УСТОЙЧИВОСТЬ И ВЫПУКЛОСТЬ: ОТ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ДО РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.96
c
⃝Â. Ì. Ãèëÿçåâ, Ì. Ì. Êèïíèñ
УСТОЙЧИВОСТЬ И ВЫПУКЛОСТЬ:
ОТ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ДО РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Показано, что выпуклость последовательности коэффициентов способствует устойчивости разностных уравнений и дифференциальных уравнений с запаздываниями.
Ключевые слова: выпуклость, разностное уравнение, устойчивость.
Известен следующий результат [1, theorem 1.2.20].
Теорема 1. Если a(τ) дважды дифференцируема, монотонно убывает,
0
a(τ) dτ сходится и a(τ) ̸≡0, то нулевое
выпукла на [0; ∞), интеграл
∞
R
решение интегро-дифференциального уравнения
dx
0
a(τ)x(t −τ) dτ = 0,
t ⩾0
(1)
dt +
Z ∞
асимптотически устойчиво.
Положим ∆am = am+1−am, ∆2am = am−2am+1+am+2. Последовательность (am)k
m=1 назовем выпуклой, если ∆2am ⩾0 при 1 ⩽m ⩽k −2 и
ak−1 ⩾2ak > 0.
Теорема 2. Если ∆2a0 > 0, ∆2am ⩾0 при 1 ⩽m ⩽k −2 и
ak−1 ⩾2ak > 0, то уравнение
dx
dt + a0
2 x(t) +
m=1
amx(t −mτ) = 0,
t ⩾0
(2)
k
X
асимптотически устойчиво при любом τ ⩾0.
Теорема 2 улучшает результат работы [2], в которой при тех же условиях утверждалась устойчивость уравнения dx
m=1
amx(t−mτ) = 0.
dt +a0x(t)+
k
P