Квантовая наноплазмоника


ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК




Е.С. АНДРИАНОВ, А.П. ВИНОГРАДОВ, А.В. ДОРОФЕЕНКО, А.А. ЗЯБЛОВСКИЙ, А.А. ЛИСЯНСКИЙ, А.А. ПУХОВ


            КВАНТОВАЯ
            НАНОПЛАЗМОНИКА


Под общей редак ци ей А.П. Вино градова







Издательский Дом
ИНТЕЛЛЕКТ

ДОЛГОПРУДНЫЙ
2015

Рецензент: член-корреспондент РАН, профессор С.А. Никитов


  Е.С. Андрианов, А.П. Виноградов, А.В. Дорофеенко, А.А. Зябловский, А.А. Лисянский, А.А. Пухов
    Квантовая наноплазмоника: Учебное пособие / Е.С. Андрианов, А.П. Виноградов, А.В. Дорофеенко, А.А. Зябловский, А.А. Лисянский, А.А. Пухов — Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2015. — 368 с., цв.вкл.
    ISBN 978-5-91559-203-1

    Учебное пособие является введением в новую область оптики — квантовую плазмонику.
    Первая часть издания представляет собой введение в квантовую теорию лазерной генерации. Представлен материал по квантовой теории лазера в полуклассическом и полностью квантовом приближении. Ясно и доступно обсуждается природа явления лазерной генерации. Подробно анализируются квантовые эффекты в структурах нанометровых размеров, функционирующих на оптических частотах. Обсуждается место квантовой теории лазеров в общем контексте новейших проблем нанотехнологий.
    Во второй части книги рассматриваются вопросы как классической, так и квантовой плазмоники. Подробно изложены современные методы описания плазмонных свойств наночастиц. Представлены новейшие приложения плазмоники, связанные с созданием наноструктур и их управлением с помощью света.
    Третья часть посвящена взаимодействию плазмонных структур с активными включениями.
    Основное содержание пособия дополнено задачами для самостоятельного решения.
    Книга предназначена научным работникам, студентам старших курсов, аспирантам и преподавателям, которые хотят познакомиться с предметом.


  ISBN 978-5-91559-203-1
                         © 2014, Е.С. Андрианов,
                            А.П. Виноградов, А.В. Дорофеенко, А.А. Зябловский, А.А. Лисянский, А.А. Пухов
                         © 2015, ООО «Издательский Дом «Интеллект», оригинал-макет, оформление

        ОГЛАВЛЕНИЕ









Список обозначений.............................................7

Предисловие....................................................9

Введение...................................................... 11

Глава 1
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА....................................... 13
    1.1. Скоростные уравнения................................. 13
        1.1.1. Вывод скоростных уравнений..................... 13
        1.1.2. Порог генерации лазера, «выход» фотонов........ 15
        1.1.3. Релаксационные (пичковые) колебания ........... 16
        1.1.4. Применимость скоростных уравнений ............. 17
    1.2. Уравнения Максвелла-Блоха ........................... 18
        1.2.1. Полуклассическая теория лазера без формул..... 18
        1.2.2. Приближение медленно меняющихся амплитуд...... 19
        1.2.3. Уравнения Максвелла—Блоха..................... 20
        1.2.4. Одномодовые уравнения Максвелла—Блоха......... 23
        1.2.5. Стационарная лазерная генерация .............. 28
        1.2.6. Классификация лазеров......................... 29
        1.2.7. Сведение уравнений Максвелла—Блоха к скоростным уравнениям.............................. 31
        1.2.8. Область применимости полуклассической теории.. 32
        1.2.9. Заключение ................................... 32
    1.3. Уравнения Гейзенберга-Ланжевена..................... 34
        1.3.1. Зачем нужна квантовая теория лазера?.......... 34
        1.3.2. Гамильтониан и основные уравнения лазера...... 35
        1.3.3. Квантовые шумы и потери....................... 38
        1.3.4. Форма спектральной линии лазера............... 43

-ц, Оглавление

Глава 2
ПЛАЗМОНИКА И МЕТАОПТИКА....................................... 49
    2.1. Введение............................................. 49
    2.2. Квазистатические (локализованные) плазмоны
        от  Ленгмюра до Фереля................................ 50
        2.2.1. Частота плазмонного резонанса.................. 50
        2.2.2. Описание плазмонного резонанса в терминах диэлектрической проницаемости........................ 52
        2.2.3. Мультипольные резонансы плазмонной частицы .... 54
        2.2.4. Плазмонный резонанс в системе частиц (плазмонная нанолинза)............................... 56
        2.2.5. Пространственное распределение энергии поля в условиях плазмоного резонанса...................... 58
        2.2.6. Решение Фереля для плазмона на тонкой пленке... 61
        2.2.7. Усиление поля в безапертурном 5Ж2Ме............ 63
    2.3. Эффекты запаздывания (делокализованные плазмоны) .... 67
        2.3.1. Поверхностные моды (история вопроса) .......... 68
        2.3.2. Распространение поверхностной волны вдоль раздела сред с отрицательной и положительной
             диэлектрическими проницаемостями ................ 68
        2.3.3. Распространение плазмона вдоль металлической пленки, окруженной диэлектриком: система «диэлектрик—металл—диэлектрик» (ДМД)................. 77
        2.3.4. Распространение поверхностной волны вдоль слоя диэлектрика, окруженного металлом: система
             «металл—диэлектрик—металл» (МДМ)................. 79
        2.3.5. Поверхностные моды, распространяющиеся вдоль цилиндрической поверхности..................... 83
        2.3.6. Плазмонная антенна............................. 86
        2.3.7. Линии передач на поверхностных модах в канавке. 89
    2.4. Передача энергии ближними полями..................... 95
        2.4.1. Перенос энергии ближними полями вдоль плазмонных линий передач........................................ 96
        2.4.2. Среда Веселаго ................................100
        2.4.3. Идеальные линзы Веселаго и Пендри .............102
        2.4.4. Влияние потерь на изображение, формируемое линзой Пендри .......................................107
        2.4.5. Плазмонные фотонные кристаллы..................111

Глава 3
СПАЗЕРЫ.......................................................117
    Введение..................................................117

Оглавление —I 5

    3.1. Классическая модель спазера. «Toy model»...............121
        3.1.1. Описание усиливающей среды с помощью диэлектрической проницаемости...........................121
        3.1.2. Точное решение для «Toy model» спазера — покрытое плазмонной оболочкой ядро из усиливающей среды....................................126
        3.1.3. Магнитооптический спазер.........................137
    3.2. Элементарные процессы квантовой      плазмоники........142
        3.2.1. Квантование плазмонов............................142
        3.2.2. Взаимодействие КТ с дипольным плазмоном НЧ.......148
        3.2.3. Многомодовая релаксация возбужденной КТ вблизи плазмонной сферы с диэлектрической проницаемостью .........................................151
        3.2.4. Спектр резонансной флуоресценции ДУС.............157
        3.2.5. Парселл-фактор...................................160
    3.3. Полуклассическая теория спазера........................168
        3.3.1. Стационарные решения, бифуркация Хопфа...........168
        3.3.2. Осцилляции Раби в спазере .......................170
        3.3.3. Спазер в поле внешней оптической волны, синхронизация спазера, язык Арнольда....................175
        3.3.4. Компенсация потерь выше порога спазирования......182
        3.3.5. Компенсация потерь ниже порога спазирования......185
        3.3.6. Бистабильность спазера ..........................194
    3.4. Коллективные эффекты в системе спазеров................198
        3.4.1. Теория спазера с двумя квантовыми точками........198
        3.4.2. Синхронизация двух спазеров......................206
        3.4.3. Гармоническая плазмонная автоволна в линейке спазеров .....................................209
        3.4.4. Оптическая бистабильность цепочки спазеров: волны переключения и структуры..........................217
        3.4.5. Плазмонные планарные лазеры .....................220
        3.4.6. Плазмонные лазеры с распределенной обратной связью .................................................236
        3.4.7. Плазмонное лазирование в режиме «остановленного» света...................................................238
        3.4.8. Фазированная решетка спазеров ...................241
    3.5. Спазерная спектроскопия................................255
    3.6. Квантовые флуктуации в спазере.........................262
        3.6.1. Влияние наночастицы на спектр резонансной флуоресценции. Учет квантовых флуктуаций ближнего поля наночастицы ..............................262
        3.6.2. Влияние квантовых флуктуаций на порог генерации спазера.................................................272

—I Оглавление

         3.6.3. Второй порог генерации для распределенного и субволнового спазеров .................282
         3.6.4. Превалирование когерентного отклика ближнего поля над некогерентным при компенсации потерь.287

   Приложение 1
   ОСЦИЛЛЯЦИИ РАБИ И СКОРОСТЬ СПОНТАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ.....................................295

   Приложение 2
   ИЗЛУЧЕНИЕ ДУС В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. ТЕОРИЯ ВАЙСКОПФА—ВИГНЕРА......................308

   Приложение 3
   ТЕОРЕМА ВИНЕРА—ХИНЧИНА ДЛЯ СПЕКТРА ИЗЛУЧЕНИЯ. СТАНДАРТНЫЙ ВАРИАНТ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА—ХИНЧИНА....313

   Приложение 4 КВАНТОВАЯ ТЕОРЕМА РЕГРЕССИИ...................318

   Приложение 5 ФОТОННЫЕ КРИСТАЛЛЫ............................321

   Приложение 6
   ЗАВИСИМОСТЬ МОДУЛЯЦИИ СПАЗЕРА ОТ ЧАСТОТЫ МОДУЛЯЦИИ НАКАЧКИ.............................324

   Приложение 7
   ПЕРЕХОД К МЕДЛЕННЫМ АМПЛИТУДАМ ПРИ НАЛИЧИИ
   ВРЕМЕННОЙ ДИСПЕРСИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ.................................328

   Приложение 8
   ФАКТОР ПАРСЕЛЛА ДЛЯ ДИПОЛЯ, НАХОДЯЩЕГОСЯ ВБЛИЗИ ПЛАЗМОННОЙ НАНОЧАСТИЦЫ.................330

   Задачи для самостоятельного решения...........337

   Список литературы.............................346

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ









ДУС (TLS)     двухуровневая система, атом или квантовая точка с ре-         
              зонансным оптическим переходом между уровнями                 
ЛАЗЕР (LASER) (light amplification by stimulated emission of radiation) уси              ление света индуцированным излучением                         
МР (СМ)       мода резонатора                                               
ПВВ (RWA)     (rotating wave approximation) приближение вращающей-          
              ся волны                                                      
z\            оператор уничтожения фотона в моде резонатора в               
а                                                                           
              картине Шредингера                                            
а( t)         оператор уничтожения фотона в моде резонатора в               
              картине Гейзенберга                                           
«о            магнитное поле «на один фотон», Во = роZо£о                   
Се ,g ( t)    амплитуды верхнего и нижнего состояний ДУС, век-              
              тор состояния ДУС в представлении взаимодействия              
D             инверсия населенностей ДУС, D = ne --- ng                     
Dо            ненасыщенная инверсия населенностей ДУС, возни-               
              кающая в результате внешней накачки                           
Dиор          пороговая инверсия генерации                                  
11            дипольный момент перехода |e) ^ |g}                           
£ о           электрическое поле «на один фотон», £о = (hm/eо V)1/2         
Ее .'         энергия верхнего и нижнего состояний ДУС                      
\e), \g)      возбужденное (верхнее) и основное (нижнее) состо-             
              яния ДУС                                                      
I-), I-)/     векторы состояния в картине Гейзенберга и Шре-                
              дингера                                                       

Список обозначений

н            гамильтониан невзаимодействующих ДУС и МР’        
             Н = Йа»дус8 + (Т + tia)ma+а                       
\N)          состояние МР с N фотонами                         
пе ,ng       заселенности (вероятности заполнения) верхнего и  
             нижнего уровней ДУС                               
V            гамильтониан взаимодействия ДУС и МР’             
             V = ЙЙК (а+ст + аст+)                             
"'Т.4.       вероятность перехода в единицу времени под дей-   
             ствием внешней некогерентной накачки ДУС          
Z)           импеданс вакуума’ 376 Ом’ Z, = (ео/р0)1/2         
Г            вероятность спонтанного перехода в единицу времени
Y                                                              
'Рел         декремент затухания релаксационных колебаний      
8            «расстройка» частот ДУС и МР’ 8 = ^мр --- адус    
р ('■''•     плотность числа состояний фотонных мод            
о = |g)(e 1, операторы перехода между состояниями ДУС (мат-    
<г+ = |e)(g| рицы Паули)’ 2<т = ст. +i<7                       
т,’ Те ’ т0  времена затуханий амплитуды МР’ поляризации ДУС   
             и инверсии населенностей ДУС соответственно       
Qr( N, 8)    частота Раби при наличии N фотонов в МР и при     
             расстройке 8, fiR(N, 8) = ^(N + 1)Qr + (8/2)2     
йк           частота Раби в поле вакуумных флуктуаций резона-  
             тора’ Qr = &r(0’ 0)                               
%ел                                                            
66ДуС        частота релаксационных колебаний                  
^см          частота перехода ДУС’ адус = (Ее --- Eg)/й        
Еmat’ Рmat   частота фотона МР                                 
е •„         диэлектрическая и магнитная проницаемости матрицы 
gam          диэлектрическая проницаемость усиливающей среды   

ПРЕДИСЛОВИЕ












               1. Мотивация
               Опять книга по плазмонике! Сколько же можно, зачем нужна еще одна? Существует много хороших и полных учебников по на-ноплазмонике. Есть как краткие, так и фундаментальные курсы лекций по этой науке. Смысл данной книги, прежде всего, в компактном и самосогласованном изложении квантовой плазмоники, основанной на квантовой теории лазера и электродинамике плазмонных наноструктур.
        Литература по наноплазмонике поистине необъятна. Поэтому возникает потребность в небольшом, компактном и понятном для новичка руководстве по квантовой наноплазмонике, которое позволило бы ему сориентироваться в структуре и содержании этого раздела физики, а также в огромном количестве литературы, посвященной предмету.
        Особые усилия авторы приложили к тому, чтобы книга была написана простым, физически понятным языком. Эта монография по квантовой плазмонике предназначена, в первую очередь, неспециалистам, желающим ознакомиться с предметом.


               2. «Экологическая ниша»
               Эта книга начинается с квантовой теории лазера в самом простом ее варианте. Без больших математических усложнений и громоздких выкладок и построений анализируется сама сущность физики лазирования. Далее излагаются узловые моменты наноплазмоники, связанные с возбуждением и распространением плазмонов. Основное внимание, опять же, уделено тому, чтобы просто и понятно рассказать о физике протекающих процессов. В последней главе дается обзор свойств и применений плазмонных наноструктур. Обсуждение базируется на ма

—I Предисловие

    териале, изложенном в предыдущих главах, и не требует обращения к дополнительным источникам. Синтез квантовой теории лазера и на-ноплазмоники реализуется в теории спазера (Surface Plasmon Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Содержание книги основывается как на литературном материале, так и на оригинальных результатах авторов.

               3. Структура текста
               В гл. 1, носящей вводный характер, излагается квантовая теория лазера и ее особенности в приложении к спазеру.
        В гл. 2 дается обзор и избранные вопросы плазмоники, необходимые для понимания третьей главы.
        В гл. 3 дается введение в квантовую плазмонику, являющуюся синтезом квантовой теории лазеров и наноплазмоники.
        К каждой главе приводятся задачи для самостоятельного решения, соответствующие изложенному материалу.

               4. Благодарности
               Авторы много лет тесно общались с коллегами, занимающимися электродинамикой метаматериалов. Это общение оказало сильное влияние на взгляды авторов и, фактически, сформировало их представления об этой области. Авторы признательны своим коллегам по ИТПЭ РАН, ВНИИА и МФТИ, сделавшим множество ценных замечаний по поводу электронного варианта этой книги.
        Хочется особенно отметить плодотворные дискуссии с А.Н. Лагарь-ковым, В.Г. Веселаго, Ю.Е. Лозовиком, М.И. Стокманом, В.В. Климовым, К.Р. Симовским, А.К. Сарычевым, В.М. Шалаевым, Б.С. Лукьян-чуком, В.И. Балыкиным и И.А. Рыжиковым. Авторы особенно признательны А.Н. Лагарькову за поддержку и саму идею написания этой книги.

          ВВЕДЕНИЕ











               Физика лазера без формул
               Лазер — одно из наиболее важных изобретений человечества XX в., имеющий труднообозримый ареал применений в науке и технологии [1]. Физика явлений, лежащих в основе работы лазера, необычайно интересна как в плане фундаментальных исследований, так и с точки зрения приложений. Теория лазера представляет большой интерес для развития принципов квантовой оптики [2]—[15], в том числе и новой ее ветви, квантовой плазмоники.
       Лазер — это устройство, которое называют квантовым генератором света. Аббревиатура «laser» означает «light amplification by stimulated emission of radiation». Здесь подчеркнута квантовая природа основного процесса в лазере — вынужденного излучения. Это понятие было введено Эйнштейном для объяснения физического смысла формулы Планка. Вынужденное излучение является результатом взаимодействия двух главных действующих персонажей лазера: двухуровневой квантовой системы (ДУС)¹ и оптической моды резонатора (МР). Роль ДУС активной среды могут играть атомы или квантовые точки с оптическим переходом. Оптические МР могут быть как модами макрорезонатора Фабри— Перо, так и модами микрорезонаторов в фотонных кристаллах, а также плазмонными модами металлических наночастиц. Взаимодействие ДУС и МР должно быть резонансным. Кроме того, для компенсации потерь в лазере должен быть обеспечен подвод энергии, приводящий к созданию инверсии населенностей ДУС. Такой процесс называют внешней некогерентной накачкой.

        ¹ Вообще говоря, более эффективными являются многоуровневые схемы, но с точки зрения физики они лишь создают боле благоприятные условия создания инверсности населенности, не меняя физики процесса генерации.

¹²

Введение

       Как мы увидим ниже, вынужденное излучение играет роль положительной обратной связи, которая обеспечивает возникновение лазерной генерации. С точки зрения теории колебаний, лазер — это квантовая автоколебательная система², а с точки зрения радиофизики — квантовый генератор.
       Заметим, что лазер — это один из основных прототипов и базовых моделей синергетики [16]. Лазер сыграл фундаментальную роль в обнаружении общих свойств самоорганизации в открытых системах, далеких от равновесия. Переход от режима излучения лампы накаливания (ниже порога) к режиму излучению лазера (выше порога) представляет собой яркий пример такой самоорганизации и демонстрирует новый класс явлений — неравновесные фазовые переходы.
       Современная теория лазерной генерации представляет собой своеобразную матрешку, состоящую из вложенных друг в друга теорий [17], [18]. Существуют три подхода к изучению лазера, различающиеся строгостью и степенью детальности описания: скоростные уравнения, полу-классические уравнения Максвелла—Блоха и полностью квантовые уравнения Гейзенберга—Ланжевена.

        ² Автоколебания — незатухающие колебания в диссипативной динамической системе с нелинейной обратной связью, поддерживающиеся за счет энергии постоянного, то есть непериодического внешнего воздействия. Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы. Термин автоколебания предложил А.А. Андронов в 1928 г.

ГЛАВА

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА

1

1.1.       СКОРОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

           Простейшее описание лазера, которое носит феноменологический характер, основывается на уравнениях для скорости изменения инверсии населенностей ДУС D(t) и числа фотонов в MP N(t). Правая часть уравнения для эволюции инверсии отражает факт изменения инверсии при испускании или поглощении фотона. Уравнение для числа фотонов представляет собой соотношение баланса между скоростью генерации и скоростью исчезновения фотонов. Этот баланс может быть записан на основе качественных рассуждений. Так как нас будут интересовать только фундаментальные квантовооптические аспекты лазирования, то всюду ниже мы будем рассматривать простейшую ситуацию, когда одна-единственная ДУС взаимодействует с одной MP, то есть одноатомный, одномодовый лазер. Это позволяет выделить главный физический механизм лазирования и не утонуть в безбрежном море деталей, которыми так богата лазерная физика.

1.1.1.     Вывод скоростных уравнений

           Начнем с рассмотрения баланса фотонов. ДУС может находиться в возбужденном (верхнем) |е} или основном (нижнем) | g) состояниях с вероятностями пе и ng, так, что пе + ng = 1. Взаимодействие ДУС и MP приводит к переходам между состояниями ДУС. Чуть позже мы покажем, что скорость dпе/dt индуцированного перехода с верхнего уровня на нижний равна (1 + N)Tпе и отличается от скорости индуцированного перехода dп/dt с нижнего уровня на верхний, равной NTп, на величину скорости спонтанного распада³ Tпе.


   ³ Скорость спонтанного излучения Г — это скорость, с которой возбужденная ДУС излучает фотон в свободное от фотонов пространство. К ее вычислению мы вернемся далее.

Л

Глава 1. Квантовая теория лазера

    Если ДУС находится в равновесии с излучением МР, то эти две скорости сравниваются: (1 + Л)Гпе = NTng. С учетом того, что в равновесии населенности уровней удовлетворяют распределению Гиббса:


                              Пе
                              — = ехр Ъ

hat ^ Т ) ’

где Т — температура термостата, получаем для равновесного числа фотонов в МР формулу Планка:


N =

( ha А , exp ^—J⁻1


    Именно этот аргумент был использован Эйнштейном (1917) для объяснения физического смысла формулы Планка (1900).
    При большом числе фотонов в МР вкладом спонтанного излучения можно пренебречь, так что скоростное уравнение для числа фотонов N имеет вид

d N d t

2 N

2 N

N Г nₑ

- N Г ng

Г ND

(1.1)





5

где D = nₑ — ng — инверсия населенностей уровней. Кроме того, здесь в т-приближении учтено поглощение фотонов в резонаторе с характерным временем затухания амплитуды МР та. Смысл множителя 2 заключается в том, что число фотонов в МР пропорционально квадрату ее амплитуды.
    Совершенно аналогично записывается скорость изменения инверсии населенностей. Однако здесь помимо индуцированного излучения следует учесть внешнюю накачку, изменяющую населенность верхнего уровня ДУС со скоростью (wₜng — w।пе), а нижнего — со скоростью (w।пе — wₜng). Тогда для разности этих скоростей получаем уравнение для инверсии населенностей


— = Д° ° - 2TW,                           (1.2)
d/ td

где t~d ¹ = W| + и’ — время релаксации инверсии населенностей; D₀ — «ненасыщенная» инверсия населенностей, возникающая в результате некогерентной накачки внешним источником,




»' ⁻
П + л ■

D

То есть D₀ — это инверсия населенностей в отсутствие лазерной генерации.