Нечеткие модели и сети

В. В. Борисов 
В. В. Круглов 
А. С. Федулов

2-е издание

Москва
Горячая линия – Телеком
2012

Нечеткие 
модели 
и сети

ББК 30.17 
УДК 681.322 
     Б82 
 
Р е ц е н з е н т ы :  доктор техн. наук, профессор  В. Н. Вагин,  
доктор техн. наук, профессор  А. И. Галушкин 
 

Борисов В. В., Круглов В. В., Федулов А. С. 
Б82             Нечеткие модели и сети. – 2-е изд., стереотип. – М.:Горячая 
линия–Телеком, 2012. – 284 c.: ил. 
ISBN 978-5-9912-0283-1. 
Книга посвящена исследованию нечетких моделей, используемых 
для описания, анализа и моделирования сложных слабо формализуемых 
систем и процессов, а также вопросам построения, обучения и использования, во-первых, нечетких нейронных сетей, реализующих нечеткие продукционные, реляционные и функциональные модели, во-вторых, нейронных нечетких сетей, характеризующихся введением нечеткости в различные компоненты традиционных нейронных сетей. Рассмотрены основные 
разновидности нечетких моделей систем и процессов, отображаемых 
структурами на основе графов. Особое внимание уделено анализу способов построения, моделирования и использования нечетких когнитивных 
карт, реализующих расширенные возможности по анализу и моделированию сложных систем. 
Для специалистов в области информатики, вычислительной техники, 
анализа и моделирования сложных систем и процессов, занимающихся 
созданием и использованием интеллектуальных систем, а также для аспирантов и студентов соответствующих специальностей. 
ББК 30.17 
 
Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU 

Научное издание 

Борисов Вадим Владимирович 
Круглов Владимир Васильевич 
Федулов Александр Сергеевич 

НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ И СЕТИ 

2-е издание, стереотипное 
 
Обложка художника  В. Г. Ситникова 
 
Подписано в печать 23.05.2012. Формат 60x88/16. Гарнитура Times New Roman.  
Тираж 200 экз. (1-й завод 100 экз.) Уч.-изд. л. 18. Изд. № 120283. 
 
ISBN 978-5-9912-0283-1                                            © В. В. Борисов, В. В. Круглов,  
Федулов А. С, 2007, 2012      
 © Издательство  «Горячая линия–Телеком», 2012 

ВВЕДЕНИЕ 

Нечеткое моделирование не является альтернативой различным подходам к моделированию сложных систем и процессов, а прежде всего 
предоставляет эффективные методы и средства для их изучения в следующих основных сферах применения.  
Во-первых, недостаточность или неопределенность знаний об исследуемой системе, когда получение требуемой информации является сложной, трудоемкой, дорогостоящей или вовсе невозможной задачей. При 
этом четкие модели не могут быть получены либо они являются слишком 
сложными для практического использования. Значимая же часть информации об этих системах доступна в виде экспертных данных или 
в эвристическом описании процессов функционирования. Эта информация может быть нечеткой и недостаточно определенной для того, чтобы 
быть выраженной математическими зависимостями. Кроме того, информация о системе может быть разнокачественной, а оценка значений параметров – проводиться с помощью различных шкал. Однако зачастую 
возможно описать функционирование этих систем в виде эвристических 
предпочтений, используя конструкции естественного языка в форме нечетких правил или отношений различного типа. Другой аспект неопределенности знаний о системе связан с неясностью или нечеткостью выделения и описания границы системы или отдельных ее состояний, а также 
входных и выходных воздействий. 
Во-вторых, адекватная обработка неопределенной информации, если 
параметры и входные данные не являются точными и корректно представленными. Часто традиционные методы не только не позволяют адекватно обработать данные, но также не позволяют учесть естественно 
присущую этим данным неопределенность. Нечеткая логика и теория нечетких множеств являются одним из эффективных подходов к решению 
данной проблемы. 
В-третьих, «прозрачное» моделирование и идентификация реальных 
систем, которые являются нелинейными в своей основе и не могут быть 
представлены моделями, использующими существующие методы идентификации. В последнее время серьезное внимание уделяется развитию 
методов идентификации нелинейных систем на основе экспериментальных данных. Однако, сравнивая нечеткие модели с другими известными 
методами, например с искусственными нейронными сетями, можно отметить их большую прозрачность, которая возможна благодаря их лингвистической интерпретации в виде нечетких продукционных правил. 

Нечеткие модели и сети 

 
4 

Логическая структура этих правил способствует пониманию и анализу 
системы количественно-качественными методами.  
В зависимости от назначения постулаты и положения теории нечетких множеств и нечеткой логики в нечетких моделях могут использоваться: непосредственно при описании системы, при задании параметров 
системы, при задании входов, выходов и состояний системы. Основные 
трудности при использовании нечетких моделей для решения практических задач связаны, как правило, с априорным определением компонентов этих моделей (нечетких высказываний, функций принадлежности для 
каждого значения лингвистических переменных, структуры базы нечетких правил и др.). Поскольку эти компоненты зачастую выбираются 
субъективно, они могут быть не вполне адекватны моделируемой системе или процессу. 
Основное же преимущество нейросетевого подхода – возможность 
выявления закономерностей в данных, их обобщение, т. е. извлечение 
знаний из данных, а основной недостаток – невозможность непосредственно (в явном виде, а не в виде вектора весовых коэффициентов межнейронных связей) представить функциональную зависимость между 
входом и выходом исследуемого объекта. Другим недостатком нейросетевого подхода является трудность формирования представительной выборки, большое число циклов обучения и забывание «старого» опыта, 
сложность определения размера и структуры нейронной сети. 
Подходы к исследованию сложных систем на основе нечетких и нейросетевых моделей взаимно дополняют друг друга, поэтому целесообразна их интеграция на основе принципа «мягких» вычислений (Soft 
Calculation). Основы построения таких моделей сводятся к следующему: 
терпимость к нечеткости и частичной истинности используемых данных 
для достижения интерпретируемости, гибкости и низкой стоимости решений.  
В части I книги выделено три основных класса нечетких моделей, 
доминирующих в рамках нечеткого подхода к анализу и моделированию 
сложных систем, а также различные классы нечетких сетей (и способы их 
интеграции с искусственными нейронными сетями), используемых для 
построения и анализа этих моделей. 
В части II рассмотрены нечеткие продукционные модели, являющиеся наиболее общим видом нечетких моделей, используемых для описания, анализа и моделирования сложных систем и процессов. Проанализированы и классифицированы основные компоненты, определяющие создание и применение нечетких продукционных моделей. Рассмотрены 
получившие наибольшее распространение алгоритмы нечеткого вывода. 

 
Введение 

 
5 

Представлены нечеткие реляционные модели, а также проиллюстрировано их подобие нечетким продукционным моделям. 
В части III предложена классификация нечетких нейронных продукционных сетей и рассмотрены различные способы и средства интеграции 
нечетких продукционных моделей с нейронными сетями, в которых нейросетевая технология используется в качестве инструмента для реализации компонентов адаптивных нечетких продукционных моделей.  
В части IV предложена классификация и рассмотрены различные типы нейронных нечетких сетей, характеризующиеся введением нечеткости 
в различные компоненты традиционных нейронных сетей (в элементы 
структуры и механизмы обучения и функционирования) на основе положений теории нечетких множеств и нечеткой логики. 
В части V книги рассмотрены основные разновидности нечетких моделей систем и процессов, отображаемых некоторыми структурами 
на основе графов (логико-временными последовательностями, пространственной распределенностью, функциональной взаимосвязанностью, 
причинно-следственными отношениями): нечеткие автоматы, нечеткие 
сети Петри, нечеткие ситуационные сети и нечеткие когнитивные карты. 
Особое внимание уделено анализу способов построения, моделирования 
и использования нечетких когнитивных карт, реализующих расширенные 
возможности по анализу и моделированию сложных систем. 

Часть I 
 
КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ  
И НЕЧЕТКИХ МОДЕЛЕЙ 

Глава 1. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ. 
КЛАССИФИКАЦИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКА  
СИСТЕМ 

1.1. Понятие и определения системы 

Понятие системы является базовым в различных концепциях теории 
систем, системного подхода, системологии, прикладных исследований. 
Разнообразие определений системы обусловливается: 

• различными концепциями теории систем и вариантами системного 
подхода, отличающимися по составу и содержанию используемых 
понятий и принципов; 

• ориентацией как на разные типы, так и на различное назначение систем.  

Все многообразие подходов к определению понятия «система» (их 
известно более 40) можно разделить на следующие группы.  
Первую группу составляют определения системы как выбираемой исследователем любой совокупности переменных, свойств или сущностей 
[1]. Если следовать этим определениям, то системой могут оказаться два 
любых произвольно выбранных объекта, вовсе не имеющих или имеющих в действительности настолько слабые взаимосвязи, что они могут 
быть либо не установлены, либо ими можно пренебречь. 
Вторая группа определений базируется на понимании системы как 
множества элементов, связанных между собой. Однако определение системы через понятие множества допускает возможность различных, в том 
числе произвольных, ее разбиений на подмножества элементов, каждое 
из которых также является множеством [2]. 
Третью группу составляют определения системы, связывающие ее 
с целенаправленной активностью. Здесь система определяется как относительно устойчивая организованная совокупность взаимодействующих 
и взаимосвязанных элементов, а также комплекс средств достижения об

 
Часть I. Классификация систем и нечетких моделей  

 
7 

щей цели. Развитие и совершенствование такой системы зависит от взаимодействия с окружающей средой [3].  
Помимо развития и совершенствования в системах могут происходить процессы деградации и разрушения, которые зависят не только от 
взаимодействия систем с окружающей средой, но и от внутренних 
свойств самой системы. Однако ни одна из вышеуказанных групп определений явно не учитывает этого. 
Четвертую группу составляют наиболее общие определения системы как комплекса элементов, находящихся во взаимодействии. Однако 
в этом случае к категории «система» могут быть отнесены любые, даже 
очень слабо взаимодействующие объекты, которые рассматриваются 
с системных позиций [4]. 
Пятая группа определений характеризует систему через указание 
признаков, которыми должен обладать объект, чтобы его можно было 
отнести к категории «система». Данные признаки вводятся через понятия 
совокупности, взаимосвязи и целого [5]. Здесь под системой понимается 
совокупность элементов и процессов (называемых компонентами), находящихся в отношениях и взаимосвязях между собой, образующих единое 
целое и характеризующихся интегративным, или системным, свойством, 
отличающим данную совокупность от среды и приобщающим к этому 
свойству каждый из ее компонентов. 
В дальнейшем в данной книге в качестве определения системы будем 
руководствоваться определением из пятой группы. 

1.2. Классификация систем 

В настоящее время существует множество классификаций систем по 
различным признакам, наиболее общим из которых является классификация по происхождению. 
По происхождению системы делятся на естественные (существующие в объективной действительности: живые; неживые экологические, 
социальные и др.); концептуальные или идеальные (продукт человеческого мышления: знания, теории, гипотезы и др.); искусственные (созданные человеком: орудия, механизмы, машины, роботы и др.); смешанные, т. е. объединяющие искусственные и естественные подсистемы: эргономические, биотехнические, автоматизированные, организационнотехнические (в которых совместно функционируют человеческие коллективы и технические устройства) и др. [6, 7].  
С одной стороны, концептуальные системы можно отнести к искусственным, исходя из того, что они созданы человеком. С другой стороны, 
искусственными могут быть и системы, созданные другими организа

Нечеткие модели и сети 

 
8 

циями. Следовательно, справедливо разделение систем по форме их существования, независимо от того, кто их создал, на идеальные (абстрактные) и реальные. 
В зависимости от целевого предназначения системы могут делиться 
на ценностно-ориентированные и целеориентированные (целенаправленные). Ценностно-ориентированным системам внутренняя цель неприсуща. Функционирование таких систем не подчиняется четкой цели, отсутствует иерархия уровней управления. Целевая функция для этих систем 
задается извне задачами использования системы, а процесс их функционирования оценивается по некоторым критериям ценностей [8]. В целеориентированных системах, совокупность целей которых связана с иерархией уровней управления, основой функционирования и развития являются факторы целесообразности и целеполагания [9, 10]. 
Целеориентированные системы могут быть представлены общей 
схемой управления (рис. 1.1), состоящей из части системы SYS, подлежащей управлению U, и управляющей части системы, которая это управление вырабатывает. При этом для выработки управления U управляющей частью требуется модель системы. 

 
Рис. 1.1. Общая схема управления системой: U – управляющие воздействия,  
V, V ' – неконтролируемые воздействия 

В зависимости от модели системы и степени ее соответствия реальной системе можно предложить следующие классификационные призна

 
Часть I. Классификация систем и нечетких моделей  

 
9 

ки систем: по описанию переменных, по типу связи между входными 
и выходными переменными, по типу управления. 
По типу переменных системы делятся на системы с количественным, 
качественным и количественно-качественным их описанием. Системы 
с количественными переменными допускают их дискретное и непрерывное описание, а также смешанный случай. Системы с качественным описанием переменных допускают представление как средствами естественного языка, так и на основе более глубокой формализации. Для систем 
с количественно-качественным описанием могут использоваться любые 
из перечисленных выше представлений. Причем все эти описания могут 
носить детерминированный, стохастический, нечеткий или смешанный 
характер. 
Классификация по типу управления определяется тем, входит ли 
управляющая часть в систему или является внешней по отношению к ней. 
В соответствии с этим могут быть выделены, во-первых, системы, управляемые извне, во-вторых, самоуправляемые системы и, в-третьих, системы, управление которыми частично осуществляется извне, а частично – 
изнутри самой системы.  
В соответствии со степенью известности траектории (стратегии), 
приводящей систему к цели и возможности управляющей части удерживать управляемую часть системы на этой траектории (вне зависимости 
от того, включена ли управляющая часть в систему или нет), можно выделить четыре основных способа управления: без обратной связи (или 
программное управление), регулирование (или автоматическое регулирование), по параметрам (параметрическая адаптация), по структуре (или 
структурная адаптация). 

Примечание. В скобках приведены названия способов управления для случая 
самоуправляемых систем. 

Первый способ применяется, когда точно известна нужная траектория и, следовательно, известно правильное управление u0(t).  
Второй способ имеет место, когда неконтролируемые воздействия 
v0(t) отличаются от ранее предполагаемых и наблюдается разница между 
текущей y(t) и нужной траекториями y0(t), которую необходимо устранить.  
Третий способ управления характеризуются тем, что траекторию, 
приводящую систему к цели, принципиально невозможно задать. 
И управление состоит в такой подстройке параметров системы, обеспечивающей пересечение траекторией целевой области. 
Для четвертого способа характерно то, что целевая область не будет 
достигнута ни при каких возможных комбинациях значений управляемых 

Нечеткие модели и сети 

 
10

параметров. В этом случае необходимо изменять структуру системы 
в поисках такой, при которой возможно попадание в целевую область. 
Интересным развитием этого способа является управление (адаптация) 
по целям для случая принципиальной недостижимости ранее поставленной цели при всевозможных преобразованиях структуры (ресурсов) системы [6, 11]. 
Как было ранее сказано, нужное управление U системой отыскивается с помощью отбора среди возможных управлений путем сравнения по 
каким-либо критериям последствий каждого из них. Определить эти последствия и сравнить их можно, если в управляющей части имеется модель системы. Учет этого факта приводит еще к двум классификациям 
систем. 
По ресурсной обеспеченности моделирования системы делятся на малые и большие. Под большими понимаются системы, моделирование которых затруднительно вследствие их размерности, а также наличия компонентов, не поддающихся точному и подробному описанию. 
По достаточности информации для моделирования системы можно 
разделить на простые и сложные. Сложной системой называется система, 
состоящая из подсистем, являющихся, в свою очередь, простыми системами, и в модели которой не хватает информации для эффективного 
управления. Степень сложности больше зависит от разнообразия связей 
и элементов, чем от их количества. При этом сложной является система, 
обладающая определенным набором свойств [12], например большим 
числом неоднородных элементов, эмерджентностью, иерархией, агрегированием параметров, многофункциональностью, гибкостью, адаптацией, 
надежностью, безопасностью, стойкостью, уязвимостью, живучестью. 

Глава 2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ 

Понятие системы может быть уточнено до различной степени формализации в виде поэтапной эволюции и конструктивного развития ее моделей, включающих в нее по мере необходимости дополнительные сведения.  
Модель системы, называемая моделью «черного ящика», отражает 
два ее важных свойства: целостность и обособленность (но не изолированность) от среды. Данная модель характеризуется заданным набором 
параметров, среди которых имеются параметры, влияющие на целевое 
свойство системы, но, какие из них являются определяющими (информативными) и какой математической моделью описываются закономерности их влияния на целевую характеристику, неизвестно. Единственным