О корректности управляемых систем с запаздыванием

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.911/517.929
c
⃝Å. Î. Áóðëàêîâ, Å. Ñ. Æóêîâñêèé
О КОРРЕКТНОСТИ
УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1
Получены условия непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от функций управления и запаздывания. При выполнении этих условий
можно гарантировать, что неточности в определении параметров не могут оказать большого влияния на управляемую систему.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения с запаздыванием, непрерывная
зависимость решений от параметров, управляемые системы.
Пусть Rn  пространство векторов, имеющих n действительных компонент, с нормой | · |; µ  мера Лебега на отрезке [a, b]; L([a, b], µ, Rn) 
пространство измеримых суммируемых функций y : [a, b] →Rn с норa
|y(s)| ds; AC([a, b], µ, Rn)  пространство таких абсолютно
мой ∥y∥L =
Z b
непрерывных функций x : [a, b] →Rn, что ˙
x ∈L([a, b], µ, Rn), с нормой
∥x∥AC = |x(a)| + ∥˙
x∥L.
Рассмотрим задачи Коши
˙
x(t)=f
¡
t, x(t−τ1(t)), x(t−τ2(t)), . . . , x(t−τm(t)), u(t)
¢
, t ∈[a, b],
x(t) = ϕ(t),
если t /
∈[a, b],
x(a) = α;
(1)
˙
x(t)=f
¡
t, x(t−τ1i(t)), x(t−τ2i(t)), . . . , x(t−τmi(t)), ui(t)
¢
, t ∈[a, b],
x(t) = ϕ(t),
если t /
∈[a, b],
x(a) = α,
i = 1, 2, . . . ,
(1i)
где функции τj, τji : [a, b] →[0, +∞), j = 1, 2, . . . , m, i = 1, 2, . . . измеримы, функции u, ui : [a, b] →Rk, i = 1, 2, . . . измеримы и ограничены в
существенном, функция ϕ : (−∞, a) →Rn равномерно непрерывна и ограничена, функция m+2 аргументов f : [a, b]×Rn×Rn×. . .×Rn×Rk →Rn
удовлетворяет условиям Каратеодори:
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 07-01-00305), Рособразования (темплан 1.6.07), Норвежской национальной программы научных исследований
FUGE при Совете научных исследований Норвегии и Норвежского комитета по развитию университетской науки и образования (NUFU), грант PRO 06/02.