О СВЯЗИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ И ФУНКЦИИ КОШИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.929




                ° А. С. Баландин




О СВЯЗИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ И
ФУНКЦИИ КОШИ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
Выведена формула, связывающая фундаментальное решение и матрицу Коши линейного автономного скалярного уравнения нейтрального типа.
Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение нейтрального типа, фундаментальное решение, функция Коши.


Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение нейтрального типа

         [е - р1 аг3i)X(t) = j0bjSj)x(t) + f (t), t e R+,

(1)

где I e N, J e  No, ai,bj e R, h e R₊, функция f: R₊  ^ R суммируема на каждом конечном отрезке [0,l], S— оператор, определенный




равенством




(Sy)(¹ ) = |0(t h)'

t h h > 0, t — h < 0.

   Ставится задача получения простых формул, связывающих функцию Коши и фундаментальное решение уравнения (1).
   Пусть X— фундаментальное решение уравнения (1). Поставим ему в соответствие последовательность {xk }ₖ^z , элементы которой определяются равенством Xk (т) = X (kh + т) , т e [0 ,h], и для этой последователь-Ж
ности составим производящую функцию Fx (t,z) = Xk Xk (т) zk, z e C. k=0

                  I    .         J     .
Обозначим Pₐ(z) = P aiz¹, Pb(z) = P bjzj . i =1                           j=1

Лемма 1.

Fx ( t,z ) =

                          ₑₓD P Pb ⁽z)T
   exp Д-Pa (Z) J
1 — Z exD ( Pb ⁽z) h ^ ’
¹  Z exP Д-Pa (Z)J

т e [0, h].

  Рассмотрим уравнение

       Y(t) = 1 + p ai (SiY) (t) + p bjSj f f Y(/л) d^\ t e R+.          (2)
                  i=1              j=o       o