшие также разделы, посвященные
элементарным функциям, началам анализа, тригонометрии (впрочем,
они в школе не прижились и уже забыты). «Алгебра» А. П. Киселёва
больше не печаталась и стала библиографической редкостью, многие
педагоги новых поколений и студенты — будущие учителя математики — никогда не держали её в руках.
Сегодня актуальным является изучение и осмысление методического наследия А. П. Киселёва. Парадоксально, что ни сами его
учебники (и когда они были стабильными, и когда вынуждены были
уйти), ни многолетний педагогический эксперимент по их использованию не подвергались всестороннему и капитальному научно-методическому исследованию. (Конечно, хватало различных разработок и
рекомендаций, комментариев и пояснений, но речь идет не о поверхностных официозных писаниях-однодневках.) А ведь это богатейший
материал (особенно при сравнении с книгами других авторов) для
обстоятельного анализа глубинных причин и направлений эволюции
содержания и методов школьного математического образования, выработки конструктивных рекомендаций по развитию теории учебника
математики. К сожалению, можно вспомнить, пожалуй, только одну
давнюю диссертацию Ф. М. Шустеф, посвящённую исследованию российских учебников по алгебре (работа была выполнена под руковод

Предисловие
5

ством члена-корреспондента Академии педагогических наук РСФСР
И. В. Арнольда, отца нашего выдающегося математика академика РАН
В. И. Арнольда).
Для современного, прежде всего — начинающего, учителя будет
интересно познакомиться с содержанием программы курса алгебры
советской средней школы, с принятой тогда манерой преподнесения
материала, его изложения и оформления в учебнике. (Заметим, что
не все главы учебника А. П. Киселёва действительно изучались —
например, диофантовы уравнения и непрерывные дроби.) Очень важно, чтобы нынешние учителя составили собственное мнение по тем
вопросам, которые были предметом ожесточённых дискуссий при пересмотрах во второй половине XX века содержания школьного курса
математики (впрочем, и в наше время можно услышать отзвук этих
споров): должны ли учащиеся массовой общеобразовательной школы
овладевать формальными основами теории комплексных чисел? обязательно ли им знать формулу бинома Ньютона? следует ли познакомить
их с фундаментальными понятиями производной и интеграла? (Чтобы
не возникло недоразумений, подчеркнём: речь идет о массовой общеобразовательной школе, а не о профильных физико-математических
классах.)
Практикующие учителя принимают обычно весьма вялое участие в
обсуждении путей «модернизации преподавания математики в школе».
И очень жаль! Каждый учитель, если он хочет стать гроссмейстером
своего дела, должен творчески обдумывать такие важные проблемы,
как наполнение школьного курса математики, методика изложения
конкретного материала, сочетание эвристики, доступности и строгости,
а сегодня — ещё и использование компьютерных и мультимедийных
обучающих продуктов.
Есть и иные проблемы, для обдумывания «на перспективу». Что
должна представлять собой арифметика и как её увязывать с алгеброй? Как «вписать» в школьную программу элементы анализа, теории
вероятностей, теории множеств, теории игр и других «нетрадиционных» для школы разделов математической науки, без знания которых,
однако, немыслим человек XXI века? А все ли «традиционные» факты,
изучаемые (чаще, впрочем, зазубриваемые) школьниками, действительно так уж бесценны для их образованности? Разве в окружающем
нас мире кривых и поверхностей нет ничего, кроме скучных прямых
и плоскостей, однообразных окружностей и шаров? Чем наполнить
и как преподавать «гуманитарную математику», чтобы реально обеспечить дифференцированное обучение, ориентируясь на индивидуальность учащихся, а не на желания профессионалов-математиков? Действительно ли школьная математика даёт единственную и лучшую
возможность воспитания логического мышления?
Творческий подход к содержанию и формам обучения математике
важен особенно, ибо формализм в её преподавании просто губителен.
В истории нашей школы было достаточно примеров, когда далёкие
от подлинной науки чиновники и «методисты» диктовали, что и как
надо делать. Люди старшего поколения хорошо помнят бывшее одно

Предисловие

время незыблемым требование всегда и обязательно «приводить к виду,
удобному для логарифмирования», ответ в задачах «по геометрии с
применением тригонометрии» или долгий «научный» спор о том, какое
место в школьной программе должны занимать и как должны вводиться Arcsin x, Arccos x и прочие «аркфункции с большой буквы».
Общепризнано, что уровень математической подготовки значительной части наших школьников находится на достаточно высоком уровне.
Но хорошо известен и тот факт, что большое число учащихся испытывает серьёзные трудности и даже неприязнь при освоении школьного
курса математики. Н. И. Лобачевский писал: «Если учение математики,
свойственное уму человеческому, остаётся для многих безуспешно, то
это по справедливости должно приписать недостаткам в искусстве
и способе преподавания». Хотелось бы надеяться, что ознакомление
современного учительского корпуса с классическими школьными учебниками А. П. Киселёва поможет избавиться от этих недостатков.

Н. Розов, профессор,
декан факультета
педагогического образования МГУ

Г л а в а 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

I. Алгебраическое знакоположение

1. Употребление букв. а) Для выражения общих свойств
чисел. Пусть мы желаем кратко выразить в письменной форме,
что произведение двух чисел не изменится, если мы поменяем
местами множимое и множитель. Тогда, обозначив одно число буквой a, другое буквой b, мы можем написать равенство:
a × b = b × a, или, короче: ab = ba, условившись раз навсегда,
что если между двумя буквами, написанными рядом, не стоит
никакого знака, то это значит, что между ними подразумевается
знак умножения. Буквенные обозначения употребляют, если желают выразить, что некоторое свойство принадлежит не какимнибудь отдельным числам, а всяким числам.
Для обозначения чисел употребляются обыкновенно буквы
латинского (или французского) алфавита.
б) Для сокращённого выражения правила, посредством которого можно решить задачи, сходные по условиям, но различающиеся только величиной данных чисел.
Положим, например, мы решаем задачу:

найти 3% числа 520.

Тогда рассуждаем так:
1% какого-нибудь числа составляет
1

100 этого числа; следовательно:

1% числа 520 составляет 520

100 = 5,2;

3% числа 520 составляют 520

100 × 3 = 15,6.

Решив несколько подобного рода задач, мы замечаем, что для
нахождения процентов какого-нибудь числа достаточно разделить это число на 100 и результат умножить на число процентов.
Решим задачу в таком общем виде:

найти p% числа a.

Гл. 1. Предварительные понятия

Задачу решим так:

1% числа a составляет
a

100,

p% числа a составляют
a

100 × p.

Обозначив искомое число буквой x, мы можем написать равенство:
x =
a

100 × p,

из которого прямо видно, как можно находить проценты от
любого данного числа.
Возьмём ещё пример. В арифметике правило умножения
дробей мы выражаем словами так: чтобы умножить дробь на
дробь, надо перемножить отдельно их числители и знаменатели
и первое произведение разделить на второе. Применяя буквенные
обозначения, мы можем это правило выразить очень коротко.
Именно, обозначив для первой дроби числитель через a, знаменатель через b, а для второй дроби соответственно через c и d,
мы можем написать:
a
b × c

d = ac

bd.

Нетрудно видеть, что эта запись даёт о б щ е е правило умножения для всяких дробей, так как под буквами мы можем
подразумевать любые числа.
Точно так же для правила деления дроби на дробь будем
иметь запись:
a
b : c

d = ad

bc .

Всякое равенство или неравенство, выражающее посредством букв и знаков действий какое-нибудь соотношение
между числами, называется формулой.
Приведём для примера некоторые формулы.
Если основание и высоту прямоугольника измерим одной
и той же линейной единицей и для основания получим число
b, а для высоты число h, то площадь s этого прямоугольника,
выраженная в соответствующих квадратных единицах, определится формулой s = bh. Пр тех же обозначениях для площади
треугольника получим формулу:

s = 1

2 bh.

Из физики известно, что для определения удельного веса
какого-либо вещества надо вес данного количества этого вещества разделить на его объём. Обозначая вес тела (в граммах) че

I. Алгебраическое знакоположение
9

рез p, объём его (в кубических сантиметрах) через v и удельный
вес через d, мы можем приведённое правило для определения
удельного веса кратко выразить формулой:

d = p

v.

2. Алгебраическое выражение.
Если несколько чисел,
обозначенных буквами (или буквами и цифрами), соединены
между собой посредством знаков, указывающих, какие действия
и в каком порядке надо произвести над числами, то такое обозначение называется алгебраическим выражением.
Таковы, например, выражения:
a

100 × p; ab; 2x + 1.
Для краткости мы часто будем вместо «алгебраическое выражение» говорить просто «выражение».
Вычислить значение какого-нибудь выражения для данных
численных значений букв — значит подставить в него на место
букв эти численные значения и произвести все указанные в выражении действия: число, получившееся после этого, называется
численной величиной алгебраического выражения для данных
численных значений букв. Так, численная величина выражения
a

100 × p при p = 3 и a = 520 равна:

520
100 × 3 = 5,2 × 3 = 15,6.

3. Действия, рассматриваемые в алгебре, следующие: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень
и извлечение корня. Что такое первые четыре действия, известно
из арифметики. Пятое действие — возведение в степень — представляет собой частный случай умножения, когда перемножаются несколько одинаковых сомножителей. Произведение таких
сомножителей называется степенью, а число их — показателем
степени. Возводимое в степень число называется основанием
степени. Если какое-нибудь число берётся сомножителем 2 раза, то произведение называется второй степенью; если какоенибудь число берётся сомножителем 3 раза, то произведение
называется третьей степенью этого числа и т. д. Так, вторая
степень числа 5 есть произведение 5 × 5, т. е. 25; третья степень
числа 1

2 есть произведение 1

2 · 1

2 · 1

2, т. е. 1

8. Первой степенью
числа называют само это число.
Вторая степень называется иначе квадратом, а третья степень — кубом. Такие названия даны потому, что произведение
a × a выражает (в квадратных единицах) площадь квадрата со