Глобальное управление асимптотическими инвариантами линейных систем малых размерностей


              ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА


МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.926+517.977

© А. А. Козлов




                ГЛОБАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
                АСИМПТОТИЧЕСКИМИ ИНВАРИАНТАМИ
                ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МАЛЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ ¹





Для двумерных линейных равномерно вполне управляемых систем с локально интегрируемыми коэффициентами получены достаточные условия глобальной управляемости показателей Ляпунова и глобальной ляпуновской приводимости. Для трехмерных систем приводится основная лемма, позволяющая перенести на них эти результаты.

Ключевые слова: равномерная полная управляемость, показатели Ляпунова.

   Рассмотрим линейную управляемую систему


x = A(t)x + B(t)u, x G Rⁿ,     u G Rm,    t > 0


(1)

с локально интегрируемыми по Лебегу матрицами коэффициентов A и B. Будем также считать, что эти матрицы обладают свойством интегральной ограниченности, то есть для всех t > 0 справедливы неравенства t+1                  t+1
f ||A(т) || dr < + ж и f \\B(т) || dr < + ж. Замкнем систему (1) при по-tt
мощи линейной обратной связи u = U(t)x, в которой произвольная фиксированная (m х n)-матрица U предполагается ограниченной и измеримой. Тогда получим замкнутую однородную систему


x = (A(t)+ B(t)U(t))x,   x G Rⁿ,   t > 0,


(2)

характеристическими показателями которой будут являться числа

Ai(A + BU) 6 ... 6 Xn(A + BU).


Задача глобального управления показателями Ляпунова состоит в построении для системы (1) такой обратной связи u = U(t)x, которая обеспечила бы равенства

Ai (A + BU )= ^i, i = 1 ,n,


   ¹ Работа выполнена в рамках Государственной программы фундаментальных исследований «Математические модели».