О СВЯЗИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ И ФУНКЦИИ КОШИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.929
c
⃝А. С. Баландин
О СВЯЗИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ И
ФУНКЦИИ КОШИ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
Выведена формула, связывающая фундаментальное решение и матрицу Коши
линейного автономного скалярного уравнения нейтрального типа.
Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение нейтрального типа, фундаментальное решение, функция Коши.
j=0
bjSj
¶
x(t) + f(t),
t ∈R+,
(1)
Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение нейтрального типа
µ
E −
I
P
i=1
aiSi
¶
˙
x(t) =
µ J
P
где I ∈N,
J ∈N0,
ai, bj ∈R,
h ∈R+, функция f : R+ →R суммируема на каждом конечном отрезке [0, l], S  оператор, определенный
равенством
(Sy)(t) =
(
y(t −h),
t −h ⩾0,
0,
t −h < 0.
Ставится задача получения простых формул, связывающих функцию
Коши и фундаментальное решение уравнения (1).
Пусть X  фундаментальное решение уравнения (1). Поставим ему в
соответствие последовательность {xk}k∈Z, элементы которой определяются равенством xk(τ) = X(kh + τ) , τ ∈[0, h], и для этой последовательk=0
xk(τ)zk, z ∈C.
ности составим производящую функцию FX(τ, z) =
∞
P
j=1
bjzj .
Обозначим Pa(z) =
I
P
i=1
aizi , Pb(z) =
J
P
1−Pa(z)
´
Лемма 1. FX(τ, z) =
exp
³
Pb(z) τ
1 −z exp
³
Pb(z) h
1−Pa(z)
´,
τ ∈[0, h].
Рассмотрим уравнение
0
Y (µ) dµ
¶
,
t ∈R+.
(2)
j=0
bjSj
µZ t
Y (t) = 1 +
I
P
i=1
ai
¡
SiY
¢
(t) +
J
P