ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОГО ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВХОДА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2

УДК 517.977

c
⃝ А. М. Кадиев

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОГО
ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВХОДА
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1

Предлагается устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм восстановления неизвестного управления, действующего на дифференциальное уравнение с запаздыванием.

Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения, идентификация, управление с моделью.

Рассматривается система, описываемая нелинейным дифференциальным уравнением с запаздыванием

˙x(t) = f(t, x(t), x(t − τ)) + Bu(t),
t ∈ T = [t0, ϑ],

x(t0 + s) = x0(s),
s ∈ [−τ, 0],

где x ∈ Rn, u ∈ RN, ϑ < +∞, B — n × N-матрица, f(t, x, y) — n × nматрица-функция, удовлетворяющая условию Липшица по совокупности
переменных t, x, y, функция x0(s), s ∈ [−τ, 0] дифференцируема, причем
˙x0(·) ∈ L∞([−τ, 0]; Rn). Траектория системы x(·) зависит от меняющегося во времени входного воздействия u(·), заранее, как и траектория, не
заданного. Известно лишь, что u(·) ∈ L∞(T; RN). В дискретные, достаточно частные, моменты времени τi ∈ T, τi+1 = τi + δ(h), i ∈ [0 : m − 1],
τ0 = t0, τm = ϑ наблюдаются векторы x(τi). Результаты измерений — векторы ξh
i ∈ Rn — удовлетворяют соотношениям ξh
i = x(τi) + zi, |zi|n ⩽ h,
h ∈ (0, 1) — точность измерения. Требуется построить алгоритм приближенного восстановления входа u(·), обладающий свойствами динамичности и устойчивости.
Алгоритм решения задачи основан на идеях работ [1, 2]. Следуя этим
работам, выбираем вспомогательную систему в виде

˙wh(t) = f(τi, ξh
i , ξh
i−kh) + Bvh(t),
t ∈ δi = [τi, τi+1),

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 07-01-00008), Фонда
содействия отечественной науке, Программы поддержки ведущих научных школ России.