О СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.977.1 + 517.926
c
⃝А. Ф. Габдрахимов
О СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ
СВЯЗЬЮ
Получены достаточные условия стабилизации линейных стационарных управляемых систем с неполной обратной связью в классе кусочно-постоянных управлений для n ⩽3.
Ключевые слова: управляемая система, стабилизация, обратная связь.
Рассмотрим линейную стационарную управляемую систему
˙
x = Ax + Bu,
x ∈Rn,
u ∈Rm.
(1)
Допустим, что измерению доступны линейные комбинации фазового
вектора
y = C∗x,
y ∈Rk.
(2)
Пусть управление строится по принципу неполной обратной связи в
виде u = Uy. Соответствующая замкнутая система будет имеет вид
˙
x = (A + BUC∗)x,
x ∈Rn.
(3)
В системе (3) роль управления играет U. Исследуется следующая задача
стабилизации. Дана тройка матриц A, B, C. При каких условиях существует матрица U такая, что система (3) является асимптотически
устойчивой? Данная задача в работе [1] названа проблемой Брокетта.
Рассмотрим случай k = 1. Будем предполагать, что система (1) вполне
управляема, и система (1), (2) вполне наблюдаема. Тогда (см., например, [2]) без ограничения общности можно считать, что m = 1 и матрицы
A, B, C системы (3) имеют вид
.
,
C =
,
B =
A =
c1
.
.
.
cn−1
cn
0
.
.
.
0
−1
0
1
· · ·
0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0
0
· · ·
1
−a1
−a2
· · ·
−an
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
Из условия полной наблюдаемости необходимо следует, что cn ̸= 0. Полагаем без ограничения общности cn = 1.