Теория функций комплексной переменной

А.Г. СВЕШНИКОВ, А.Н. ТИХОНОВ





                ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ





ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ


Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов физических специальностей и специальности “Прикладная математика”













МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 201 0

УДК 517.5
ББК 22.161.5
      С24

    С в е ш н и к о в А. Г., Т и х о н о в А. Н. Теория функций комплексной переменной: Учеб.: Для вузов. — 6-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 336 с. — (Курс высшей математики и математической физики.) — ISBN 978-5-9221-0133-2 (Вып. 5).
    Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н. Тихонова, В.А. Ильина, А.Г. Свешникова. Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на физическом факультете Московского государственного университета. В книге изложена теория функций комплексной переменной и операционного исчисления. Приведены примеры применения методов теории функций комплексной переменной. Даны основные понятия теории функций многих комплексных переменных.
    Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Физика» и «Прикладная математика».
    Ил. 60.


























ISBN 978-5-9221-0133-2 (Вып. 5)
ISBN 978-5-9221-0134-9

(О ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2005, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редакторов серии................. 9
Предисловие к пятому изданию....... 10
Предисловие к третьему изданию..... 10
₌™„„...............................  п



Глава 1. Комплексная переменная и функции комплексной

          переменной................................. 13


    § 1. Комплексное число и действия пад комплексными числами . .
        1. Понятие комплексного числа (13). 2. Действия пад комплексными числами (13). 3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел (15). 4. Извлечение корпя из комплексного числа (17).
    § 2. Предел последовательности комплексных чисел...........
        1. Определение сходящейся последовательности (19). 2. Критерий Коши (21). 3. Бесконечно удаленная точка (21).

   § 3. Понятие функции комплек-пой переменной. Непрерывность . .
       1. Основные определения (23). 2. Непрерывность (25). 3. Примеры (28).

   § 4. Дифференцирование функции комплексной переменной . . . .
       1. Определение. Условия Коши-Римапа (33). 2. Свойства аналитических функций (36). 3. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной (37). 4. Примеры (39).

   § 5. Интеграл по комплек-пой переменной..................
       1. Основные свойства (41). 2. Теорема Коши (44). 3. Неопределенный интеграл (47).

    § 6. Интеграл Коши........................................
       1.  Вывод формулы Коши (50). 2. Следствия из формулы Коши (52). 3. Принцип максимума модуля аналитической функции (53).

     7. Интегралы, зависящие от параметра.....................
       1. Аналитическая зависимость от параметра (56). 2. Существование производных всех порядков у аналитической функции

13




19


23


33



41


50



56

          (58).

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 2. Ряды аналитических функций.......................... 61
   § 1. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной 61
       1. Числовые ряды (61). 2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость (63). 3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы Вейерштрасса.(65). 4. Несобственные интегралы,

       зависящие от параметра (69).
   § 2. Степеппые ряды. Ряд Тейлора.......................... 70
       1. Теорема Абеля (70). 2. Ряд Тейлора (75).
   § 3. Единственность определения аналитической функции..... 79

      1. Нули аналитической функции (79). 2. Теоремы единственности (79).
Глава 3. Аналитическое продолжение. Элементарные

функции комплексной переменной.................. 83
   § 1. Элементарные функции комплексной переменной. Продолжение с действительной оси............................... 83

       1. Продолжение с действительной оси (83). 2. Продолжение соотношений (87). 3. Свойства элементарных функций (91). 4. Отображения элементарных функций (94).
   § 2. Аналитическое продолжение. Понятие римановой поверхности 99 1. Основные принципы. Понятие римановой поверхности (99).
       2. Аналитическое продолжение через границу (102). 3. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение через границу (103). 4. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение с помощью степеппых рядов (108). 5.
       Правильные и особые точки аналитической функции (111). 6.

      Понятие полной аналитической функции (114).
Глава 4. Ряд Лорана и изолированные особые точки .... 116
   § 1. Ряд Лорапа.......................................116

       1. Область сходимости ряда Лорапа (116). 2. Разложение аналитической функции в ряд Лорапа (118).
   § 2. Классификация изолированных особых точек одпозпачпой ана
      литической функции...............................120
Глава 5. Теория вычетов и их приложения................128

   § 1. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке 128 1. Определение формулы вычисления вычета (128). 2. Основная теорема теории вычетов (130).
   § 2. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов . . 133 2тг
       1. Интегралы вида j 7?.(cos 0, sin(9) М. (134). 2. Интегралы ви
       да f f(x)dx (135). 3. Интегралы вида f e'uxf(x)dx. Лемма

       Жордапа (138). 4. Случай многозначных функций (144).
   § 3. Логарифмический вычет................................150
       1. Понятие логарифмического вычета (150). 2. Подсчет числа пулей аналитической функции (151).

ОГЛАВЛЕНИЕ

7

Глава 6. Конформное отображение...........................155
   § 1. Общие свойства....................................155
      1. Определение конформного отображения (155). 2. Простейшие примеры (159). 3. Основные принципы (163). 4. Теорема Римапа (168).
   § 2. Дробпо-лилейная функция...........................171
   § 3. Функция Жуковского................................181
   § 4. Интеграл Шварца-Кристоффеля. Отображение многоугольников ...................................................184
Глава 7. Применение аналитических функций к решению краевых задач.............................................193
   § 1. Общие положения...................................193
      1. Связь аналитических и гармонических функций (193). 2. Сохранение оператора Лапласа при копформпом отображении (194). 3. Задача Дирихле (196). 4. Построение функции источника (199).
   § 2. Приложения к задачам механики и физики............201
      1. Плоское установившееся движение жидкости (201). 2. Плоское электростатическое поле (212).
Глава 8. Основные понятия операционного исчисления . . . 221
   § 1. Определения и осповпые свойства преобразования .Лапласа . . 221
      1. Определение преобразования Лапласа (221). 2. Изображение элементарных функций (226). 3. Свойства изображения (228).
      4. Таблица свойств изображений (236). 5. Таблица изображений (236).
   § 2. Определение оригинала по изображению..............238
      1. Формула Меллипа (238). 2. Условия существования оригинала (241). 3. Вычисление интеграла Меллипа (244). 4. Случай регулярной па бесконечности функции (249).
   § 3. Решение задач для лилейных дифференциальных уравнений операционным методом...................................261
      1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (261). 2. Уравнение теплопроводности (257). 3. Краевая задача для уравнения в частных производных (258).
Приложение 1. Метод перевала .............................261
      1. Вводные замечания (261) . 2. Метод Лапласа (264). 3. Метод перевала (272).
Приложение 2. Метод Винера—Хопфа..........................281
      1. Вводные замечания (281). 2. Аналитические свойства преобразования Фурье (286). 3. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов (288). 4. Общая схема метода Випера-Хопфа (293). 5. Задачи, приводящие к иптеграль-пым уравнениям с ядром, зависящим от разности аргументов (298). 5.1. Вывод уравнения Милна (298). 5.2. Исследование решения уравнения Милла (302). 5.3. Дифракция па плоском

ОГЛАВЛЕНИЕ

      экране (306). 6. Решение краевых задач для уравнения в частных производных методом Випера-Хопфа (307).

Приложение 3. Функции многих комплексных переменных 312

       1. Основные определения (312). 2. Понятие аналитической функции многих комплексных перемеппых (313). 3. Формула Коши (315). 4. Степеппые ряды (316). 5. Ряд Тейлора (318). Аналитическое продолжение (319).

П р и л о ж е и и е 4. Метод Ватсона....................323
Литература .............................................331
Предметный указатель....................................332

ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ

  Настоящая книга представляет собой пятый выпуск серии «Курс высшей математики и математической физики» и посвящена изложению основ теории функций комплексной переменной и операционного исчисления. В книге также даны примеры применения методов теории функций комплексной переменной к задачам гидродинамики и электростатики, разобраны некоторые вопросы метода перевала и метода Винера-Хопфа.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ


   Четвертое издание этой книги, являющейся пятым выпуском

серии «Курс высшей математики и математической физики»,

вышло в свет в 1979 г. Поскольку последние двадцать лет книга использовалась как основной учебник по курсу теории функV            V X V   X   X V
ций комплексной переменной не только на физическом факуль

тете МГУ, но и во многих других вузах, она стала библиографической редкостью, а имеющиеся в учебных библиотеках эк

земпляры пришли в практическую негодность. Поэтому можно только приветствовать инициативу Издательской фирмы «Наука. Физматлит» РАН, предложившей настоящее, пятое, переиздание данного учебника.
   Чтя память моего учителя и соавтора этой книги академика РАН Андрея Николаевича Тихонова, скончавшегося 7 октября 1993 г. , я решил не вносить никаких изменений в текст предыдущего издания, вышедшего еще при жизни Андрея Николасвича.



Июнь 1998 г.

А. Г. Свешников


ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ


изложения, добавлен лексной переменной

   В третьем издании книги устранены замеченные неточности ряд приложений теории функций комп-(несобственные интегралы, зависящие от параметра, преобразование Ватсона и т. д. ), дано представление об основных понятиях теории функций многих комплексных переменных.
   Мы глубоко благодарны редактору этой книги С. Я. Секерж-Зеньковичу, работа которого способствовала улучшению ее содержания.


Авторы

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ


   Содержание этого выпуска в основном соответствует курсу лекций по теории функций комплексной переменной, читавшемуся авторами в течение ряда лет на физическом факультете

МГУ.

   Изложение основного материала достаточно близко к традиционному. Однако мы не проводим специального рассмотрения элементарных функций комплексной переменной в самом начале курса, как это делается в большинстве учебников, а вводим элементарные функции комплексной переменной как непосредственное аналитическое продолжение элементарных функций действительной переменной. Теоремы об аналитическом продолжении соотношений позволяют единообразно перенести в комплексную область известные свойства элементарных функций

действительной переменной.
   Естественно, что стремление к цельности изложения заставило рассмотреть отдельные вопросы несколько подробнее, чем обычно удается в рамках сжатой лекционной программы. В первую очередь это относится к общим принципам конформного отображения и применения методов теории функций комп

лексной переменной к решению краевых задач гидродинамики и электростатики. Кроме того, в книге имеются два при

ложения, посвященные изложению метода перевала и метода Винера-Хопфа, которыми физики весьма широко пользуются.
   При работе над книгой мы пользовались советами многих


наших товарищей по кафедре, в первую очередь В. А. Ильина


и Д. П. Костомарова. Большую помощь оказали многочисленные и важные замечания, сделанные Г. Л. Лунцем и М. В. Фе


дорюком, прочитавшими книгу в рукописи, а также тщательное редактирование текста книги, проведенное С. Я. Секерж-Зсньковичсм. Всем этим лицам мы выражаем самую искреннюю благодарность.


Авторы

ВВЕДЕНИЕ

   В настоящем выпуске излагаются основные понятия теории функций комплексной переменной. Понятие комплексного числа возникло в первую очередв в результате потребностей автоматизации вычислений. Даже простейшие алгебраические операции над действительными числами выводят за пределы области действительных чисел. Как известно, не всякое алгебраическое уравнение может быть разрешено в действительных числах. Тем самым надо или отказаться от автоматического применения установленных методов решения и каждый раз проводить подробное исследование возможностей их применения, или расширить область действительных чисел с тем, чтобы основные алгебраические операции всегда были выполнимы. Таким расширением области действительных чисел являются комплексные числа. Замечательным свойством комплексных чисел является тот факт, что основные математические операции над комплексными числами не выводят из области комплексных чисел.
   Введение комплексных чисел и функций комплексной переменной удобно так же при интегрировании элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т. д. часто приходится выходить в область комплексных чисел,

плексная форма записи оказывается удобной и при математической формулировке многих физических положений (например, в электро- и радиотехнике, электродинамике и т. д. ).
   Один из основных классов функций комплексной переменной — аналитические функции — находится в тесной связи с решениями уравнения Лапласа, к которому приводятся многие задачи механики и физики. Поэтому методы теории функций комплексной переменной нашли весьма широкое и эффективное применение при решении большого круга задач гидро- и аэродинамики, теории упругости, электродинимики и других естественных наук.

,/ДС
Ком-