Поглощаемость, неблуждаемость и рекуррентность множества достижимости управляемой системы

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.911/517.93
c
⃝Å. À. Ïàíàñåíêî, Ë. È. Ðîäèíà, Å. Ë. Òîíêîâ
ПОГЛОЩАЕМОСТЬ, НЕБЛУЖДАЕМОСТЬ
И РЕКУРРЕНТНОСТЬ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ
УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ1
Исследуются условия, при которых множество достижимости управляемой системы поглощается заданным множеством, обладает свойством неблуждаемости,
рекуррентности или эргодичности.
Ключевые слова: управляемые системы, динамические системы, дифференциальные включения, достижимость, инвариантность, неблуждаемость, рекуррентность, эргодичность.
Введение
Пусть (Σ, ht)  фиксированная топологическая динамическая система2 с
компактным фазовым пространством Σ, f(σ, x, u)  непрерывная функция переменных (σ, x, u) ∈Σ × Rn × Rm, удовлетворяющая локальному
условию Липшица по переменной x равномерно относительно (σ, u) на
множестве Σ × U, где U  заданное компактное множество в Rm.
Рассмотрим управляемую систему
U
f(htσ, x, u)ηt(du),
(0.1)
˙
x =
Z
где ηt  допустимое управление3 и отвечающее системе (0.1) дифференциальное включение
˙
x ∈F(htσ, x),
F(σ, x) = co f(σ, x, U).
(0.2)
Здесь co A  замыкание выпуклой оболочки множества A.
1Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 07-01-00305 и 06-01-00258).
2То есть ht  однопараметрическая группа преобразований фазового пространства
Σ в себя, непрерывная по (t, σ) (см. [1, 2]).
3Функция t →ηt называется допустимым управлением, если при каждом t
ηt 
вероятностная мера Радона с носителем в U и для любой непрерывной функции a(u),
U
a(u)ηt(du) измерима по Лебегу (см. [3, 4] и библиографию в [4]).
функция t →
Z