ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.929
c
⃝Â. Í. Áàðàíîâ
ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА
СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ1
Даются необходимые и достаточные условия инвариантности множеств для систем с последействием.
Ключевые слова: системы с последействием, множества выживаемости, инвариантные множества.
Пусть задано число r > 0. Обозначим X = C([−r, 0], Rn)  пространство непрерывных на отрезке [−r, 0] функций со значениями в Rn и нормой ∥ϕ∥X
.
=
max
s∈[−r,0] |ϕ(s)|. Для непрерывной функции t →x(t) ∈Rn,
t ∈[t0 −r, t0 + α) обозначим t →xt ∈X, t ∈[t0 −r, t0 + α)  отображение
заданное равенством
xt(s) .
= x(t + s),
t ∈[t0 −r, t0 + α),
s ∈[−r, 0].
(1)
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения с последействием
˙
x(t) = f(t, xt),
(2)
xt0 = ϕ,
(3)
где f : R × X →Rn  непрерывная на R × X функция, ϕ ∈X.
О п р е д е л е н и е 1. Пусть M ⊂R×X. Будем говорить, что множество M является
множеством выживаемости системы (2), если для
любой точки (t0, ϕ) ∈M найдется решение задачи (2), (3) t →x(t) ∈Rn,
t ∈[t0−r, t0+α) такое, что для всех t ∈[t0−r, t0+α) выполнено включение
(t, xt) ∈M, где t →xt ∈X определено равенством (1).
Если для любой точки (t0, ϕ) ∈M и любого решения t →x(t) ∈Rn
задачи (2), (3) движение t →xt, определеное равенством (1), не покидает множества M, то будем говорить, что множество M
положительно
инвариантно.
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò 060100258).