Глобальное управление асимптотическими инвариантами линейных систем малых размерностей

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.926+517.977
c
⃝À. À. Êîçëîâ
ГЛОБАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ИНВАРИАНТАМИ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ 1
Для двумерных линейных равномерно вполне управляемых систем с локально
интегрируемыми коэффициентами получены достаточные условия глобальной
управляемости показателей Ляпунова и глобальной ляпуновской приводимости.
Для трехмерных систем приводится основная лемма, позволяющая перенести на
них эти результаты.
Ключевые слова: равномерная полная управляемость, показатели Ляпунова.
Рассмотрим линейную управляемую систему
˙
x = A(t)x + B(t)u,
x ∈Rn,
u ∈Rm,
t ⩾0
(1)
t
∥B(τ)∥dτ < +∞. Замкнем систему (1) при пос локально интегрируемыми по Лебегу матрицами коэффициентов A и B.
Будем также считать, что эти матрицы обладают свойством интегральной ограниченности, то есть для всех t ⩾0 справедливы неравенства
t+1
R
t
∥A(τ)∥dτ < +∞и
t+1
R
мощи линейной обратной связи u = U(t)x, в которой произвольная фиксированная (m ×n)-матрица U предполагается ограниченной и измеримой.
Тогда получим замкнутую однородную систему
˙
x = (A(t) + B(t)U(t))x,
x ∈Rn,
t ⩾0,
(2)
характеристическими показателями которой будут являться числа
λ1(A + BU) ⩽. . . ⩽λn(A + BU).
Задача глобального управления показателями Ляпунова состоит в построении для системы (1) такой обратной связи u = U(t)x, которая обеспечила
бы равенства
λi(A + BU) = µi,
i = 1, n,
1Работа выполнена в рамках Государственной программы фундаментальных исследований ¾Математические модели¿.