НЕРАВЕНСТВО ЛЯПУНОВА ВО ВРЕМЕННЫХ ШКАЛАХ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.929
c
⃝И. С. Загребина
НЕРАВЕНСТВО ЛЯПУНОВА ВО ВРЕМЕННЫХ ШКАЛАХ
Доказано неравенство Ляпунова для произвольной временной шкалы.
Ключевые слова: временная шкала, неравенство Ляпунова.
О п р е д е л е н и е 1 [1]. Замкнутое множество T
⊆R называется
временной шкалой.
О п р е д е л е н и е 2 [1]. Отображения σ, ρ : T →T, определенные
равенствами
σ(t) = inf{s ∈T, s > t},
σ(sup T) = sup T,
ρ(t) = sup{s ∈T, s < t},
ρ(inf T) = inf T,
называются операторами скачка.
П р и м е р 1. Если T = R, то σ(t) = ρ(t) = t. Если T = Z, то σ(t) =
t + 1, ρ(t) = t −1.
О п р е д е л е н и е 3 [1]. Немаксимальный элемент t ∈T называется
изолированным справа (rs), если σ(t) > t, и плотным справа (rd), если
σ(t) = t. Неминимальный элемент называется изолированным слева (ls),
если ρ(t) < t, и плотным слева (ld), если ρ(t) = t.
О п р е д е л е н и е 4 [1]. Отображение g : T →X, где X банахово
пространство, называется rd-непрерывным, если
1) g(t) непрерывно в каждой rd-точке t ∈T,
2) в каждой ld-точке существует
lim
s→t−0 g(s) = g(t−).
О п р е д е л е н и е 5 [1]. Отображение u : T →X называется дифференцируемым в точке t ∈T, если существует a ∈X такое, что для
любого ε > 0 найдется δ > 0 и для всех s ∈T ∩Oδ(t) выполнено
∥u(σ(t)) −u(s) −a(σ(t) −s)∥⩽ε|σ(t) −s|. Производная отображения u
обозначается u∆.
П р и м е р 2. Если T = R, то u∆(t) = u′(t). Если T = Z, то u∆(t) =
u(t + 1) −u(t).