Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
______________________________________________________________________ 
 
 
 
 
А. М. ИВЛЕВА, П. И. ПРИЛУЦКАЯ, И. Д. ЧЕРНЫХ 
 
 
 
 
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА  
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 
 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом  
университета в качестве учебного пособия 
 
 
 
Издание четвертое, исправленное и дополненное 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2014 

УДК 512.64+512.12(075.8) 
        И 255 
 
Рецензенты:  
 доцент  А.П. Ковалевский, 
доцент  Э.Б. Шварц  
 
 
Работа подготовлена на кафедре алгебры и математической логики  
НГТУ для студентов I курса всех факультетов и форм обучения 
 
 
 
Ивлева А.М. 
И 255      Линейная алгебра. Аналитическая геометрия : учеб. пособие / 
А.М. Ивлева, П.И. Прилуцкая, И.Д. Черных. – 4-е изд-е, испр. и 
доп. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2014. – 180 с. 
 
 
 
          ISBN 978-5-7782-2409-4 
 
 
 
 
В пособии подобраны задачи по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии, читаемому на I курсе всех факультетов НГТУ. Теоретический материал пособия и приведенные решения типовых задач 
способствуют лучшему усвоению материала, самостоятельной работе и 
приобретению навыков решения задач, необходимых для успешной подготовки к экзамену. Авторы не претендуют на абсолютно корректное изложение теоретического материала, упростив его для улучшения понимания. 
 
 
 
 
УДК 512.64+512.12(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-2409-4                                              ©  Ивлева А. М.,   Прилуцкая  П. И.,  
Черных И.Д., 1996, 2000, 2006, 2014  
© Новосибирский государственный  
    технический  университет, 1996, 2000, 2006,  2014 

Предисловие к четвертому изданию
Необходимость нового издания вызвана прежде всего тем, что задачников в библиотеке стало недостаточно. Кроме того, в процесс работы
с книгой всегда выявляются все-таки допущенные опечатки и, главное,
какие-то, по мнению авторов, требующие исправления недоработки. Поэтому новое издание не есть копия предыдушего. Нумерация и число
глав и разделов сохранились, но некоторые разделы переработаны, дополнены и пополнены новыми задачами. За исключением раздела 1.2,
новые задачи добавлены после уже имевшихся, чтобы по возможности
сохранить нумерацию задач и преемственность изданий.
Основные изменения коснулись следующих разделов. В разделе 1.2
(комлексные числа) расширено теоретическое описание и добавлены новые задачи. Существенно переработан раздел 5.2: появились удобные
сводные таблицы с различными уравнениями прямых и плоскостей, добавлено значительное число новых задач. Дополнен раздел 7.4 о жордановых формах.
Все замеченные опечатки исправлены, но борьба с ними продолжается, и авторы по-прежнему будут признательны всем внимательным
читателям, которые их заметят и доведут до сведения авторов.
Авторы, 2013
3

Предисловие к третьему изданию
Изначально это пособие задумывалось как сборник задач по основам
линейной алгебры и аналитической геометрии, знакомство с которыми
должен (по замыслу авторов) поддерживать любой уважающий себя студент НГТУ. По мере создания сборника возникла весьма продуктивная
идея  в начале каждого раздела поместить минимум теоретических
сведений, а также примеры решения задач. Опять-таки по замыслу авторов, это должно способствовать выработке студентами навыков, необходимых для решения задач и по возможности успешной сдачи экзамена.
В результате внедрения этой идеи и ее развития (в сторону увеличения
упомянутого выше минимума) объем книги вырос более чем вдвое, что,
в частности, позволило именовать ее уже не просто сборником задач, а
учебным пособием.
Структура этого пособия и связи между разделами изображены на
следующей схеме. В главе 1 вводятся некоторые базовые понятия современной математики (множества, числовые поля, многочлены), без кото#
 
Глава 1
Основные понятия
"
!
?
HHHHHHHH
j
#
 
 
#
Глава 2
Матрицы и определители
Раздел 1.3
Многочлены
"
!
"
!
XXXXXXXX
X
z









9
'
$
#
 
?
Глава 7
Линейные пространства
Глава 3
Пространство
геометрических
векторов
"
!
?


1
?
&
%
'
$
?
'
$
'
$
Глава 8
Евклидовы
пространства
Глава 6
Общая теория систем
линейных уравнений
Глава 4
Произведения
векторов
&
%
&
%
&
%


*









?
'
$
'
$

-
Глава 9
Кривые и поверхности
второго порядка
?
Глава 5
Линейные
геометрические объекты
&
%
&
%
4

рых дальнейшее плавание в морях линейной алгебры является если не
совсем невозможным, то уж наверняка чрезвычайно затруднительным.
Конечно, эти разделы представляют известный интерес и сами по себе
в чистом виде. К сожалению, мы не имеем возможности рассмотреть их
подробнее, поэтому глава 1 содержит лишь совершенно необходимые основы основ. В главе 2 читатель знакомится с понятиями матрицы и определителя, а также систем линейных уравнений, которые также являются
базовыми и необходимыми. Эти понятия по сути своей не сложны, хотя
обычно при их изучении возникают определенные затруднения, связанные с некоторой необычностью и непривычностью материала. Поверьте,
эта необычность вполне оправданна, что станет понятно при дальнейшем изучении линейной алгебры и многих других наук. В главах 34
содержатся важные сведения из жизни геометрических векторов, в главе 5 описываются кривые и поверхности первого порядка, т. е. прямые
и плоскости. Глава 6 завершает ознакомление читателя с системами линейных уравнений. Заметим, что ее можно читать непосредственно после
второй. Последние главы 79 начинают знакомство читателя с тем, что
на самом деле и называется линейной алгеброй. Это понятия линейного
оператора, линейного и евклидова пространства, квадратичной формы,
а также некоторые их приложения. К этим главам рекомендуется приступать только после освоения материала предыдущих глав.
Каждая глава содержит примеры решения типовых задач; решения
заканчиваются квадратиком (
) в конце. Новые термины, определяемые в тексте, выделяются курсивом. Значок .
=, встречающийся в тексте,
следует читать равно по определению или положим по определению.
Равенства или условия, объединенные фигурной скобкой, считаются выполненными одновременно, тогда как если они объединены квадратной
скобкой, это означает, что должно выполняться, по крайней мере, одно
из них. Жирным шрифтом в тексте выделяются ключевые слова, на
которые следует обратить особое внимание. Кроме того, для облегчения
усвоения материала текст снабжен многочисленными сносками. Помимо
традиционных сносок1, содержащих некоторые замечания к тексту, читатель встретит еще сноски другого типа. Они как нельзя более серьезны
и содержат сложные примеры, замечания и углубленные разъяснения,
которые можно пропустить при первом (а иногда и при втором) чтении.
Такие сноски выделяются жирным шрифтом2 . Задачи повышенной
сложности помечаются звездочкой.
1Постарайтесь не путать номер сноски с верхним индексом.
2Не расстраивайтесь, если вам не все понятно в сноске такого вида.

Осталось только пожелать успехов в изучении этой серьезной науки,
что мы и делаем. Надеемся, что это пособие действительно поможет вам
в достижении этой цели. Удачи!
Авторы, 2006

Глава 1
Основные понятия
1.1.
Множества
Множеством мы будем называть любую совокупность произвольных
объектов. Объекты, входящие в множество, называются его элементами. Запись a ∈A (a ̸∈A) означает: элемент a принадлежит (не принадлежит) множеству A.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым
и обозначается символом ∅.
Множество, содержащее все элементы рассматриваемых в данном контексте множеств, называется универсальным1 и обозначается U.
Обозначения множеств: A = {x1, . . . , xn}  множество A состоит из
элементов x1, . . . , xn; A = {x ∈M|α(x)}  множество A состоит из
элементов x множества M, обладающих свойством α(x).
Пример 1. A = {x|x = 2n, n ∈Z}  множество четных чисел.
Кванторы всеобщности и существования
Часто математические утверждения бывает удобно записывать с помощью специальных значков  кванторов. Квантор всеобщности выглядит так: ∀и читается для любого. Квантор существования (∃) читается существует. Если в цепочке кванторов встречается символ |, его
следует читать такой(-ая,-ое), что.
Кванторы используются следующим образом:
∀x ∈M

α(x)

: для любого элемента x из множества M справедливо
свойство α(x).
∃x ∈M

β(x)

: существует элемент x из множества M, для которого верно свойство β(x).
∃!x ∈M

β(x)

: существует единственный элемент x из множества
M, для которого выполняется свойство β(x).
1Можно было бы, конечно, определить U как множество ВСЕХ элементов,
но такое определение с точки зрения аксиоматической теории множеств некорректно, поскольку приводит к знаменитому парадоксу Б. Рассела.
7

Пример 2. Выражение ∃M > 0|∀x ∈D

f(x) < M

читается следующим образом: существует число M > 0 такое, что для любого
элемента x множества D выполняется f(x) < M.
Множество A называется подмножеством множества B, если
∀x ∈A

x ∈B

. Обозначение: A ⊆B.
Множества A и B называются равными2 , если A ⊆B и B ⊆A.
Обозначение: A = B.
Если A ⊆B и A ̸= B, пишем A ⊂B.
Операции над множествами
Объединением (суммой) множеств A и B называется множество, содержащее как элементы A, так и элементы B:
A ∪B = {x|x ∈A или x ∈B}.
Пересечением (произведением) множеств A и B называется множество, содержащее только элементы, принадлежащие A и B одновременно:
A ∩B = {x|x ∈A и x ∈B}.
Разностью множеств A и B называется множество, содержащее элементы A и не содержащее элементы B:
A \ B = {x|x ∈A и x /
∈B}.
Дополнением множества A называется множество, содержащее все
элементы универсального множества U, кроме элементов A:
A = U \ A = {x|x /
∈A}.
Декартовым произведением множеств A и B называется следующее
множество упорядоченных пар:
A × B = {⟨x, y⟩|x ∈A и y ∈B}.
Здесь и в дальнейшем с помощью треугольных скобок мы будем обозначать как раз упорядоченные наборы.
2Разумеется, если A и B  конечные множества, то их равенство означает, что
они содержат одни и те же элементы. Хотя это же верно и для бесконечных множеств, для последних поэлементное сравнение не представляется возможным.
Приведенное определение корректно для любых множеств.
8

Декартово произведение A×A обозначают также A2, A×A×A = A3
и т. д.3
Диаграммы ЭйлераВенна
Операции над множествами удобно для наглядности демонстрировать
на так называемых диаграммах ЭйлераВенна. На них универсальное
множество U ассоциируется с множеством точек квадрата, а рассматриваемые множества  с его подмножествами, традиционно изображаемыми в виде кругов.
# 
B
# 
B
# 
B

U

U

U

U
A
"!
"!
"!

A

A

A

A ∪B
A ∩B
A \ B
A
Числовые множества
N = {0, 1, 2, . . . , n, . . .}  множество натуральных чисел.
∀x, y ∈N

x + y ∈N, x · y ∈N

(говорят, что N замкнуто относительно
операций сложения и умножения).
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}  множество целых чисел.
∀x, y ∈Z

x + y ∈Z, x −y ∈Z, x · y ∈Z

, т. е. Z замкнуто уже
относительно сложения, умножения и вычитания.
Q = {x|x = p
q, p, q ∈Z, q ̸= 0}  множество рациональных чисел.
ℑ множество иррациональных чисел, элементы которого представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями.
R = Q ∪ℑ множество вещественных (или действительных) чисел.
Если P  любое числовое множество, то P+ обозначает множество
всех неотрицательных чисел из P, а P∗ множество всех ненулевых
чисел из P:
P+ = {x ∈P|x ≥0}, P∗= P \ {0}.
Выполняются следующие вложения:
N ⊂Z ⊂Q ⊂R.
3На самом деле, если подходить формально, декартово произведение не является ассоциативным, т. е. A × (B × C) ̸= (A × B) × C. Но давайте считать, что
A×B ×C  это множество упорядоченных троек, A×B ×C ×D  множество упорядоченных четверок и т. д. Это даст нам законное основание писать An ∀n ≥2.
9

Пример 3. Доказать тождество A ∩B = A ∪B.
Решение
а) Докажем, что если x ∈A ∩B, то x ∈A ∪B.
x ∈A ∩B ⇒x ∈U и x ̸∈A ∩B ⇒x ̸∈A или x ̸∈B ⇒
x ∈A или x ∈B ⇒x ∈A ∪B,
таким образом, A ∩B ⊆A ∪B.
б) Докажем, что если x ∈A ∪B, то x ∈A ∩B.
x ∈A ∪B ⇒x ̸∈A или x ̸∈B ⇒x ̸∈A ∩B ⇒x ∈A ∩B,
таким образом, A ∪B ⊆A ∩B и, следовательно, A ∩B = A ∪B, что и
требовалось доказать.
1.1. Задачи
1. Перечислите элементы множеств:
а) A = {x ∈N|x2 −3x −4 ≤0};
б) B =
)
;
(
x ∈Z





1
4 ≤2x < 5
в) A ∪B; г) A ∩B; д) A \ B; е) B \ A.
2. Даны множества: A = (−1, 2]; B = [1, 4). Найдите множества:
а) A ∪B; б) A ∩B; в) A \ B; г) B \ A.
3. Изобразите на координатной плоскости множества:
а) {(x, y)|x2 −y2 > 0; x, y ∈R};
б) {(x, y)|y2 ≥2x + 1, x, y ∈R}.
4. Перечислите элементы декартова произведения множеств A и B,
если A = {1, 2, 4}, B = {a, b}.
5. Даны множества: A = {x ∈Z|x2 −2x −15 ≤0}, B = {2x|x ∈Z},
C = {2x + 1|x ∈Z}. Перечислите элементы множеств A, A ∩B, A ∩C,
A \ B, A \ C, B ∪C, B ∩C.
6. Докажите следующие тождества, используя только определения
операций над множествами:
а) A \ B = A ∩B;
б) B ∩(A \ B) = ∅;
в) B ∪(A \ B) = A ∪B;
г) A ∪A = U;
д) A ∩A = ∅.
Проиллюстрируйте их с помощью диаграмм ЭйлераВенна4 .
7. Перечислите все подмножества множества A:
а) A = {{1, 2}, {3}, 1};
б) A = {{1}, {2}, 1, 2}.
4Заметим, что саму иллюстрацию с помощью диаграмм ЭйлераВенна никак
нельзя считать доказательством, она служит только для наглядности.
10