ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВОЗМУЩЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ПОСТРОЕНИЯ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.929
c
⃝Þ. Ô. Äîëãèé
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВОЗМУЩЕНИЯ В ЗАДАЧЕ
ПОСТРОЕНИЯ АППРОКСИМИРУЮЩИХ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 1
Для линейных периодических систем с последействием строятся аппроксимирующие характеристические уравнения.
Ключевые слова: линейные системы с последействием, характеристические уравнения, определители возмущения.
Данная работа посвящена проблеме построения характеристических
уравнений для линейных периодических систем с последействием
dx(t)
dt
=
Z 0
−r
dη(t, s)x(t + s),
t ∈R+ = (0, +∞),
(1)
где x : [−r, +∞) −
→Rn, η : R+ × [−r, 0] −
→Rn×n  ω -периодическое
отображение по первому аргументу, η(·, 0) = 0 , 0 < r ⩽ω . Предполагается, что функция η измерима по Лебегу на множестве [0, ω] × [−r, 0], при
фиксированном значении t ∈[0, ω] функция η(t, ·) имеет ограниченную
вариацию на [−r, 0], функция
var
s∈[−r,0] η(·, s) является интегрируемой по
Лебегу на [0, ω].
Оператор монодромии действует в функциональном пространстве состояний C ([−r, 0], Rn) и определяется формулой Uϕ = xω(·, ϕ), где
xω(·, ϕ)  элемент решения c начальной функцией ϕ [1, 2]. Рассмотрим
в функциональном пространстве состояний представление оператора
U = UM + RM,
(2)
где RM и UM  возмущающий и конечномерный операторы соответственk=1
fk(·)ϕk, fk  непрерывные функционалы, ϕk ∈C ([−r, 0], Rn),
но, UM =
M
P
1Работа выполнена при финансовой поддержке программы фундаментальных исследований Президиума РАН  13 ¾Математические методы в нелинейной динамике¿ и
РФФИ (грант 060100399).