ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОГО МЕТОДА НЕВЯЗКИ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.977
c
⃝М. С. Близорукова
ОБ ОДНОЙ МОДИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОГО
МЕТОДА НЕВЯЗКИ 1
Предлагается алгоритм решения задачи устойчивого восстановления неизвестного управления в динамической системе по неточным измерениям текущей фазовой траектории системы.
Ключевые слова: управляемые системы, алгоритм восстановления.
Рассматривается система
˙
x(t) = f1(t, x(t)) + f2(t, x(t))u(t),
t ∈T = [t0, ϑ],
x(t0) = x0,
(1)
где x(t) ∈Rn  фазовый вектор системы, u(t) ∈RN  неизвестная управляющая функция, f1(·), f2(·)  векторные функции, удовлетворяющие на
T × Rn условию Липшица. Обсуждаемая задача состоит в следующем.
Траектория системы x(·) порождается некоторым входом u(t) ∈P при
t ∈T, где P ⊂RN  фиксированный выпуклый компакт. В дискретные
моменты времени τi замеряется с ошибкой вектор x(τi). Задача состоит в
построении алгоритма, который в режиме ¾реального времени¿ по результатам измерений формирует некоторую функцию u(·), порождающую x(·).
В настоящей работе предложен алгоритм решения указанной задачи, основанный на динамической модификации известного в теории некорректных
задач метода невязки, приведенной в работе [1].
Пусть u∗(·)  минимальный по норме в L2(T; RN) элемент из множества всех управлений u(·), порождающих траекторию x(·) и принимающих значения в P. Для каждого h ∈(0, 1) выберем равномерное разбиение отрезка T: ∆h = {τh,i}mh
i=0, t0 = τh,0 < τh,1 < . . . < τh,mh = ϑ,
τh,i = τh,i−1 + δ(h). Предположим, что движение x(·) = x(· ; t0, x0, u(·))
и результаты неточных измерений (величины ξh
i ) связаны соотношением
|ξh
i −x(τh,i)| ⩽νh
i , где величина νh
i характеризует ошибку наблюдения в
момент τi. Пусть выполнены условия: 1) существует число K > 0 такое,
i=1
νh
i →0 при
что 0 ⩾νh
i ⩾K, ∀i ∈[0 : mh], h ∈(0, 1); 2) δ(h) →0, ϕ(h) =
mh
P
h →0. Последнее содержательно означает следующее: при стремлении h
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 060100359),
Программы поддержки ведущих научных школ России и Урало-Сибирского интеграционного проекта.