Линейная алгебра. Линейные операторы. Квадратичные формы. Комплексные числа
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Автор:
Рубашкина Елена Вячеславовна
Год издания: 2016
Кол-во страниц: 38
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
Профессиональное образование
ISBN: 978-5-16-011858-1
ISBN-онлайн: 978-5-16-104325-7
Артикул: 339000.01.95
Доступ онлайн
от 120 ₽
В корзину
Учебное пособие соответствует объединённому курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». В него включены темы: линейные отображения, квадратичные формы, комплексные числа. Приводятся основные понятия, теоремы и методы решения задач. Пособие содержит большое количество упражнений различной степени трудности.
Для студентов экономических специальностей.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
Е.В. РУБАШКИНА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Москва ИНФРА-М 2016
ФЗ № 436-ФЗ Издание не подлежит маркировке в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1 УДК 512.6(075.8) ББК 22.143я73 Р82 Р е ц е н з е н т ы: Н.С. Петросян, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Прикладная математика» ФГБОУ ВО «МГТУ «СТАНКИН»; М.В. Зайцев, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Высшая алгебра» ФГБОУ ВО «МГУ им. М.В. Ломоносова» Р82 Рубашкина Е.В. Линейная алгебра. Линейные операторы. Квадратичные формы. Комплексные числа : учеб. пособие / Е.В. Рубашкина. — М. : ИНФРА-М, 2016. — 38 с. — (Высшее образование). ISBN 978-5-16-011858-1 (print) ISBN 978-5-16-104325-7 (online) Учебное пособие соответствует объединённому курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». В него включены темы: линейные отображения, квадратичные формы, комплексные числа. Приводятся основные понятия, теоремы и методы решения задач. Пособие содержит большое количество упражнений различной степени трудности. Для студентов экономических специальностей. УДК 512.6(075.8) ББК 22.143я73 © Рубашкина Е.В., 2016 ISBN 978-5-16-011858-1 (print) ISBN 978-5-16-104325-7 (online) Подписано в печать 25.01.2016. Формат 60u90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,38. Тираж 500 экз. Заказ № 00000 ТК 339000-544419-250116 Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
1. Линейные операторы Определение. Пусть V, W – линейные пространства. Отображение ܮǣ ܸ՜ ܹназывается линейным, если для всех ݈ǡ ݈ଵǡ ݈ଶא ܸ, DאԹଵимеем ܮሺ݈ܽሻൌܽܮሺ݈ሻ, ܮሺ݈ଵ݈ଶሻ = ܮሺ݈ଵሻܮሺ݈ଶሻ, Թଵ – множество действительных чисел. Легко показать, что для любого ܽא Թଵ, ݈א ܸܮሺσ ܽ ୀଵ ݈ሻൌ ൌσ ܽ ୀଵ ܮሺ݈ሻ. Линейные отображения ܮ ܸ՜ ܸназываются линейными операторами на ܸ. Примеры: Нулевое линейное отображениеܮ ܸ՜ ܹ, ܮሺ݈ሻൌͲ для всех ݈א ܸ. Тождественное линейное отображениеܮ ܸ՜ ܸ, ܮሺ݈ሻൌ݈для всех ݈א ܸ. Тождественное отображениеобозначается ݅݀или ݅݀ (от «identity»). Отображение ܮ называется инъективным, когда из്݈݈ᇱ следует ܮሺ݈ሻ്ܮሺ݈ᇱሻ; оно называется сюръективным, когда ܮሺܸሻൌܹ. Линейные отображение ܮ ܸ՜ Թଵ – это линейные функции на ܮ. Пусть ܸ – пространство с базисом ۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁ۄ. Для любого ͳ ݅݊ отображение ݁ ܸ՜ Թଵ, где ݁ሺ݈ሻ – i-я координата ݈ в базисе ۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁ۄ, является линейной функцией. 1.1. Матрица линейного оператора Пусть ܸи ܹ – линейные пространства с отмеченными базисами ۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁ۄ и ۃ݁ଵ ᇱǡ ݁ଶ ᇱǡ ǥ ݁Ԣۄ соответственно. Рассмотрим произвольное линейное отображение ܮǣ ܸ՜ ܹ, поставим ему в соответствие матрицу ܣразмера ݉ൈ݊следующим образом (заметим, что размеры ܣ – это размерности ܸи ܹв обратном порядке). 3
Представим векторы ܮሺ݁ሻв виде линейной комбинации ܮሺ݁ሻൌ ൌσ ܽ ୀଵ ݁ ᇱ. Тогда, по определению ܣൌሺܽሻ. Другими словами, коэффициенты этих линейных комбинаций – столбцы матрицы ܣ. Матрица ܣ называется матрицей линейного отображения ܮ относительно базисов (или в базисах) ۃ݁ۄ, ۃ݁ ᇱۄ. Матрица ܣпозволяет описывать линейное отображение ܮв терминах его действия на координаты. Если ݈представлен своими координатами, ݈ൌሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ݔሻв базисе ۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁ۄ, то есть ݈ൌσ ݔ ୀଵ ݁, то вектор ܮሺ݈ሻ представлен координатами ሺݕଵǡ ݕଶǡ ǥ ݕሻ, где ݕൌ ൌσ ܽ ୀଵ ݔǡ ݅ൌͳǡ ǥ ݉. То есть ݕэто «скалярное произведение» i-ой строки ܣна ݈. В частности, матрица линейного оператора является квадратной. Матрица тождественного оператора является единичной. Можно представить векторы пространств ܸи ܹ, в координатах, столбцами ݈ൌ൭ ݔଵ ڭ ݔ ൱, ܮሺ݈ሻൌ൭ ݕଵ ڭ ݕ ൱. Тогда действие оператора ܮзаписывается на языке матричного умножения ܮሺ݈ሻൌ൭ ܽଵଵ ǥ ܽଵ ڮ ڮ ڮ ܽଵ ǥ ܽ ൱൭ ݔଵ ڭ ݔ ൱, ܮሺ݈ሻൌܣ݈ (действие линейного отображения в координатах). Запишем аналогичную формулу в терминах базисов ۃ݁ۄ, ۃ݁ ᇱۄǤ ܮۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁ۄ ൌۃܮሺ݁ଵሻǡ ܮሺ݁ଶሻǡ ǥ ǡ ܮሺ݁ሻۄ ൌۃ݁ଵ ᇱǡ ݁ଶ ᇱǡ ǥ ݁ ᇱۄܣ (по определению матричного умножения, векторы ܹнужно умножить на скаляры справа, а не слева; будем считать ݁ᇱܽൌܽ݁ᇱдля любых ݁ᇱא ܹǡ ܽא Թଵ). Верно, что ሺۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁ۄܣሻܤൌۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁ۄሺܣܤሻǡ ۃ݁ଵ݁ଵ ᇱǡ ݁ଶ݁ଶ ᇱǡ ǥ ǡ ݁݁ ᇱۄܣ=ۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ǡ ݁ۄܣۃ݁ଵ ᇱǡ ݁ଶ ᇱǡ ǥ ǡ ݁ ᇱۄܣ. 4
Рассмотрим одно пространство ܸ. Выберем в пространстве ܸдва базиса ۃ݁ۄ и ۃ݁ ᇱۄ. Любой вектор ݈א ܮ можно представить его координатами в этих базисах ݈ൌσ ݔ ᇱ݁ ᇱ ୀଵ ൌσ ݔ݁ ୀଵ . Пусть ݁ൌσ ܽ݁ ᇱ ୀଵ , обозначим ܣൌሺܽሻ. ݈ൌݔ݁ ୀଵ ൱ ୀଵ ൌݔ൭ܽ݁ ᇱ ୀଵ ൱ ୀଵ ൌ൭ܽݔ ୀଵ ݁ ᇱൌ ൌݔ ᇱ݁ ᇱǡ ˆˇˈݔ ᇱൌܽݔ ୀଵ Ǥ Матрица ܣназывается матрицей перехода от координат ሺݔሻ (ۃ݁ۄ – координаты) к координатам ሺݔ ᇱሻ (ۃ݁ ᇱۄ-координаты) (от нештрихованных координат к штрихованным координатам). Эта матрица обратима. Обратная к ней матрица – это матрица перехода от штрихованных координат к нештрихованным ۃ݁ ᇱۄ ൌۃ݁ۄܣିଵ. Формулу ݔҧᇱൌܣݔҧ можно понимать как формулу, выражающую координаты нового вектора ܮሺݔҧሻ, через координаты вектора ݔҧ, где ܮ – линейное отображение ܸ՜ ܸ, описанное матрицей ܣв базисе ۃ݁ۄ. Выясним, как изменится матрица ܣлинейного отображения в измененных базисах, если перейти от базисов ۃ݁ۄ, ۃ݁ ᇱۄ к новым базисам ۃ݁ҧۄ, ۃ݁ҧ ᇱۄ пространств ܸ, ܹ. Пусть ܤ – матрица перехода от ۃ݁ۄ-координат к ۃ݁ҧۄ-координатам, а ܥ – матрица перехода от ۃ݁ ᇱۄ-координат к ۃ݁ҧ ᇱۄкоординатам. Тогда, ܮሺۃ݁ҧۄሻൌܮሺۃ݁ۄܤିଵሻൌܮሺۃ݁ۄሻܤିଵൌۃ݁ ᇱۄܣܤିଵൌۃ݁ҧ ᇱۄܥܣܤିଵ. Если ܸൌܹ, ۃ݁ۄ ൌۃ݁ ᇱۄ, ۃ݁ҧۄ=ۃ݁ҧ ᇱۄ, то ܤൌܥи матрица линейного оператора ܮв новом базисе равна ܣҧൌܤܣܤିଵ. Матрица ܤܣܤିଵназывается сопряженной к ܣс помощью невырожденной (то есть detܤ്Ͳ) матрицы ܤ. 5
1.2. Структура линейного отображения Как геометрически представить себе устройство линейного отображения ܮǣ ܸ՜ ܹ? Рассмотрим случай ܹൌܸ. На матричном языке это означает приведение матрицы ܮк возможно более простой форме с помощью специально приспособленного к структуре ܮбазиса. Рассмотрим линейные операторы ܮǣ ܸ՜ ܸ. Введем простейший класс: диагонализируемых операторов. Определение. Линейный оператор ܮǣ ܸ՜ ܸназывается диагонализируемым, если существует базис ܸ, в котором матрица ܮдиагональна. Диагонализируемые операторы образуют простейший и самый важный класс. Определение. Одномерное подпространство ܸ ଵؿ ܸ называется собственным для оператора ܮ, если ܮሺܸ ଵሻؿ ܸ ଵ. Если ܸ ଵтакое подпространство, то ܮдействует на нем как умножение на число ߣא Թଵ. Это число называется собственным значением ܮ (на ܸ ଵ). Определение. Вектор ݈א ܸназывается собственным для ܮ, если ്݈Ͳ и ܮሺ݈ሻൌߣ݈, для некоторого ߣא Թଵ. Выясним, когда у ܮимеется хотя бы одно собственное подпространство. Определение. Пусть ܮǣ ܸ՜ ܸлинейный оператор, ܣ – его матрица в каком-нибудь базисе. Обозначим через ܲሺݐሻмногочлен ሺݐܧെܣሻ и назовем его характеристическим многочленом оператора ܮ (и матрицы ܣ). Оператор ܮне имеет собственных значений и тем более не диагонализируем, если его характеристический многочлен ܲሺݐሻне имеет корней. Например, пусть ܣൌቀܽ ܾ ܿ ݀ቁ, ܽǡ ܾǡ ܿǡ ݀א Թଵ. 6
Тогда ሺݐܧെܣሻൌݐଶെሺܽ݀ሻݐሺܽ݀െܾܿሻ. Если ሺܽ݀ሻଶെͶሺܽ݀െܾܿሻൌሺܽെ݀ሻଶͶܾܿ൏Ͳ, то ܣне диагонализируема. Множество всех корней характеристического многочлена называется спектром оператора ܮ. Если все кратности равны единицы, то говорят, что ܮимеет простой спектр. Теорема. Если оператор (с коэффициентами в Թଵ) имеет простой спектр, то он диагонализируем [5]. 7
2. Квадратичные формы Рассмотрим функцию от двух переменных векторовݑи ݒлинейного пространства ܸ, то есть предположим, что дано правило, ставящее в соответствие каждой паре ݑǡ ݒнекоторое число ܨሺݑǡ ݒሻ. Будем считать, что эта функция является линейной по каждому из своих аргументов, это значит что выполнены следующие условия: ܨሺߣଵݑଵߣଶݑଶǡ ݒሻൌߣଵܨሺݑଵǡ ݒሻߣଶܨሺݑଶǡ ݒሻ ܨሺݑǡ ߣଵݒଵߣଶݒଶሻൌߣଵܨሺݑǡ ݒଵሻߣଶܨሺݑǡ ݒଶሻ (для любых векторов ݑଵǡ ݑଶǡ ݑǢݒଵǡ ݒଶǡ ݒи чисел ߣଵǡ ߣଶ). Тогда говорят, что ܨявляется билинейной функцией. Рассмотрим некоторый базис ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁пространства ܸ, в этом базисе ݑൌݔଵ݁ଵڮ ݔ݁, ݒൌݕଵ݁ଵڮ ݕ݁, где ൭ ݔଵ ڭ ݔ ൱ǡ ൭ ݕଵ ڭ ݕ ൱ – координаты векторов ݑи ݒотносительно этого базиса. Получаем ܨሺݑǡ ݒሻൌܨሺݔଵ݁ଵڮ ݔ݁ǡ ݕଵ݁ଵڮ ݕ݁ሻൌ ൌσ σ ݔݕ ୀଵ ୀଵ ܨ൫݁ǡ ݁ ൯. Положим теперь ܨ൫݁ǡ ݁ ൯ൌܽ. Следовательно, ܨሺݑǡ ݒሻൌσ σ ܽݔݕ ୀଵ ୀଵ . (1) Определение. Многочлены вида ݂ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔǢ ݕଵǡ ǥ ǡ ݕሻൌσ σ ܽݔݕ ୀଵ ୀଵ , (2) линейные по каждому из двух наборов переменных ݔଵǡ ǥ ǡ ݔ, ݕଵǡ ǥ ǡ ݕ, называются билинейными формами от переменных ݔǡ ݕ, ݅ǡ ݆ൌͳǡ ǥ ݊. Матрица ܣൌ൭ ܽଵଵ ǥ ܽଵ ڮ ڮ ڮ ܽଵ ǥ ܽ ൱называется матрицей билинейной формы (2) σ σ ܽݔݕ ୀଵ ୀଵ (или матрицей билинейной функции (1) относительно базиса ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁). 8
Билинейная форма называется симметричной, если симметрична ее матрица (то есть, если ܽൌܽ). Билинейная функция называется симметричной, если еѐ значение не меняется при перестановке аргументов, то есть если ܨሺݑǡ ݒሻൌܨሺݒǡ ݑሻ. Функция Ȱ, полученная по правилу Ȱሺݑሻൌܨሺݑǡ ݑሻиз симметричной билинейной функции ܨназывается квадратичной функцией, порожденной данной билинейной функцией ܨ. Если в данном базисе симметричная билинейная функция ܨሺݑǡ ݒሻ записывается в виде ܨሺݑǡ ݒሻൌσ ܽ ǡୀଵ ݔݕǡ ܽൌܽ, то Ȱሺݑሻൌ ൌܨሺݑǡ ݑሻൌσ σ ܽݔݔ ୀଵ ୀଵ . Многочлен вида ߮ሺݔሻൌσ σ ܽݔݔ ୀଵ ୀଵ , все члены которого имеют вторую степень, называется квадратичной формой (от переменных ݔଵǡ ǥ ǡ ݔ). При этом предполагается, что ܽൌܽ. Так что коэффициент приݔݔв σ σ ܽݔݔ ୀଵ ୀଵ при ്݅݇равен ʹܽൌʹܽ. ൲ называется Симметричная матрица ܣൌ൮ ܽଵଵ ܽଵଶ ǥ ܽଵ ܽଶଵ ܽଶଶ ǥ ܽଶ ǥ ǥ ǥ ǥ ܽଵ ܽଶ ǥ ܽ матрицей квадратичной формыσ σ ܽݔݔ ୀଵ ୀଵ . Еѐ определитель называется дискриминантом квадратичной формы. Для того чтобы задать билинейную или квадратичную форму, нужно задать ее матрицу ܣൌ൮ ൲. ܽଵଵ ܽଵଶ ǥ ܽଵ ܽଶଵ ܽଶଶ ǥ ܽଶ ǥ ǥ ǥ ǥ ܽଵ ܽଶ ǥ ܽ Выясним, как при переходе от базиса ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁к базису ݁ଵ ᇱǡ ݁ଶ ᇱǡ ǥ ݁ ᇱ преобразуется матрица ܣбилинейной формы. Ответ дает следующая теорема: Теорема. Предположим, что билинейная функция ܨሺݑǡ ݒሻ записывается относительно базиса ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁ в виде билинейной 9
формы ܨሺݑǡ ݒሻൌσ ܽݔݕ с матрицей ܣ, а относительно базиса ݁ଵ ᇱǡ ݁ଶ ᇱǡ ǥ ݁ ᇱв виде билинейной формы ܨᇱሺݑǡ ݒሻൌσ ܽ ᇱݔ ᇱݕ ᇱс матрицей ܣᇱ. Пусть ݁ ᇱൌσ ܿ ݁ ୀଵ ǡ ݇ൌͳǡ ǥ ݊. Получаем, что координаты ݔൌσ ܿ ୀଵ ݔ ᇱǡ ݇ൌͳǡ ǥ ݊. Пусть ܥൌ൮ ൲. Тогда имеет место формула ܣᇱൌܥ்ܣܥǡ ܥ் – ܿଵଵ ܿଵଶ ǥ ܿଵ ܿଶଵ ܿଶଶ ǥ ܿଶ ǥ ǥ ǥ ǥ ܿଵ ܿଶ ǥ ܿ матрица, транспонированная к ܥ [1]. ܥназывается матрицей перехода. Следствие. Пусть квадратичная функция ʣሺݑሻ, определенная в ܸ, записывается относительно базиса ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁квадратичной формой ߮ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻ с симметричной матрицей ܣ:Ȱሺݑሻؠ ߮ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔሻؠ ؠ σ ܽݔݔ ǡୀଵ , при ݑൌݔଵ݁ଵڮ ݔ݁, а относительно базиса ݁ଵ ᇱǡ ǥ ݁ ᇱ - квадратичной формой ߮ᇱሺݔଵ ᇱǡ ǥ ǡ ݔ ᇱሻс матрицей ܣᇱ:ʣᇱሺݑሻؠ ؠ ߮ᇱሺݔଵ ᇱǡ ǥ ǡ ݔ ᇱሻؠ σ ܽ ᇱݔ ᇱ ǡୀଵ при ݑൌݔଵ ᇱ݁ଵڮ ݔ ᇱ݁, причем, переход от базиса ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁к базису ݁ଵ ᇱǡ ݁ଶ ᇱǡ ǥ ݁ ᇱзадан как ݁ ᇱൌ ൌσ ܿ ݁ ୀଵ ǡ ݇ൌͳǡ ǥ ݊. Тогда ܣᇱൌܥ்ܣܥ [1]. Две квадратные матрицы ܣи ܣᇱодного и того же порядка называются эквивалентными, если существует такая невырожденная матрица ܥ, что ܣᇱൌܥ்ܣܥ. Таким образом, матрицы билинейных функций, получающиеся при невырожденной замене переменных ܺൌܥܺᇱ, являются эквивалентными. Определение. Билинейные или квадратичные формы ݂и ݃на действительном векторном пространстве ܸназываются эквивалентными (обозначается ݂݃), если существует невырожденный линейный оператор ݐǣ ܮ ืܮ, такой что для любых ݔǡ ݕڱ ܮ݂ሺݔǡ ݕሻൌ݃ሺݐݔǡ ݐݕሻ (для билинейных форм ݂и ݃) или для любыхݔڱ ܮ݂ሺݔሻൌ݃ሺݐݔሻ (для квадратичных форм ݂и ݃). 10
Доступ онлайн
от 120 ₽
В корзину