НЕКОТОРЫЕ ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.929
c
⃝Â. Â. Ìàëûãèíà, À. Þ. Êóëèêîâ
НЕКОТОРЫЕ ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ
РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Предложен метод сведения неавтономных разностных уравнений к функционально-дифференциальным, на основе которого получены новые признаки устойчивости разностных уравнений.
Ключевые слова: неавтономные разностные уравнения, устойчивость.
Рассмотрим разностное уравнение
x(n + 1) −x(n) = −a(n)x(n −h(n)),
n ∈N0.
(1)
Не нарушая общности, можно считать, что при отрицательных значениях
аргумента x полагается равным нулю, а x(0) = 1.
Введем вспомогательные функции непрерывного аргумента p и r по
правилу p(t) = a([t]), r(t) = h([t]) + t −[t], где [t] означает целую часть
числа t ∈R+. Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение
с сосредоточенным запаздыванием
y′(t) = −p(t)y(t −r(t)),
t ∈R+,
(2)
в котором при отрицательных значениях аргумента также полагаем y равным нулю, а y(0) = 1. Легко доказать, что между решениями уравнений
(1) и (2) существует простая зависимость: x(n) = y(n) при любых n ∈N0.
Теперь для исследования устойчивости решения уравнения (1) можно использовать любые известные признаки устойчивости для уравнения (2)
(см., например, [1, гл. 3]).
n=0
|a(n)| < ∞. Тогда любое решение уравнения (1)
Теорема 1. Пусть
∞
P
имеет на бесконечности конечный предел.
n=0
a(n) = ∞и
lim
n→∞
n−h(n)
a(i) < 3/2.
Теорема 2. Пусть a(n) ⩾0,
∞
P
n
P
Тогда уравнение (1) асимптотически устойчиво.