Предел функции. Формулы Ньютона-Лейбница и Тейлора

Кудрявцев Л.Д.

Предел функции.

Формулы

Ньютона-Лейбница и

Тейлора

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

Предел
функции.
Формулы
Ньютона–Лейбница
и
Тейлора.
!"#$%%&'($%')*+*&
',-'+
&.&)%%'+
,/%'-$
0$*-'1
-+$*+$*',&2&
$%$)'($3
4'(+$*
)'*
5&%&&*&&2&
)6'*
%*$''&%%&&.)%'.)$
7%-''8
/&9:.&
&/%&
&/6$:*.'+;*$
*
$&2&

&.)%'.&
$%%':
&/<,%&
'.&)=(+<+
,/%&1
)'*$*8&
*&&1
,$*'
/&9:<
$%$)'('*(=
+67&+)$+'
1)&$
'
>=:*&%$?1/%'$@,/%&'($%'ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА–ЛЕЙБНИЦА И ТЕЙЛОРА

A
$-*&B'2'%$)+$*B7&+)%'..)*
$!
"#"#$
%%&$'(%&)*
(
+(%*
#
",(*
'*
#
%./+0
,1*
+*
2
.*2
 
%"3(#2
4'56789
:
7;56<=567>?@2
:58A68B=567>?@

C
<<D9EEE:58?@

F!GH
(I$,('(%*J
*
KL+1+M+
2
!
3KNG2
.*
*
#
K%2
F*#K*J
'2
OPQR
'&&''S

T

+)./
M
+M
2
&T

U0 
#N2
&

Содержание

1. Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2. Предел функции . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3. Формулы Ньютона–Лейбница и Тейлора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Список литературы . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

1. Предисловие

Понятие предела функции является одним из основных в математическом анализе. Однако его традиционное определение имеет существенные недостатки. Оно не охватывает все случаи предела, встречавшиеся раньше в элементарной математике на интуитивном уровне,
не даёт возможности наглядно пояснить, почему в математике дискретное является частным случаем непрерывного, и иногда приводит
к неоправданным усложнениям формулировок и доказательств теорем,
в которых участвует понятие предела функции.
Существует другое, в определённом смысле более простое определение предела функции, содержащее в себе традиционное как частный
случай, и лишённое его недостатков. Этому вопросу посвящена первая
часть книги.
Далее рассматривается связь формул Ньютона–Лейбница и Тейлора. Формула Тейлора встречается в курсе математического анализа
раньше формулы Ньютона–Лейбница, что имеет достаточное методическое оправдание: изучение дифференциального исчисления предшествует изучению интегрального.
Это приводит к тому, что для доказательства формулы Тейлора приходится применять тот или иной искусственный приём, «придумывать»
какую-либо конструкцию. Вместе с тем по существу формула Тейлора
является прямым следствием формулы Ньютона–Лейбница — в том
смысле, что получается из неё простым «бездумным» доказательством.
Однако, чтобы получить широко используемые записи остаточного
члена в форме Лагранжа и Коши, надо воспользоваться правилом
перемены порядка интегрирования в повторных интегралах. При обычном изложении математического анализа, когда возникает потребность
в формуле Тейлора, это правило ещё не изучено. Поэтому прямая связь
формул Тейлора и Ньютона–Лейбница остаётся учащимся неизвестна.
Этот пробел и восполняет вторая часть книги.