Об управлении спектром и стабилизации билинейных систем

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.977.1 + 517.926
c
⃝Â. À. Çàéöåâ
ОБ УПРАВЛЕНИИ СПЕКТРОМ
И СТАБИЛИЗАЦИИ БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 1
Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи управления
спектром в билинейной системе.
Ключевые слова: управление спектром, стабилизация, билинейная система.
Рассмотрим линейную стационарную управляемую систему
˙
x = A0x + Bu,
y = C∗x,
(x, u, y) ∈Rn × Rm × Rk.
(1)
Пусть управление в системе (1) строится в виде линейной неполной обратной связи u = Uy. Соответствующая замкнутая система будет иметь
вид
˙
x = (A0 + BUC∗)x,
x ∈Rn.
(2)
Наряду с системой (2), рассмотрим билинейную управляемую систему
˙
x = (A0 + u1A1 + . . . + urAr)x,
x ∈Rn.
(3)
Всякую систему вида (2) можно записать в виде (3), если положить r :=
mk, A1 := b1c∗
1, . . . , Ak := b1c∗
k, Ak+1 := b2c∗
1, . . . , A2k := b2c∗
k, . . . , Ar−k+1 :=
bmc∗
1, . . . , Ar := bmc∗
k, u := (u11, . . . , u1k, u21, . . . , u2k, . . . , um1, . . . , umk), где
U = {uij}j=1,...,k
i=1,...,m.
Исследуется задача управления спектром матрицы системы (3) или,
по-другому, задача размещения собственных значений (pole assignment
problem). Будем говорить, что задача управления спектром в системе (3)
разрешима, если для произвольного многочлена p(λ) = λn +γ1λn−1 +. . .+
γn, γi ∈R найдется постоянное управление u = (u1, . . . , ur) ∈Rr такое,
что характеристический многочлен χ(A0 + u1A1 + . . . + urAr; λ) матрицы
A0 + u1A1 + . . . + urAr совпадает с p(λ). Будем предполагать, что коэффициенты систем (2) и (3) имеют следующий вид:
,
A0 =
ao
11
ao
12
0
. . .
0
ao
21
ao
22
ao
23
. . .
0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
ao
n−1,1
ao
n−1,2
. . . . . . . .
ao
n−1,n
ao
n1
ao
n2
. . . . . . . .
ao
nn
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò 060100258).
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°