Задачи с решениями по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию: Учебное пособие, 8-е изд.

À. Ñ. ØÀÏÊÈÍ, Â. À. ØÀÏÊÈÍ

ÇÀÄÀ×È Ñ ÐÅØÅÍÈßÌÈ

ÏÎ ÂÛÑØÅÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ,
ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ,
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÅ,
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈÞ

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

8е издание

Рекомендовано
Учебнометодическим объединением
по образованию в области математических
методов в экономике в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки
«Экономика»

Москва
Издательскоторговая корпорация «Дашков и К°»
2012

Серия «Учебные издания для бакалавров»

УДК 517(075.8)
ББК 22.11
          Ш23

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Кафедра высшей математики Московского государственного
открытого университета (зав. кафедрой доктор физикоматематических наук, профессор В. Д. Кулиев);
Б. А. Лагоша —  доктор экономических наук, профессор.

Шапкин А. С.
Задачи с решениями по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию: Учебное пособие для
бакалавров / А. С. Шапкин, В. А. Шапкин. — 8е изд. —
М.: Издательскоторговая корпорация «Дашков и К°»,
2012. — 432 с.

ISBN 9785394019432

Материал охватывает вопросы программы курса высшей математики: общий курс, теория вероятностей и математическая статистика, математическое программирование.
Пособие является руководством к решению задач по основам
высшей математики и содержит задачи для контрольных работ.
Перед каждым параграфом дан необходимый справочный материал. Все задачи приводятся с подробными решениями. В конце
разделов даны решения типовых задач контрольных работ. Отдельные задачи иллюстрированы соответствующими рисунками.
Для студентов вузов инженерноэкономических направлений
подготовки.

ISBN 9785394019432
© А. С. Шапкин, В. А. Шапкин, 2010

Ш23

ВВЕДЕНИЕ

Преподавание математических дисциплин для инженерно-экономических специальностей вузов имеет цель: ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических инженерно-экономических
задач; привить умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных
вопросов и умение перевести инженерно-экономическую задачу
на математический язык.
Все это имеет очень важное значение для последующей практической работы инженера-экономиста и необходимо также для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин.
Учебными планами инженерно-экономических специальностей вузов предусмотрены математические дисциплины:
1. Высшая математика.
2. Теория вероятностей и математическая статистика.
3. Математическое программирование.
Объем и содержание этих дисциплин определяются в соответствии с требованиями Государственных общеобразовательных
стандартов на основе примерной программы дисциплины «Математика», утвержденной в 2000 г. Главным управлением образовательных программ и стандартов высшего и среднего профессионального образования Министерства образования Российской
Федерации.
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов очной и заочной форм обучения. Оно содержит общие методические рекомендации по изучению математических дисциплин, а также программу, методические указания и контрольные задания по
математике.
В учебных планах некоторых из инженерно-экономических
специальностей все математические дисциплины объединены под
общим названием «Математика» с последующим указанием названий конкретных дисциплин: а) общий курс, б) теория вероятностей и математическая статистика и т.п. В этом случае название дисциплины «Математика (общий курс)» следует считать равносильным названию «Высшая математика», и при изучении этой
дисциплины может быть использовано настоящее пособие.

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ
В ВЫСШЕМ УЧЕБНОМ ЗАВЕДЕНИИ
СТУДЕНТАМИ-ЗАОЧНИКАМИ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом; она складывается из
чтения учебников, решения задач, выполнения контрольных заданий. В помощь заочникам институты организуют чтение лекций и
практические занятия. Кроме того, студент может обращаться к
преподавателю с вопросами в письменном виде или устно. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить, что
только при систематической и упорной самостоятельной работе
помощь института будет достаточно эффективной.
Завершающим этапом изучения каждого из математических
курсов (или отдельных частей курса высшей математики) является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.

1. Чтение учебника

1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделывая на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые по их простоте опущены в учебнике), воспроизводя имеющиеся в учебнике чертежи.
2. Особое внимание следует обратить на определение основных понятий. Студент должен подробно разобрать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь привести аналогичные примеры самостоятельно.
3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного
представления о том, в каком месте доказательства использовано
каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательства сложных теорем. Правильному пониманию многих
теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем.
4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, форму

лировки теорем, формулы, уравнения и т.п. На полях конспекта
следует отмечать вопросы, выделенные для письменной или устной консультации с преподавателем.
5. Письменное оформление работы студента имеет исключительно важное значение. Записи в конспекте должны быть сделаны аккуратно. Хорошее внешнее оформление конспекта по изученному
материалу не только приучит студента к необходимому в работе
порядку, но и позволит ему избежать многочисленных ошибок,
которые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей.
6. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые
формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента.

2. Решение задач

1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач,
для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.
2. При решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса. Если студент
видит несколько путей решения задачи, то он должен сравнить их
и выбрать из них самый удобный. Полезно до начала вычислений
составить краткий план решения.
3. Решения задач и примеров следует записывать подробно,
вычисления должны располагаться в строгом порядке, при этом
рекомендуется отделять вспомогательные вычисления от основных. Ошибочные записи следует не стирать и замазывать, а зачеркивать. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в
соответствии с данными условиями. Если чертеж требует особо
тщательного выполнения, например при графической проверке
решения, полученного путем вычислений, то следует пользоваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб.
4. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если таковые даны) входящих в нее
величин. В промежуточные вычисления не следует вводить приближенные значения корней, числа π и т.д.

5. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретным физическим или геометрическим содержанием, то полезно прежде всего проверить размерность полученного
ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.
6. Решение задач определенного типа нужно продолжать до
приобретения твердых навыков в их решении.

3. Самопроверка

1. После изучения определенной темы по учебнику и решения
достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул,
формулировки и доказательства теорем, проверяя себя каждый раз
по учебнику. Вопросы для самопроверки, приведенные в настоящем пособии, должны помочь студенту в таком повторении, закреплении и проверке прочности усвоения изученного материала.
В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в
материале учебника, порешать задачи.
2. Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса
выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом
случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.
3. Важным критерием усвоения теории является умение решать
задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им
как признак усвоения теории. Часто правильное решение задачи
получается в результате применения механически заученных форм,
без понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать
задачи является необходимым, но недостаточным условием хорошего знания теории.

4. Консультации

1. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы,
разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), он может обратиться к преподавателю для получения от него указаний в виде
письменной или устной консультаций.

2. В своих запросах студент должен точно указать, в чем он
испытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических
объяснениях, или в доказательстве теоремы, или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и
что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения.
3. За консультацией следует обращаться и в случае, если возникнут сомнения в правильности ответов на вопросы для самопроверки.

5. Контрольные работы

1. В процессе изучения математических курсов студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых —
оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы
позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса, указывают на имеющиеся у него пробелы, на
желательное направление дальнейшей работы, помогают сформулировать вопросы для консультации с преподавателем (письменной или устной).
2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания до решения достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания
вызывается тем, что студент не выполнил это требование.
3. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Не самостоятельно выполненная работа не дает возможности
преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его
работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться не
подготовленным к устному экзамену и зачету.
4. Не рекомендуется присылать в институт одновременно несколько контрольных заданий, это не дает возможности рецензенту своевременно указать студенту на допускаемые им ошибки
и удлиняет срок рецензирования работы.
5. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми
исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления преподавателю

прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета или экзамена.
6. Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается каждым институтом для своих студентов в соответствии
с распределением по семестрам материала и сообщается студентам дополнительно.

6. Лекции и практические занятия

Во время экзаменационно-лабораторных сессий для студентовзаочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель — обратить
внимание на общую схему построения соответствующего раздела
курса, подчеркнуть важнейшие факты, указать главные практические приложения, факты из истории науки. Кроме того, на этих
занятиях могут быть более подробно разобраны отдельные вопросы курса (например, методы приближенных вычислений и др.);
могут быть также рассмотрены отдельные вопросы программы,
отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.
Для студентов, имеющих возможность заниматься в группах
на учебно-консультационных пунктах, лекции и практические
занятия проводятся в течение всего учебного года. Эти лекции и
практические занятия носят более систематический характер, однако и они призваны оказать только помощь студенту в его самостоятельной работе.

7. Зачет и экзамен

На экзаменах и зачетах выясняется прежде всего усвоение всех
теоретических и прикладных вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с
пониманием существа дела; задачи в простейших случаях должны решаться без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть аккуратной и четкой. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой.
При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется
повторять по учебнику и конспекту.

ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИКИ

Раздел I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ,
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Аналитическая геометрия на плоскости

1. Прямоугольные и полярные координаты на плоскости; основные задачи. Преобразования координат.
2. Уравнение линии на плоскости. Параметрические уравнения линии; уравнения в полярных координатах. Примеры.
3. Уравнения прямой, основные задачи.
4. Канонические уравнения кривых второго порядка; их основные свойства.

Определители и системы линейных уравнений

5. Определители второго и третьего порядков. Решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.

Векторная алгебра

6. Векторы на плоскости и в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на скаляр. Проекции вектора на ось. Система декартовых прямоугольных координат в пространстве. Проекции вектора на оси координат. Направляющие
косинусы вектора. Длина и координаты вектора. Действия над
векторами, заданными своими координатами.
7. Скалярное произведение двух векторов и его свойства; векторное произведение; смешанное произведение трех векторов.

Аналитическая геометрия в пространстве

8. Прямоугольные координаты; основные задачи.
9. Уравнение поверхности. Цилиндрические поверхности.
Уравнения пространственных линий.
10. Уравнение плоскости и уравнения прямой в пространстве;
основные задачи.
11. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

Элементы линейной алгебры

12. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
13. Определители n-го порядка и их свойства. Решение систем
по формулам Крамера.
14. Матрицы.  Сложение  матриц;  умножение  матрицы  на
число; произведение матриц. Единичная матрица. Обратная матрица.
15. Собственные числа и собственные векторы квадратной
матрицы.
16. Векторное пространство. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Базис векторного пространства.
17. Линейное преобразование. Матрица линейного преобразования.
18. Теорема Кронеккера — Капелли и ее приложение к исследованию и решению системы линейных уравнений.
19. Квадратичные формы; положительно определенные квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к диагональному виду. Применение матриц к упрощению уравнений кривых
второго порядка на плоскости.

РАЗДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Функции, предел, непрерывность

20. Переменные и постоянные величины. Функции; область
определения; способы задания. График функции и его построение; преобразование графиков. Основные элементарные функции.
21. Предел; основные свойства пределов. Бесконечно малые и
бесконечно большие. Формулировка теоремы существования предела для монотонной последовательности и монотонной функции.

22. Пределы 

x
x
sin
 и 
x
x
/1)
1( +
 при x → 0. Число е; натуральные

логарифмы.
23. Сравнение бесконечно малых; эквивалентные бесконечно
малые.
24. Непрерывность функции в точке и на интервале; действия
над непрерывными функциями. Формулировка основных свойств
функций, непрерывных на замкнутом интервале. Точки разрыва
функции.