Геометрия и графика, 2016, №2

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации 
средства массовой информации
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель: 
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, 
д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501) 
Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор:
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор Московский 
технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор: 
Путкова А.В.

Отдел подписки: 
Назарова М.В.
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2016

Подписано в печать 17.06.2016. 
Формат 60x90/8. Бумага офсетная.
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru 
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Козневски Э.
Новые методы автоматизированного 
проектирования скелетов крыш  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Графский О.А. 
Об установлении взаимной связи ряда 
и пучка второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
Сальков Н.А. 
Циклида Дюпена и кривые второго порядка. 
Часть 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Иванов Г.С.
Предыстория и предпосылки трансформации 
начертательной геометрии в инженерную . . . . . . . . . . .29

Сальков Н.А.
Начертательная геометрия — 
база для компьютерной графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Ерцкина Е.Б., Королькова Н.Н.
Геометрическое моделирование 
в автоматизированном проектировании 
архитектурных объектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

Тен М.Г.
Применение мультимедиатехнологий при 
формировании профессиональных компетенций 
студентов технического вуза  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

Овчаренко О.
Взаимная поддержка и использование
CAD-программ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

2016. Том 4. Вып. 2
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского технологического университета, 
Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им. 
В.И. Сурикова, Омского государственного технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2016. Vol. 4. Issue 2
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 

ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Российский химико-технологический университет име
ни Д.И. Менделеева (Россия).

     D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 

Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 

кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
Витебский государственный университет имени 
П.М. Машерова (Беларусь).

 Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, про
фессор.

 Санкт-Петербургский государственный университет 

телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).

 Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 

St. Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент.

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия).

 Moscow Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

University of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, про
фессор.

 Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ 

им. В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).

 Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 

Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, про
фессор. 

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 

 Moscow Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 

 Moscow Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 Софийский технический университет, София (Болгария).
 Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 

 Moscow Technological University (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

Lev Institute-JCT, Jerusalem (Israel).

    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный университет геодезии и 

картографии, Москва (Россия).

 Moscow State University of Geodesy and Cartography, 

Moscow (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к 
авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать 
тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку 
без согласования с авторами. Поступившие в редак цию материалы 
будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования 
редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 Нижегородский государственный архитектурно-строитель
ный университет, Нижний Новгород (Россия). 

 Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 

Nizhny Novgorod (Russia).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный академический художест
венный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University 

Innsbruck, Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, 

Vienna (Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 Пермский национальный исследовательский политехни
ческий университет, Пермь (Россия).

 Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 

(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профес
сор. Московский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор 
(Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, первый зам. гл. 
редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент. Московский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ), зам. гл. 
редактора (Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 

Московский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), ответственный 
секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск 
(Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный университет геодезии и 
картографии (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 3–7                                                                   ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 004.92:514.174.3                       DOI: 10.12737/19827

Э. Козневски
Д-р техн. наук, профессор,
Белостокский технологический университет,
Польша, г. Белосток, ул. Вейска, 45 Е

Новые методы 
автоматизированного 
проектирования скелетов крыш 

Аннотация. Проблема эффективного проектирования крыш 

является актуальным направлением исследований, это подтверждают научные работы [1–5]. Информационные технологии, компьютер и специальные программы активно используются  во всех сферах жизни [6; 12; 15]. В статье предложены 
способы моделирования геометрических форм сложных крыш, 
так называемых «крыш с соседями», с которыми сталкиваются, например, при возведении пристроек к уже существующим 
зданиям. Крыши рассматриваются как особый класс полиэдральных поверхностей. Особые трудности проектирования 
формы крыш возникают при усложнении их основания. При 
большом количестве внутренних и внешних углов плоского 
основания крыши решение традиционным способом становится очень сложным. Предложенный в статье метод ускоряет проектирование формы кровли помещений со сложным 
периметром. В САПР закладываются параметры формирования геометрии полиэдральной поверхности кровли. Закладываемые 
в программу параметры выводятся из необходимых свойств 
крыши. При проектировании формы кровли необходимо 
учитывать направление стока воды. В статье приведены иллюстрации полученных с помощью САПР геометрических 
форм кровли помещений со сложным многоугольным основанием. Для получения изображений в статье использованы 
методы ортогонального проецирования и военной перспективы.

Ключевые слова: регулярный каркас крыши, геометрия 

скелетов крыши, крыши с соседями, форма крыши.

E. Koniewski 
Doctor of Engineering, Professor,
Bialystok University of Technology
Wiejska St. 45E 15-351 Bialystok, Poland

New Methods of the Computer Aided Design 
of Roof Skeletons

Abstract. The problem of efficient design of roofs is a topical 

area of research. This is confirmed by scientific studies [1–5, etс.]. 
Today, in the times of information technology in all areas of actively using the computer and specific programs [6; 12; 15, etc.]. 
The author presents a proposal of geometric design (geometric 
solutions) for roofs with restrictions, so-called "roof with its 
neighbors."Roofs are treated as a special class of polyhedral surfaces. Construction includes a corresponding attachment roof with 
restrictions on the roof on a simple connection of the polygon, 
designing a conventional roof and perform the appropriate logic 

operation. Fig. 1. The Boolean operations are useful tools in geometrical designing of roof skeletons. Solving roofs with neighbors 
is much easier if we bring them to solve simple roofs over simpleconnected polygon base. The difficulty comes to the design of an 
appropriate polygonal base. This method essentially involves applying geometric design of a regular roof to design a roof with 
constraints, which can be relatively easily performed with a CAD 
program [13]. The elements of a roof: a) a roof with its elements 
in the orthographic projection, b) the roof with its elements in a 
military axonometry, c) the line of disappearing ridges of the roof 
in the orthographic projection [9].

Keywords: regular roof skeleton, geometry of roof skeletons, 

roofs with neighbours, shape of roof.

1. Introduction

Fig. 1. The elements of a roof: a) a roof with its elements in the orthographic 
projection, b) the roof with its elements in a military axonometry, c) the line of 

disappearing ridges of the roof in the orthographic projection [9]

The paper contains results of the next stage of re
search into the shape of roofs. Roofs are treated as a 
special class of polyhedral surfaces. The author proposes a new approach to some problems of Descriptive 
Geometry concerning the geometry of roofs. The author 
presents a proposition of geometric design (geometric 
determination) of roofs with constraints, the so called 
«roofs with neighbours» and its influence to the teaching of Descriptive Geometry. The multi-surface roof 
with neighbours is spanned over such a polygon that a 
portion of the base does not belong to the line of eaves. 
In other words the line of eaves does not cover the base 
of the roof (Fig. 2, [16]; Fig. 3, [17]). The design involves the appropriate embedding of a roof with constraints in a roof over a simple-connected polygon, 
designing a regular roof and performing appropriate 
Boolean operations. 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 3–7

Fig. 2. An example of a building with multi hipped roof ([16], 

available 21.01.2016)

Fig. 3. An example of a building with multi hipped roof with constraints ([17], 

available 21.01.2016)

In order to illustrate the discussed problems, with the 

use of terminology and symbols from papers [7–10] (Fig. 1) 
the author shall review the main theorem concerning 
regular roofs. 

Theorem. (Euler's formula for regular roofs) If the base 

of a regular roof is a k-connected generalized v-polygon, 
then the number r of the ridges of this roof is 2v + 3(k – 2), 
the number t of the top points of this roof is v + 2(k – 2), 
the number d of the disappearing ridges of this roof is 
v + 3(k – 2). 

Fig. 4. The base of a roof with constraints: r) the base of the roof with 

constraints (double lines), r1) the roof embedded in a regular

 simple-connected roof

The Graph Theory view point of roofs corresponds 

with a graph theoretical description of architectural objects presented by Mitchell [11]. 

2. The case of completing the roof without 
corrections

The traditional roof design (Fig. 4r) requires the in
troduction of additional hipped roof ends, thus additional eaves, so that water can be removed from “the 
neighbour’s roof” or in parallel line with neighbour’s roof 
ridge (in Fig. 4r, r1 the arrows indicate this direction) [4]. 
In the proposed method the introduction of additional 
hipped roof ends (eaves) is achieved through natural 
extending (without using apparent eaves) the polygon of 
the base of a roof (i.e. building’s design) (Fig. 4r1). 

Fig. 5. A simple connected roof: r2) the extended polygon as the base of a roof 

over a simple-connected polygon, r3) the solution of the roof

Thus set task (a standard roof over a simple-connected 

polygon) is traditionally solved in a way applied in descriptive geometry [4; 14] and also, which is of great importance 
here, with CAD program [13] (Fig. 5r3). Having completed Boolean operation (subtraction, intersection, union) 
(Fig. 6r4, r5) the resulting roof is obtained (Fig. 7). This 
method essentially involves applying geometric design of 
a regular roof to design a roof with constraints, which can 
be relatively easily performed with a CAD program [13]. 

Fig. 6. The Boolean operations on the roof over the simple-connected polygon: 

r4) the base of an auxiliary prism, r5) the result of the intersection of two 

solids: the roof and the prism

Fig. 7. The solved roof and its four projections

3. The case of completing a roof with a niche 
through hipped roof end correction 

If the additional hipped roof end is not attached to its 

eaves (Fig. 8rc) the method described above requires 
correction at the end of the algorithm of roof solution. 
The extension of roof base is performed through anticipation of additional hipped roof end location, so that its 
eaves are perpendicular to the direction of water drainage 
and also so that its terminal section of water drainage at 
the same time was attached to the neighbouring hipped 
roof end (Fig. 8rc1). This induces the solution shown in 
figures 8, 9. The final stage requires removal of redundant 
roof ridges (Fig. 9rc3) and hence requires reduction of 
the number of additional hipped roof ends. Apparently 
similar situation in figure 4f is, however, totally different 
and does not require any corrections. Here the eaves are 
not apparent, although they are reduced to a point. 

Fig. 8. The roof with two apparent eaves: rc) the base of the roof with neighbor 

(the asterisks show the water fly direction)

Fig. 9. The solution with the correction of hipped roof ends. Two hipped roof 

ends with apparent eaves

4. Determination of roofs with constraints and 
with downspout points 

If the eaves of a roof are geometrically reduced to a 

point, then such eaves (a point) we call a downspout point. 
In Fig. 10 we see three bases of roofs which can be 
generated by limit operation which leads to coincident 
two eaves and vanishing third eaves (the length of one 
of three neighbour eaves convergent to zero — these 
eaves are infinitesimal). Fig. 11–13 show the idea of the 
proposed method of determination of roofs with constraints. This method can be interpreted in the following 
sense. A design of roofs with constraints is realized in 
two steps. In the first we design the roof over an appropriate simple-connected polygon, next we place the 
required window onto the projection of designed proper regular roof. 

Fig. 10. The bases of roofs with constraints (double lines): a) with one 

downspout point, b) with two natural downspout points, c) with complete 

constraints and with five downspout points

Fig. 11. The determination of a roof with constraints generated by the base in 
Figure 10a: a1) the base of the roof embedded in regular simple-connected 

polygon with one infinitesimal eaves (length of which is very little), 

a2) the received simple-connected polygon with one downspout point, a3) the 
determination of the roof, a4) Boolean operation (intersection of obtained roof 

and prism built on the base from Figure 10a)

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 3–7                                                                   ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

Fig. 12. The determination of a roof with constraints generated by the base in 
Figure 10b: b1) extended polygon as the base of the simple-connected roof 
with two downspout points as the base of the simple-connected base of the 
roof with two infinitesimal eaves, b2) the determination of simple-connected 

base of the roof, b3) Boolean operation (intersection of obtained roof and 
prism built on the base from Figure 10b), b4) the determined roof with two 

downspout points

Fig. 13. The determination of a roof with complete constraints generated by the 
base in Figure 10c: c1) extended polygon as the base of the simple-connected 
roof with five downspout points as the base of the simple-connected base of 
the roof with five infinitesimal eaves, c2) the determination of simple-connect
ed base of the roof, c3) the determined roof with complete constraints and 
with five downspout points, c4) Boolean operation (intersection of obtained 

roof and prism built on the rectangular base from Figure 10c)

Fig. 15. Pictorial view of the roof model with a base from Fig. 10a obtained 

in AutoCAD

Fig. 16. Pictorial view of the roof model with a base from Fig. 10c obtained 

in AutoCAD

4. Conclusions

The Boolean operations are useful tools in geometri
cal designing of roof skeletons. Solving roofs with neighbors is much easier if we bring them to solve simple roofs 
over simple-connected polygon base. The difficulty comes 
to the design of an appropriate polygonal base. The key 
to solve the roofs with downspout (chute) points is a 
handy adoption of eaves with appropriate short length. 

Fig. 14. The obtained roofs with different constraints

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 3–7

References

1. Aleksandrova E.P., Kochurova L.V., Nosov K.G., Stolbova I.D. 

Intensifikaciya graficheskoy podgotovki studentov na osnove 
geometricheskogo modelirovaniya [Intensification of Graphics 
Training of Students on the Basis of the Geometric Simulation]. 
Problemy kachestva graficheskoy podgotovki studentov v 
tehnicheskom vuze: tradicii i innovacii. 2015. V. 1, p. 213–
223. (in Russian)

2. Domaski T. The Impact of Loads on Fire Safety of Timber 

Roofs in Mountain Region in Poland. Bezpieczenstwo i 
technika pozarnicza, 2015, Volume 37, р. 87–96. (in Polish) 
DOI: 10.12845/bitp.37.1.2015.7.

3. Elovikova A.V., Demeneva N.V. Reshenie zadachi optimizacii 

rashoda krovelnogo materiala dlya chetyryohskatnoy kryshi
[Solving Problems Optimization Flow Hipped Roofing 
Material for Roof]. Molodyojnaya nauka 2015: tehnologii, 
innovacii, 2015, p. 91–94. (in Russian)

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 3–7                                                                   ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016

4. Grochowski B. Descriptive Geometry from an Applied 

Perspective. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995 
(in Polish)

5. Istomin B.S., Turkina E.A. Arhitekturniy potencial prostran
stva krysh mnogoetajnih jilyh zdaniy [Architectural Potential 
Roof Space High-rise Housing]. Jilichnoe stroitelstvo, 2013, 
no. 10, p. 28–31. (in Russian)

6. Korotkiy V.A., Khmarova L.I. Nachertatelnaya geometriya 

na ekrane kompyutera [Descriptive geometry on computer 
screen]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 
2013. V. 1, I. 1, p. 32–34. (in Russian). DOI: 10.12737/2083.

7. Koniewski E. O vozmojnosti primeneniya teorii grafov v 

geometrii krysh [On the possibility of the application of graph 
theory to the roof geometry]. Mejdunarodnaya konferenciya «Potencial nauki – razvitiyu promyshlennosti, ekonomiki, kultury, lichnisti», Minsk, 5–8 fevral 2002. 

8. Koniewski E. Euler’s Formula for Geometry of Roofs with 

Applications to Architectural Design. Proceedings of Dresden 
Symposium Geometry: constructive & kinematic. Dresden, 
27.02–1.03.2003, p. 156–163.

9. Koniewski E. Geometry of Roofs from Graph Theory View 

Point. Journal for Geometry and Graphics, V. 8 (2004), no. 1.

10. Koniewski E. On Existence of Shapes of Roofs. Journal 

for Geometry and Graphics. V. 8 (2004), no. 2.

11. Mitchell W.J. Computer-Aided Architectural Design. Van 

Nostrand Reinhold Company, New York, 1977.

12. Petukhova A.V. Ingenerno-graficheskaya podgotovka stu
dentov ctroitelnyh specialnostey s vspolzovaniem sovremennyh programmnyh kompleksov [Engineering Graphics Course 
Using Modern Software Systems for Students of Civil 
Engineering University]. Geometriya i grafika [Geometry 
and Graphics]. 2015. V. 3, I. 1, p. 47–58. (in Russian). DOI: 
10.12737/10458.

13. Piko A. AutoCAD 2014. Wydawnictwo Helion, Katowice, 

2014. 

14. Przewłocki S. Geometria wykrelna w zastosowaniach dla 

budownictwa i architektury [Descriptive Geometry for Civil 
Engineering and Architecture]). Wydawnictwo Uniwersytetu 
Warmisko-Mazurskiego, Olsztyn, 2000 (in Polish).

15. Volkov V.Y., Kaygorodtseva N.V., Panchuk K.L. Sovremennye 

napravleniya i perspektivy razvitiya nauchnyh issledovaniy 
po geometrii i grafike: obzor dokladov na Mejdunarodnoy 
koferencii ICGG 2014 [Modern Direction and Prospects 
for Development of Scientific Research on the Geometry 
and Graphics: A Review of Reports of the International 
Conference ICGG 2014]. Problemy kachestva graficheskoy 
podgotovki studentov v tehnicheskom vuze: tradicii i innovacii. 
2015. V. 1, p. 99–110. (in Russian)

16. www. archipelag.pl, available 21.01.2016.
17. www.projekty.ign.com.pl, available 21.01.2016.

УДК 514.14:517.53                             DOI: 10.12737/19828

О.А. Графский
Д-р техн. наук, профессор,
Дальневосточный государственный университет путей 
сообщения (ДВГУПС),
Россия, 680021, Хабаровск, ул. Серышева, 47

Об установлении взаимной связи 
ряда и пучка второго порядка

Аннотация. В соответствии с программой дисциплины 

«Спецразделы аффинной, проективной и вычислительной 
геометрии» для подготовки магистров по профилю «Системы 
мультимедиа и компьютерная графика» при ДВГУПС, рассматривается тема «Проективная теория кривых второго порядка» [4; 14; 18]. В указанных источниках, а также учебном 
пособии [11], применяется проективный способ образования 
кривых второго порядка как ряда второго порядка, а также 
двойственная его форма – пучок второго порядка (принимая 
во внимание известные теоремы, следствия, включая теоремы 
Паскаля и Брианшона).

Однако представленные графические интерпретации в 

указанных выше источниках имеют общий теоретический 
характер: для построения ряда второго порядка задаются два 
проективных пучка первого порядка с соответственными 
прямыми, а при конструировании пучка второго порядка – два 
проективных ряда с соответственными точками. Более значимые приемы можно наблюдать при построении обводов 
кривыми второго порядка: здесь, в зависимости от значений 
инженерного дискриминанта, можно строить эти кривые как 
при помощи прямых Паскаля, так и используя свойство самого инженерного дискриминанта, т.е.  принимая во внимание, что проводимые касательные к кривым второго порядка 
и составляют пучок второго порядка. 

Естественно, возникает желание не задавать соответст
венные точки на проективных рядах, а получать их построением, при этом обнаружить закономерности при конструировании различных кривых второго порядка (первый аспект 
исследования). Второй аспект заключается в рассмотрении 
конкретных примеров, которые бы имели определенные пучки второго порядка, тогда бы задача заключалась в моделировании ряда второго порядка как двойственной формы пучка. Таким образом, можно было бы достичь взаимной связи 
конкретного пучка и ряда второго порядка.

Ключевые слова: ряды и пучки первого и второго порядков, 

прямая Паскаля, инженерный дискриминант, тригонометрические функции комплексного переменного, визуализация в 
математическом пакете Maple.

O.A. Grafskiy 
Doctor of Engineering, Professor,
Far Eastern State Transport University (FESTU),
47, Seryshev St., Khabarovsk, 680021, Russia
On the Interconnection of a Range and the 
Second-Order Cluster

Abstract. In accordance with “Specialized sections of affine, 

projective and computational geometry” syllabus for Master’s 
degree program in “Multimedia systems and computer graphics” 
developed at the Far Eastern State Transport University, the subject 
“Projective theory of the second-order curves” is considered [4; 
14; 18]. Both at the sources mentioned and the textbook [11] pro
jective method of the second-order curves formation as a range of 
the second order and its dual form – a second-order cluster (with 
regard to well-known theorems and relations, including Pascal and 
Brianchon theorems) is discernible. 

However, the graphical interpretations represented at the sourc
es mentioned have general abstract character: to form the secondorder range two projective clusters of the first-order with the corresponding right lines are defined, and to design the second-order 
range – two projective series with the corresponding points. Techniques 
of high value can be observed when constructing outlines with the 
second-order curves; in this case, depending on engineering discriminant values, these curves can be constructed both using Pascal 
lines and qualities of the engineering discriminant itself, that is 
paying attention to the fact that tangents to the second-order curves 
makes the second-order cluster. 

Naturally, intent arises not to set the corresponding points on 

projective ranges, but to get them by elaboration, disclosing upon 
that regularities when constructing different second-order curves 
(the first aspect of research). The second aspect is in the consideration of the particular cases which would have definite secondorder clusters. In this case the task would be to model the secondorder range as a dual form of cluster. Thus it would be possible to 
get the interconnection of the definite cluster and the second-order 
cluster.

Keywords: second-order curves and ranges, Pascal line, engi
neering discriminant, trigonometric functions of complex variable, 
visualization tools in Maple package.

В соответствии с программой дисциплины 

«Спецразделы аффинной, проективной и вычислительной геометрии» для подготовки магистров по 
профилю «Системы мультимедиа и компьютерная 
графика» при ДВГУПС, рассматривается тема 
«Проективная теория кривых второго порядка» [4; 
14; 18]. В указанных источниках, а также учебном 
пособии [11], прослеживается проективный способ 
образования кривых второго порядка как ряда второго порядка, а также двойственная его форма — 
пучок второго порядка (принимая во внимание известные теоремы, следствия, включая теоремы Паскаля 
и Брианшона).

Однако представленные графические интерпре
тации в указанных выше источниках имеют общий 
теоретический характер: для построения ряда второго порядка задаются два проективных пучка первого порядка с соответственными прямыми, а при 
конструировании пучка второго порядка — два проективных ряда с соответственными точками. Более 
значимые приемы можно наблюдать при построении 
обводов кривыми второго порядка: здесь, в зависимости от значений инженерного дискриминанта, 
можно строить эти кривые как при помощи прямых 
Паскаля, так и используя свойство самого инженерного дискриминанта, т.е. принимая во внимание, что 
проводимые касательные к кривым второго порядка 
и составляют пучок второго порядка. 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18                                                               

Естественно, возникает желание не задавать со
ответственные точки на проективных рядах, а получать их построением, при этом обнаружить закономерности при конструировании различных кривых 
второго порядка (первый аспект исследования). Второй 
аспект заключается в рассмотрении конкретных примеров, которые бы имели определенные пучки второго порядка, тогда бы задача заключалась в моделировании ряда второго порядка как двойственной 
формы пучка. Таким образом, можно было бы достичь 
взаимной связи конкретного пучка и ряда второго 
порядка.

Раскрытие первого аспекта
Известно, что ряд второго порядка (кривая вто
рого порядка) может быть образован двумя проективными пучками S1 и S2 [14; 15; 18] (рис. 1).

Рис. 1. Определение ряда второго порядка

Так как соответственные прямые заданных про
ективных пучков S1 и S2 проводятся хоть и произвольно, но именно таким образом, чтобы действительно получилась кривая, как геометрическое множество точек пересечения соответственных прямых 
указанных пучков (на рис. 1 ряд второго порядка 
проходит через точки A, B, C). Условие распадения 
ряда второго порядка рассмотрено в работах [4; 14].

Обоснование того, что конструируемый ряд вто
рого порядка обязательно должен пройти через центры S1 и S2 приведено в работе [4].

На основании поставленной выше задачи перво
го аспекта представим следующее обоснование конструирования ряда второго порядка [5; 7; 16] (рис. 2). 
Рассмотрим два произвольных пересекающихся проективных (и перспективных) ряда точек s1 и s2, которые являются сечением одного пучка с центром O
(например, a ⊃ O, a ∩ s1 = A1, a ∩ s2 = A2, таким 
образом, A1 ∈ s1 и A2 ∈ s2). Эти же ряды точек будем 
рассматривать как сечения двух других пучков соответственно с центрами S1 и S2, например, a1 ⊃ (S1, A1) 

и a2 ⊃ (S2, A2). Тогда точки взаимного пересечения 
соответственных прямых этих пучков будут принадлежать конструируемому ряду второго порядка k2, 
например, a1 ∩ a2 = A, где A ∈ k2.

Рис. 2. Предлагаемый способ построения ряда второго порядка

Отметим следующие особенности полученного 

ряда второго порядка k2:
• ряд второго порядка k2 проходит через центры 

проективных пучков S1 и S2;

• ряд второго порядка k2 пересекает каждый ряд 

точек s1 и s2 в двух точках, одна пара из которых 
определяется прямыми OS1 и OS2 (т.е. OS1 ∩ s2 = M
и OS2 ∩ s1 = N), другая пара точек является общей 
(двойной): K = s1 ∩ s2, k2 ⊃ K. 
Тем самым отмеченные пять точек (S1, S2, K, M, N) 

вполне определяют кривую второго порядка (построение других точек кривой k2 понятно из рис. 2). 

Если через точки M и N провести прямую (рис. 3), 

то пучок S1 будет перспективен ряду точек s , т.е. 
S
s
1∧
, аналогично S
s
2∧
. Следовательно на прямой 

образуется два проективных ряда: A
A
1
2
,
,
…
…
(
)∧(
) . 

Поэтому еще раз убеждаемся, что ряд k2 будет рядом 

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18  
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016  

второго порядка, так как ряды прямой s  имеют две 
двойные точки M и N как точки пересечения прямой 
s с рядом k2.

Можно рассматривать различные частные случаи 

взаимного расположения точек O, S1, S2 и прямых s1, 
s2, но в любом случае ряд k2 обязательно будет проходить через точки S1 и S2, даже если этот ряд, как 
кривая второго порядка, распадется на две прямые 
линии (одна прямая пройдет через точки S1 и S2). 

Для моделирования коник наложим условия: кри
вые проходят через начало координат и единичные 
точки осей координат, таким образом, коники имеют общую ось симметрии в качестве биссектрисы 
1 и 3 квадрантов.

Рассматривая конику как ряд второго порядка, 

отметим известный факт: ряд может быть образован 
двумя проективными пучками S1 и S2. В качестве 
сечений этих пучков сформируем проективные прямые, которые будем рассматривать как ряды первого порядка, находящиеся в перспективном соответствии с центром пучка Q. Тогда общая точка пересечения двух рядов первого порядка будет инцидентна 
конике (примем эту точку за начало координат O). 
Эти проективные ряды имеют еще по одной общей 
точке с коникой (точки S1 и S2) — примем эти точки 
за единичные точки осей координат. Тогда проективными рядами будут служить оси координат. 
Поскольку конструируемые коники симметричны 
биссектрисе 1 и 3 квадрантов, то центр пучка Q будет 
инцидентен ей (рис. 4). 

Дополнительно отметим, что пучок прямых цен
тра Q можно рассматривать как прямые Паскаля [16].

Остается исследовать положение центра пучка Q, 

от которого зависит вид и форма коники. Из известного общего выражения, аналитически описывающего уравнение кривой линии второго порядка, 
перейдем к следующему [9; 14; 16]:

 
a1(x2 + y2) + a2xy + a3(x + y) + a4 = 0.  
(1)

Принимая в уравнении (1) коэффициент a4 = 0, 

будем иметь кривые второго порядка (коники), инцидентные началу координат. Поделив каждый член 
уравнения на коэффициент a1, получим уравнение 
только при двух неизвестных коэффициентах (параметрах):

 
x2 + y2 + a5xy + a6(x + y) = 0.  
(2)

Заменим в уравнении (2) коэффициент a6 на ко
эффициент a7 = –a6. Такая замена оправдана тем, 
что кривые линии при любых значениях коэффициента a5 будут пересекать ось абсцисс и ординат именно 
в точках с координатами x = y = a7 (а также x = y = 0, 

Рис. 3. Ведение проективных рядов на прямой s

Рис. 4. Геометрический аппарат конструирования коник

из условия, что a4 = 0). Только три конкретных значения a5 = 0, a5 = 2 и a5 = –2 определяют (в соответствии с табл. 1, приведенной для значения a7 = 1) 
фиксированные линии: для a5 = 0 — окружность; для 
a5 = 2 — пару параллельных прямых линий; для 
a5 = –2 — параболу. 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18                                                               

Таблица 1

Коники квадратичного поля, инцидентные началу координат

Параметр a7 = 1

Параметр 

a5

Изображение 
кривых линий

Параметр 

a5

Изображение 
кривых линий 

6
–1

3
–2

2
–3

1
–6

0
–30

Необходимо отметить, что коэффициенты a5 и a7 

могут принимать значения любых иррациональных 
чисел. Для значений параметра a5 > 2 (и соответственно a5 < –2) кривая линия будет являться гиперболой, которая при a5 → ∞ (и соответственно при 

a5 → –∞) стремится занять положение своих координатных осей. Для значений 0 < a5 < 2 будут иметь 
место эллипсы с полуосями a < b (и с полуосями 
a > b для значений –2 < a5 < 0). 

Взаимный переход от одной кривой линии к дру
гой обусловлен плавным изменением параметра a5. 
Таким образом, получена система перехода одних 
коник в другие с фиксированными тремя точками, 
всегда инцидентными этим кривым: O(0; 0), 
S1(a7 = 1; 0) и S2(0; a7 = 1). В результате анализа построений установлено [13], что коэффициент a5 определяет положение точки Q, через которую проходит 
пучок прямых, перспективных осям координат. Прямая 
линия SQ = j во всех случаях является осью симметрии 
конструируемых кривых. Точки S и Q находятся в 
гомотетичном соответствии. В данном случае (рис. 4) 
это обратная гомотетия, так как эти точки расположены по разные стороны относительно центра гомотетии O — начала координат. 

Коэффициент гомотетия kH будет равен:

k
OS
OQ
OS
OQ
OS
O
a
H
x
y
=
=
=
=
1
2

5.

Таким образом, для параболы

k
OS
OQ
OS
OQ
OS
O
H
x
y
=
=
=
=

−

=
−
=
−
= −
1
2
2

2
2

1
1
2

1
1
2

2,

или, зная kH = a5, можно определить положение точки Q:

OQ
OS
k
OS
a
H
=
=
5
.

Тогда, например, для параболы имеем

OQ
OS
k
OS
a
=
=
= −
= −
5

2
2
2
2 .

Для удобства можно воспользоваться отрезками 

OS1 = OS2 = 1 и соответственно отрезками OQx = OQy:

OQ
OQ
OS
a
OS
a
x
y
=
=
=
= − = −
1

5

2

5

1
2
1
2.

Построение параболы представлено на рис. 5. 

Поскольку парабола имеет несобственную точку C j
∞ , 

инцидентную прямой j (биссектрисе 1 и 3 квадрантов), то в этой точке должны пересекаться соответственные параллельные прямые S2Cx и S1Cy. Тогда 
прямая Паскаля должна пройти именно через точки: 
Cx ∈ Ox и Cy ∈ Oy, а Q = CxCy ∩ j.

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 2. 8–18  
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 2. 2016