К теории функционально-дифференциальных включений с импульсивными воздействиями

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.911.5
c
⃝À. È. Áóëãàêîâ, À. È. Êîðîáêî, Î. Â. Ôèëèïïîâà
К ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ВКЛЮЧЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ 1
Рассматриваются функционально-дифференциальные включения с вольтерровым по А. Н. Тихонову многозначным отображением и импульсными воздействиями. Сформулированы теоремы о продолжаемости решений и установлена связь
априорной ограниченности решений с глобальной разрешимостью системы.
Ключевые слова: функционально-дифференциальные включения, вольтерровость
по А. Н. Тихонову, априорная ограниченность, выпуклость по переключению,
разложимость.
Данная работа посвящена вопросу о продолжаемости решений задачи
Коши для функционально-дифференциального включения с вольтерровым по А. Н. Тихонову многозначным отображением и импульсными воздействиями. Отметим, что дифференциальные уравнения с импульсными
воздействиями исследовались в монографиях [1, 2].
Пусть U ⊂[a, b]  измеримое по Лебегу множество. Обозначим через
Ln(U) пространство суммируемых по Лебегу функций x : U →Rn с нормой ∥x∥Ln(U) =
Z
U
|x(s)|ds. Если Φ ⊂Ln[a, b], то будем говорить, что
множество Φ выпукло по переключению (разложимо), если для любых
x, y ∈Φ и любого измеримого множества e ⊂[a, b] выполнено включение
χ(e)x+χ([a,b]\e)y ∈Φ, где χ(·)  характеристическая функция. Множество
всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению подмножеств
пространства Ln[a, b] обозначим через S(Ln[a, b]).
Пусть, далее, tk  конечный набор точек, удовлетворяющих неравенствам a < t1 < . . . < tm < b. Обозначим через
e
Cn[a, b] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [a, t1],
(t1, t2], . . . ,
(tm, b] ограниченных функций x : [a, b] →Rn, имеющих пределы справа в точках tk,
k = 1, 2, . . . , m. Норму в
e
Cn[a, b] определим равенством ∥x∥e
Cn[a,b] = sup{|x(t)|: t ∈[a, b]}. Далее, если τ ∈(a, b] , то про1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 070100305), Рособразования (темплан 1.6.07), Норвежской национальной программы научных исследований FUGE и Норвежского комитета по развитию университетской науки и образования
(NUFU), грант PRO 06/02.