Данная публикация изъята из фонда.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория вероятностей
Покупка
Основная коллекция
Автор:
Логинов Василий Анатольевич
Год издания: 2003
Кол-во страниц: 91
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 00.03.06: Математика
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 01.03.04: Прикладная математика
- ВО - Специалитет
- 00.05.06: Математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
Д. -1. ЛОГИНОВ
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Курс лекций для студентов факультета экономики и управления
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
В.А. ЛОГИНОВ
Обыкновенные ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теория вероятностей
Курс лекций для студентов факультета экономики и управления
Москва 2003
Москва
2003
Рассмотрено на заседании кафедры высшей математики.
Протокол № от "____"200— г.
Оглавление
Предисловие.........................................................5
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения..........................6
1.1. Пример простейшего дифференциального уравнения.............. 6
1.2. Основные термины и понятия, относящиеся к дифференциальным уравнениям (ДУ)................................................ 7
1.3. Общие понятия о дифференциальна уравнениях первого порядка..8
1.4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными......11
1.5. Однородные уравнения первого порядка.......................14
1.6. Линейные уравнения первого порядка...........................16
1.7. Уравнение Бернулли..................................... 19
1.8. Уравнения высших порядков.............................. ....20
1.8.1. Уравнение видау^=/(х)....................................22
1.8.2. Некоторые ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка.24
1.9. Линейные однородные ДУ второго порядка..................... 28
1. 10. Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.................................................. 31
1.11. Линейные однородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами .35
1.12. Неоднородные линейные ДУ второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных...........................................37
1.13. Неоднородные линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида..................41
1.14. Линейные неоднородные ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.............................................. 49
1.15. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами........................................51
2. Теория вероятностей.............................................55
2.1. Предмет теории вероятностей..................................55
2.2. Опыт, событие, виды случайных событий........................57
2.3. Классическое определение вероятности.........................59
2.4. Основные формулы комбинаторики...............................62
2.5. Примеры непосредственного вычисления вероятностей............65
2.6. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты....67
2.7, Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность...........................69
2.8. Теорема сложения вероятностей................................72
2.9. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность.........77
2.10. Независимые события. Теорема умножения тля независимых событий....81
2.11. События, независимые в совокупности. Вероятность появления хотя бы одного события....................................................83
2.12. Теорема сложения вероятностей совместных событий............87
2.13. Формула полной вероятности..................................90
2.14. Вероятности гипотез. Формула Байеса........................ 92
2.15. Схема независимых последовательных испытаний............... 95
2.15.1. Формула Бернулли........................................95
2.15.2. Наивероятнейшее число наступлений события при повторении испытаний.......................................................97
2.15.3. Локальная теорема Муавра-Лапласа........................99
5
2.15.4. Интегральная теорема Лапласа.............................101
2.15.5. Вероятность отклонения относительной частоты появления события от
постоянной вероятности...........................................103
2.16. Дискретные случайные величины................................106
2.16.1. Дискретная случайная величина и ее закон распределения...106
2.16.2. Биномиальное распределение...............................109
2.16.3. Распределение Пуассона (пуассоновское приближение биномиального распределения).................................................111
2.16.4. Математическое ожидание дискретной случайной величины..112
2.16.5. Дисперсия дискретной случайной величины................119
2.16.6. Математические ожидания и дисперсии некоторых случайных величин........................................................126
2.17. Непрерывные случайные величины......................... 131
2.17.1. Функция распределения случайной величины...............131
2.17.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины................................................... 136
2 Л 7.3. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины...........................140
2.17.4. Наиболее распространенные распределения непрерывных случайных величин........................................................142
2.18. Закон больших чисел. Теорема Ляпунова...........................158
2.18.1. Неравенство Чебышева...................................159
2.18.2. Теорема Чебышева.......................................161
2.18.3. Теорема Бернулли..................................... 164
2.18.4. Понятие о центральной предельной теореме (теорема Ляпунова).165
2.19. Функция случайного аргумента........................... 166
2.19.1. Закон распределения функции случайного аргумента.......166
2.19.2. Математическое ожидание функции случайного аргумента...171
2.20. Понятие о случайном векторе и законе распределения его координат.174
2.20.1. Примеры случайных векторов.........................:.... 174
2.20.2. Закон распределения и функция распределения двумерной случайной величины.......................................................175
2.20.3. Функция распределения двумерной слу чайной величины и ее свойства..................................................... 177
2.20.4. Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства..................................................... 178
Предисловие
Настоящий курс завершает цикл лекций автора, предназначенных для студентов факультета Экономики и управления МГАВТ. В нем отражены те разделы математики, которые изучаются студентами в IV семестре: обыкновенные дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Объем материала соответствует программе по дисциплине «Математика» для специальностей 060800 «Экономика и управление на предприятии (по отрасли водный зранспорт)» и 060826 «Экономика и управление на водном транспорте».
Для проведения практических занятий автор рекомендует следующие задачники.
1. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под.ред. Б.П.Демидовича. Москва, Интеграл-Пресс, 1997.
2. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть II. Москва, Высшая школа, 1986.
3. Г.И. Агапов. Задачник по теории вероятностей. Москва, Высшая школа, 1986.
6
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.1. Пример простейшего дифференциального уравнения
Попробуем решить следующую задачу: принимая скорость прироста населения Земли прямо пропорциональной количеству населения, найти зависимость между количеством населения Л и временем t, если известно, что в 1965 году население составляло 3,3 млрд, человек, а в 1970 году - 3,6 млрд, человек. Каково будет население Земли в 2000 году?
Следует сразу подчеркнуть, что нам поставлена задача: найти неизвестную функцию A(t). Примем за t~0 1965 год, время t будем измерять в годах, а население - в млрд, человек. Тогда при t—О А=А₀⁼3,3. Как записать условие: прирост населения пропорционален его количеству? Очевидно, так:
dA . .
— ~ кА. dt
Это и есть дифференциальное уравнение. Теперь будем его решать, к - константа, определяющая скорость прироста населения.
dA ᵣdA г
= kdt, J— = jkdt, 1/iA = kt + Cₕ
A A
Для удобства обозначим Cj-ln С, тогда
InA ~ InC = kt, In—--kt, A(t) = Cek!.
Мы определили функцию A(t). Она описывает так называемый экспоненциальный рост населения Земли; эта зависимость весьма неплохо показывает реальное изменение численности населения.
Величины С и к пока неизвестны. Но у нас имеется два дополнительных условия: при t=0 А=А₀=3,3 и при t—5 (в 1970 году) А =3,6. Поэтому, полагая сначала t=0, получим
А₀=Се™=С, C=ALI=3,3.
3 ()
Пусть теперь t=5. Тогда 3,6=3. Зел, отсюда е³к=---,
5к = ln~⁶,k = ~In—* 0,0174. 3,3 5 3,3
Таким образом,
A(t)=3,3e⁰,⁰¹⁷⁴¹.
Очевидно также, что 2000 году соответствует t=35, так что
А₂обо = А(35) = 3, Зе⁰⁰¹⁷⁴'³⁵ & 6,07 млрд, человек.
1.2. Основные термины и понятия, относящиеся к дифференциальным уравнениям (ДУ)
Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y~f(x) и ее производные у', у”, ..., у⁽п>- Записывают дифференциальное уравнение так:
F(x, у, у', ..., у,п⁾) - 0 или
’ dx
(1.2.1)
8
Если искомая функция y—f(x) является функцией одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если переменных несколько и производные частные, то это дифференциальное уравнение в частных производных. Мы будем изучать только обыкновенные дифференциальные уравнения.
Определение 2. Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Пример 1.
у'—2ху—5=0 - ДУ 1-го порядка;
y"+ky'~ by—sinx=0~ ДУ 2-го порядка.
Определение 3. Решением или интегралом ДУ называется всякая функция у-f(x), которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество.
Пример 2. Убедиться, что функция y—C}sin x+C₂cos х, где С] и С2 - произвольные константы, удовлетворяет ДУ второго порядка
у" + у = О.
Очевидно, у'~С,cos х - C₂sin х, у"—Cisin х - C₂cos х ку" + у =0.
1.3. Общие понятия о дифференциальных уравнениях первого порядка
ДУ первого порядка имеет вид:
F(x,y,y)=O. (1.3.1)
Если это уравнение можно разрешить относительно^', то его записывают в виде:
(1.3.Г)
Это уравнение называют ДУ, разрешенным относительно производной.
Для уравнения (1.3. Г) справедлива следующая
фундаментальная теорема о существовании и
единственности решения дифференциального уравнения (без доказательства). Если в уравнении y'~f(x,y) функция f(x,y) и 3/
ее частная производная —- непрерыв) 1Ы в некоторой области др
D на плоскости Оху, содержащей некоторую точку (хо;уо), то существует единственное решение этого уравнения у—(р(х), удовлетворяющее условию: прих—х₀
Геометрический смысл теоремы: при выполнении условий теоремы существует единственная функция у-(р(х), график которой проходит через точку (хо;у₀).
Из этой теоремы следует также, что общее количество решений уравнения (1.3. Г) бесконечно, т.к. мы всегда можем выбрать бесконечное число точек (хо;уо), (хо,'У/), (х₀;у₂), ..., имеющих различные ординаты уь у₂, ..., и через каждую из этих точек проходит своя кривая, являющаяся решением уравнения (1.3. Г).
Условие, что при х-хо У~Уо, называется начальным условием (условием Коши). Его записывают в виде
или у (xQ)=y₀.
Определение 1. Общим решением ДУ первого порядка называется функция у=-ф(х,С), которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет условиям:
1) (р(х,С) удовлетворяет ДУ при любом конкретном С;
2) каково бы ни было начальное > словие у=уо при х=х₀, всегда найдется такое значение С—Со, что функция у=(р(х,С₀) удовлетворяет данному начальному
условию. При этом предполагается, что (хо,Уо) где D - область, в которой выполнены условия существования и единственности решения.
В процессе решения уравнения нередко приходят к соотношению вида
ф(х,у,С)=0, (1.3.2)
не разрешенному относительно у. Если его разрешить относительно 7, то получим общее решение. Однако не всегда удается выразить у из (1.3.2) в элементарных функциях через х. В таких случаях равенство (1.3.2), неявно задающее общее решение, называется общим интегралом ДУ.
Определение 2. Частным решением называется любая функция у -<р(х,С₀), которая получае гея из общего решения у—^)(х,С), если в нем произвольной постоянной С придать определенное значение С=С₀. Соотношение ф(х,у,Со)=О называется при этом частным интегралом уравнения.
Пример 1. Для уравнения
^_у
dx х
. ~ С
общим решением является семейство функции у=—, что х
проверяется простой подстановкой в уравнение. Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, следующему начальному условию:
Уо=1 при Х₀~2.
С
Подставляя эти значения в формулу у——, получим
X
С 2
7- — , т.е. С-2. Итак, частное решение:7= — .
2 х
С геометрической точки зрения общий интеграл представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной (от одного параметра С). Эти кривые называются интегральными кривыми данного ДУ. Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через заданную точку плоскости.
С
В примере 1 общее решение задается формулой у= —. На
X
плоскости Оху это соотношение задает семейство гипербол (см. рис.): Cj>C₂>0; С₃<0.
1.4. Уравнения с разделенными и разделяющимися
переменными
Рассмотрим ДУ вида
= (1А1)
dx
в котором правая часть есть произведение функций, зависящих только от х и только от у. Будем считать, что fifyCd) и преобразуем это уравнение к виду:
= f,(x)dx. (1.4.Г)
f₂(y)
13
Интегрируя левую часть по у, а правую по х, получим
Уравнение вида
/г(у)
\f,(x)dx + C.
MI(x)N!(y)dx^M₂(x)N₂(y)dy=:O (1-4.2)
Мы получили общий интеграл уравнения (1.4,1). ДУ типа (1.4.1') M(x)dx+N(y)dy~O называют уравнением с разделенными переменными. Его общий интеграл есть
\M(x)dx + \N(y)dy = C.
называется ДУ с разделяющимися переменными. В той области, где N}(y)^0 и М₂(х)*0, оно приводится к уравнению с разделенными переменными, метод решения которого мы изучили; разделим (1.4.2) на выражение N₂(y)M₂(x):
Пример 1. Дано уравнение с разделенными переменными xdx + ydy - 0.
М,(х) , —,2^-dx +
М₂(х)
^₂(У)
N,(y)
dy = 0.
Интегрируя, получим общий интеграл
х² у²
—+ 4- = Ср
2 2 ¹
Получили уравнение вида (1.4. Г). Пример 2, Решить уравнение
Ф ₌ _/
dx х
х² у²
т.к. -—v—>0, то С,>0. Обозначим 2С;=С², тогда общий
2 2
Разделяя переменные, получим
интеграл запишем в виде
4 = ₌ _2 ₌ _ЫХЦЫС1
у X ² у ² X у
х²+у²=С².
Это уравнение семейства концентрических окружностей с центром в начале координат и радиуса С.
Замечание. Простейшим ДУ с разделенными переменными является уравнение вида
— = f(x) или dy~f(x)dx.
dx
Его общее решение имеет вид
У = \f(x)dx + C.
15
1.5. Однородные уравнения первого порядка
Определение 1. Функция f(x,y) называется однородной функцией и-го измерения относительно переменных х и у, если при любом 2 справедливо тождество
f(Ax, Ay) - A.ⁿf(x,y).
Пример 1. Функция f(x,y) - Цх³ + у³ - однородная функция первого измерения, т.к.
f( Ах, Ау) = ^(Ах)Т+(Ау)³ =а]Л³(х³ + у³ ) =
= Ajjx³ + у³ =A.f(x,y).
Пример 2. Функция f(x,y)=xy-y² - однородная второго измерения, т.к.
f(Ax,Ay)=(Ax) •(А.у)-(Ау)²^А²(ху-у²) =A²f(x,y).
х' — у²
Пример 3. Функция f(х,у)~ --------- есть однородная
ху
функция нулевого измерения, т.к.
лУ)₌₌ £< ДУ2₌₌ (Ах)(Ау) А² ху ху
= f(x,y)^^f(x,y).
Определение 2. Уравнение первого порядка
(ЗУ Г 7
-y- = f(x,y) (1-5-1)
dx
называется однородным относительно х,у, если f(x,y) -однородная функция нулевого измерения относительно х,у.
В этом случае
f(Ax,Ay)=f(x,y)
; , 1
т.к. л - любое, положим Л = тогда
х
f(x,y) = f)y\. I X)
Другими словами, однородная функция нулевого
измерения зависит только от отношения —, а однородное
X уравнение имеет вид
Чтобы его решить, сделаем замену переменных:
и — ~ илиу=мх. х
dy d , . du „
Тогда — = —(их) — ---х + и. Подставим в (1.0.1) и
dx dx dx
получим
du „. и + х—- J (и), dx
Это уравнение с разделяющимися переменными:
du . du dx г du rdx „ x— = f(u)~u, —--------- = —, ----— - — + C.
dx ' f(u)-u x J f(u)-u ⁱ x
)
2 ?
Э
f Л
t
c.
17
Подставляя после интегрирования вместо и отношение
—, получим общий интеграл уравнения (1.5.Г).
Пример 4. Решить уравнение ~ ~ dx х²-у²'
dy du du
у-мх; — = и + х—;и + х~ = —d— •
dx dx dx 1-u²’
x — u_______j dx
ЙЛ 1 U уи и ) %
Интегрируя, находим
~ ~ lⁿ\U\ ⁼ + in\c\
2u ¹¹ ' ¹ ! ¹
-~р = ЩСу\.
Это есть общий интеграл уравнения.
1.6. Линейные уравнения первого порядка
Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение ¹
Одну из этих функций можно выбрать в удобном для нас виде, а вторая определится из уравнения (1.6.1). Дифференцируя обе части равенства (1.6.2), получим
dy dv du
—- ~-и — + v— ■. dx dx dx
Подставим это выражение в (1.6.1) и получим:
dv du ~
и — + v—- + р • uv = и, или dx dx
(dv "} du „ .
u\----у pv + v—~Q- (1.6,3)
\dx ) dx
Выберем функцию v так, чтобы выражение в скобках оказалось тождественно равным нулю.
dv _
----\-pv = 0. (1.6.4) dx
Это ДУ относительно функции v(x) с разделяющимися переменными. Разделяя их, получим:
dv
v
= - pdx, /и] v | ~ /и) С; | - - Jpdx,
z-i
v - С,е J .
-~р + Р(х)у^ Q(x), (1,6.1)
в которое производная и неизвестная функция у входят линейно, т.е. в первой степени.
Будем решать уравнение (1.6,1) так называемым методом Бернулли, т.е. в виде
y-u(x)-v(x).
Выберем Cj—1, т.е. возьмем v в виде
- Ipdx v — е ¹ .
Теперь уравнение (1.5.3) имеет вид
du du Q(x) cQ(x) , v—^Q, — = ᵤ~ \^d_^dx+C.
dx dx v(x) J v( x)
(1.6.2)