НЕКОТОРЫЕ ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА                            2008. Вып. 2



УДК 517.929

© В. В. Малыгина, А. Ю. Куликов
НЕКОТОРЫЕ ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Предложен метод сведения неавтономных разностных уравнений к функционально-дифференциальным, на основе которого получены новые признаки устойчивости разностных уравнений.
Ключевые слова: неавтономные разностные уравнения, устойчивость.

   Рассмотрим разностное уравнение

            x(n + 1) — x(n) = —a(n)x(n — h(n)), n G No•      (1)

He нарушая общности, можно считать, что при отрицательных значениях аргумента x полагается равным нулю, a x(0) = 1 •
   Введем вспомогательные функции непрерывного аргумента p и r по правилу p(t) = a([t]), r(t) = h([t]) + t — [t], гдe [t] означает целую часть числа t G R+ • Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение с сосредоточенным запаздыванием

                  у'(t) = —p(t)у(t — r(t)), t G R+,          (2)

в котором при отрицательных значениях аргумента также полагаем у равным нулю, а у(0) = 1 • Легко доказать, что между решениями уравнений (1) x x^) существует простая зависимость: x(n) = у(n) при любых n G Nₒ • Теперь для исследования устойчивости решения уравнения (1) можно использовать любые известные признаки устойчивости для уравнения (2) (см., например, [1, гл. 3]).

                     Ж
  Теорема 1. Пусть a |a(n)| < ж. Тогда любое решение уравнения (1) n=0
имеет на бесконечности конечный предел.

                               ос            ___ n
  Теорема 2. Пусть a(n) > 0,     a(n) = ж и lim      a(i) < 3/2•
                              n n            П——   1/ \
                              n=0               n-h (n)

Тогда, уравнение (1) асимптотически устойчиво.