Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Линейная алгебра. Линейные операторы. Квадратичные формы. Комплексные числа

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 339000.01.95
Доступ онлайн
от 120 ₽
В корзину
Учебное пособие соответствует объединённому курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». В него включены темы: линейные отображения, квадратичные формы, комплексные числа. Приводятся основные понятия, теоремы и методы решения задач. Пособие содержит большое количество упражнений различной степени трудности. Для студентов экономических специальностей.
Рубашкина, Е. В. Линейная алгебра. Линейные операторы. Квадратичные формы. Комплексные числа: Учебное пособие / Рубашкина Е.В. - Москва : НИЦ ИНФРА-М, 2016. - 38 с. (Высшее образование) ISBN 978-5-16-011858-1. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/544419 (дата обращения: 19.07.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Е.В. РУБАШКИНА
ЛИНЕЙНАЯ 
АЛГЕБРА
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Москва
ИНФРА-М
2016


ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1
УДК 512.6(075.8)
ББК 22.143я73
 
Р82
Р е ц е н з е н т ы:
Н.С. Петросян, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Прикладная 
математика» ФГБОУ ВО «МГТУ «СТАНКИН»;
М.В. Зайцев, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Высшая алгебра» ФГБОУ ВО «МГУ им. М.В. Ломоносова»
Р82
Рубашкина Е.В.
Линейная алгебра. Линейные операторы. Квадратичные формы. Комплексные числа : учеб. пособие / Е.В. Рубашкина. — М. : 
ИНФРА-М, 2016. — 38 с. — (Высшее образование).
ISBN 978-5-16-011858-1 (print)
ISBN 978-5-16-104325-7 (online)
Учебное пособие соответствует объединённому курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». В него включены темы: линейные отображения, квадратичные формы, комплексные числа. Приводятся основные 
понятия, теоремы и методы решения задач. Пособие содержит  большое 
количество упражнений различной степени трудности. 
Для студентов экономических специальностей.
УДК 512.6(075.8)
ББК 22.143я73
© Рубашкина Е.В., 2016
ISBN 978-5-16-011858-1 (print)
ISBN 978-5-16-104325-7 (online)
Подписано в печать 25.01.2016. 
Формат 60u90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,38.
Тираж 500 экз. Заказ № 00000
ТК 339000-544419-250116
Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29


1. Линейные операторы
Определение. Пусть V, W – линейные пространства. Отображение
ܮǣ ܸ՜ ܹназывается линейным, если для всех ݈ǡ ݈ଵǡ ݈ଶא ܸ, DאԹଵимеем
ܮሺ݈ܽሻൌܽܮሺ݈ሻ, ܮሺ݈ଵ൅݈ଶሻ = ܮሺ݈ଵሻ൅ܮሺ݈ଶሻ, Թଵ – множество действительных чисел. 
Легко
показать, что
для
любого
ܽ௜א Թଵ, ݈௜א ܸܮሺσ
ܽ௜
௡
௜ୀଵ
݈௜ሻൌ
ൌσ
ܽ௜
௡
௜ୀଵ
ܮሺ݈௜ሻ. 
Линейные отображения ܮ׷ ܸ՜ ܸназываются линейными операторами на ܸ. 
Примеры: 
Нулевое линейное отображениеܮ׷ ܸ՜ ܹ,  ܮሺ݈ሻൌͲ для всех ݈א ܸ.  
Тождественное линейное отображениеܮ׷ ܸ՜ ܸ, ܮሺ݈ሻൌ݈для всех
݈א ܸ. 
Тождественное отображениеобозначается ݅݀௏или ݅݀ (от «identity»). 
Отображение ܮ
называется инъективным, когда из്݈݈ᇱ
следует
ܮሺ݈ሻ്ܮሺ݈ᇱሻ; оно называется сюръективным, когда ܮሺܸሻൌܹ.
Линейные отображение ܮ׷ ܸ՜ Թଵ – это линейные функции на ܮ. 
Пусть ܸ – пространство с базисом ۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡ۄ. Для любого ͳ ൑݅൑݊
отображение ݁௜׷ ܸ՜ Թଵ, где ݁௜ሺ݈ሻ – i-я координата ݈
в базисе
ۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡ۄ, является линейной функцией.  
1.1. Матрица линейного оператора
Пусть ܸи ܹ – линейные пространства с отмеченными базисами
ۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡ۄ и ۃ݁ଵ
ᇱǡ ݁ଶ
ᇱǡ ǥ ݁௠Ԣۄ соответственно. Рассмотрим произвольное
линейное отображение ܮǣ ܸ՜ ܹ, поставим ему в соответствие матрицу
ܣ௅размера ݉ൈ݊следующим образом (заметим, что размеры ܣ௅ – это
размерности ܸи ܹв обратном порядке). 
3


Представим векторы ܮሺ݁௞ሻв виде линейной комбинации ܮሺ݁௞ሻൌ
ൌσ
ܽ௜௞
௠
௜ୀଵ
݁௜
ᇱ. Тогда, по определению ܣ௅ൌሺܽ௜௞ሻ. Другими словами, 
коэффициенты этих линейных комбинаций – столбцы матрицы ܣ௅. 
Матрица
ܣ௅
называется
матрицей
линейного
отображения
ܮ
относительно базисов (или в базисах) ۃ݁௞ۄ, ۃ݁௜
ᇱۄ. 
Матрица ܣ௅позволяет описывать линейное отображение ܮв терминах его действия на координаты. Если ݈представлен своими координатами, ݈ൌሺݔଵǡ ݔଶǡ ǥ ݔ௡ሻв базисе ۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡ۄ, то есть ݈ൌσ
ݔ௜
௡
௜ୀଵ
݁௜, то
вектор
ܮሺ݈ሻ
представлен
координатами
ሺݕଵǡ ݕଶǡ ǥ ݕ௠ሻ, где
ݕ௜ൌ
ൌσ
ܽ௜௞
௡
௞ୀଵ
ݔ௞ǡ ݅ൌͳǡ ǥ ݉. 
То есть ݕ௜это «скалярное произведение» i-ой строки  ܣ௅на ݈. 
В частности, матрица линейного оператора является квадратной. 
Матрица тождественного оператора является единичной.  
Можно представить векторы пространств ܸи ܹ, в координатах, 
столбцами ݈ൌ൭
ݔଵ
ڭ
ݔ௡
൱, ܮሺ݈ሻൌ൭
ݕଵ
ڭ
ݕ௠
൱. Тогда действие оператора ܮзаписывается на языке матричного умножения ܮሺ݈ሻൌ൭
ܽଵଵ
ǥ
ܽଵ௡
ڮ
ڮ
ڮ
ܽ௠ଵ
ǥ
ܽ௠௡
൱൭
ݔଵ
ڭ
ݔ௡
൱, 
ܮሺ݈ሻൌܣ௅݈ (действие линейного отображения в координатах). 
Запишем аналогичную формулу в терминах базисов ۃ݁௜ۄ, ۃ݁௞
ᇱۄǤ
ܮۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡ۄ ൌۃܮሺ݁ଵሻǡ ܮሺ݁ଶሻǡ ǥ ǡ ܮሺ݁௡ሻۄ ൌۃ݁ଵ
ᇱǡ ݁ଶ
ᇱǡ ǥ ݁௠
ᇱۄܣ௅  
(по определению матричного умножения, векторы ܹнужно умножить
на скаляры справа, а не слева; будем считать ݁ᇱܽൌܽ݁ᇱдля любых
݁ᇱא ܹǡ ܽא Թଵ). 
Верно, что ሺۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡ۄܣሻܤൌۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡ۄሺܣܤሻǡ
ۃ݁ଵ൅݁ଵ
ᇱǡ ݁ଶ൅݁ଶ
ᇱǡ ǥ ǡ ݁௡൅݁௡
ᇱۄܣ=ۃ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ǡ ݁௡ۄܣ൅ۃ݁ଵ
ᇱǡ ݁ଶ
ᇱǡ ǥ ǡ ݁௡
ᇱۄܣ. 
4


Рассмотрим одно пространство ܸ. Выберем в пространстве ܸдва
базиса
ۃ݁௜ۄ
и
ۃ݁௜
ᇱۄ. Любой
вектор
݈א ܮ
можно
представить
его
координатами в этих базисах ݈ൌσ
ݔ௜
ᇱ݁௜
ᇱ
௡
௜ୀଵ
ൌσ
ݔ௞݁௞
௡
௞ୀଵ
. 
Пусть ݁௞ൌσ
ܽ௜௞݁௜
ᇱ
௡
௜ୀଵ
 , обозначим ܣൌሺܽ௜௞ሻ. 
௡
௡
௡
௡
௡
݈ൌ෍ݔ௞݁௞
௜ୀଵ
൱
௞ୀଵ
ൌ෍ݔ௞൭෍ܽ௜௞݁௜
ᇱ
௞ୀଵ
൱
௞ୀଵ
ൌ෍൭෍ܽ௜௞ݔ௞
௜ୀଵ
݁௜
ᇱൌ
௡
ൌ෍ݔ௜
ᇱ݁௜
ᇱǡ ˆˇˈݔ௜
ᇱൌ෍ܽ௜௞ݔ௞
௞ୀଵ
Ǥ
Матрица ܣназывается матрицей перехода от координат ሺݔ௞ሻ (ۃ݁௜ۄ –
координаты) к координатам ሺݔ௞
ᇱሻ (ۃ݁௜
ᇱۄ-координаты) (от нештрихованных
координат к штрихованным координатам). Эта матрица обратима. 
Обратная к ней матрица – это матрица перехода от штрихованных
координат к нештрихованным  ۃ݁௜
ᇱۄ ൌۃ݁௜ۄܣିଵ. 
Формулу ݔҧᇱൌܣݔҧ можно понимать как формулу, выражающую
координаты нового вектора ܮሺݔҧሻ, через координаты вектора ݔҧ, где ܮ – 
линейное отображение  ܸ՜ ܸ, описанное матрицей ܣв базисе ۃ݁௞ۄ. 
Выясним, как изменится матрица ܣ௅линейного отображения в измененных базисах, если перейти от базисов ۃ݁௞ۄ, ۃ݁௜
ᇱۄ к новым базисам ۃ݁ҧ௞ۄ, 
ۃ݁ҧ௜
ᇱۄ пространств ܸ, ܹ. Пусть ܤ – матрица перехода от ۃ݁௞ۄ-координат к
ۃ݁ҧ௞ۄ-координатам, а ܥ – матрица перехода от ۃ݁௜
ᇱۄ-координат к ۃ݁ҧ௜
ᇱۄкоординатам. 
Тогда, ܮሺۃ݁ҧ௞ۄሻൌܮሺۃ݁௞ۄܤିଵሻൌܮሺۃ݁௞ۄሻܤିଵൌۃ݁௜
ᇱۄܣ௅ܤିଵൌۃ݁ҧ௜
ᇱۄܥܣ௅ܤିଵ. 
Если ܸൌܹ, ۃ݁௜ۄ ൌۃ݁௜
ᇱۄ, ۃ݁ҧ௜ۄ=ۃ݁ҧ௜
ᇱۄ, то ܤൌܥи матрица линейного
оператора ܮв новом базисе равна ܣҧ௅ൌܤܣ௅ܤିଵ.
Матрица ܤܣ௅ܤିଵназывается сопряженной к ܣ௅с помощью невырожденной (то есть detܤ്Ͳ) матрицы ܤ. 
5


1.2. Структура линейного отображения
Как геометрически представить себе устройство линейного отображения ܮǣ ܸ՜ ܹ? 
Рассмотрим случай ܹൌܸ. На матричном языке это означает приведение матрицы ܮк возможно более простой форме с помощью специально приспособленного к структуре ܮбазиса.  
Рассмотрим линейные операторы ܮǣ ܸ՜ ܸ. Введем простейший
класс: диагонализируемых операторов.  
Определение. Линейный оператор ܮǣ ܸ՜ ܸназывается диагонализируемым, если существует базис ܸ, в котором матрица ܮдиагональна. 
Диагонализируемые операторы образуют простейший и самый важный класс. 
Определение. Одномерное
подпространство
ܸ
ଵؿ ܸ
называется
собственным для оператора ܮ, если ܮሺܸ
ଵሻؿ ܸ
ଵ. Если ܸ
ଵтакое подпространство, то ܮдействует на нем как умножение на число ߣא Թଵ. 
Это число называется собственным значением ܮ (на ܸ
ଵ). 
Определение. Вектор ݈א ܸназывается собственным для ܮ, если
്݈Ͳ и ܮሺ݈ሻൌߣ݈, для некоторого ߣא Թଵ. 
Выясним, когда у ܮимеется хотя бы одно собственное подпространство.  
Определение. Пусть ܮǣ ܸ՜ ܸлинейный оператор, ܣ – его матрица
в каком-нибудь базисе. Обозначим через ܲሺݐሻмногочлен †‡–ሺݐܧെܣሻ
и назовем его характеристическим многочленом оператора ܮ (и матрицы ܣ).  
Оператор ܮне имеет собственных значений и тем более не
диагонализируем, если его характеристический многочлен ܲሺݐሻне
имеет корней. Например, пусть ܣൌቀܽ
ܾ
ܿ
݀ቁ, ܽǡ ܾǡ ܿǡ ݀א Թଵ. 
6


Тогда
†‡–ሺݐܧെܣሻൌݐଶെሺܽ൅݀ሻݐ൅ሺܽ݀െܾܿሻ. 
Если ሺܽ൅݀ሻଶെͶሺܽ݀െܾܿሻൌሺܽെ݀ሻଶ൅Ͷܾܿ൏Ͳ, то ܣне диагонализируема. 
Множество всех корней характеристического многочлена называется
спектром оператора ܮ. Если все кратности равны единицы, то говорят, 
что ܮимеет простой спектр. 
Теорема. Если оператор (с коэффициентами в Թଵ) имеет простой
спектр, то он диагонализируем [5]. 
 
 
7


2. Квадратичные формы  
Рассмотрим функцию от двух переменных векторовݑи ݒлинейного
пространства ܸ, то есть предположим, что дано правило, ставящее в
соответствие каждой паре ݑǡ ݒнекоторое число ܨሺݑǡ ݒሻ. Будем считать, 
что эта функция является линейной по каждому из своих аргументов, 
это значит что выполнены следующие условия: 
ܨሺߣଵݑଵ൅ߣଶݑଶǡ ݒሻൌߣଵܨሺݑଵǡ ݒሻ൅ߣଶܨሺݑଶǡ ݒሻ
ܨሺݑǡ ߣଵݒଵ൅ߣଶݒଶሻൌߣଵܨሺݑǡ ݒଵሻ൅ߣଶܨሺݑǡ ݒଶሻ
(для любых векторов ݑଵǡ ݑଶǡ ݑǢݒଵǡ ݒଶǡ ݒи чисел ߣଵǡ ߣଶ). 
Тогда говорят, что ܨявляется билинейной функцией. 
Рассмотрим некоторый базис ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡пространства ܸ௡, в этом
базисе ݑൌݔଵ݁ଵ൅ڮ ൅ݔ௡݁௡, ݒൌݕଵ݁ଵ൅ڮ ൅ݕ௡݁௡, где ൭
ݔଵ
ڭ
ݔ௡
൱ǡ ൭
ݕଵ
ڭ
ݕ௡
൱ – 
координаты векторов ݑи ݒотносительно этого базиса. Получаем  
ܨሺݑǡ ݒሻൌܨሺݔଵ݁ଵ൅ڮ ൅ݔ௡݁௡ǡ ݕଵ݁ଵ൅ڮ ൅ݕ௡݁௡ሻൌ
ൌσ
σ
ݔ௜ݕ௝
௡
௝ୀଵ
௡
௜ୀଵ
ܨ൫݁௜ǡ ݁
௝൯. 
Положим теперь ܨ൫݁௜ǡ ݁
௝൯ൌܽ௜௝. Следовательно, 
ܨሺݑǡ ݒሻൌσ
σ
ܽ௜௝ݔ௜ݕ௝
௡
௝ୀଵ
௡
௜ୀଵ
.   
(1) 
Определение. Многочлены вида  
݂ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔ௡Ǣ ݕଵǡ ǥ ǡ ݕ௡ሻൌσ
σ
ܽ௜௝ݔ௜ݕ௝
௡
௝ୀଵ
௡
௜ୀଵ
,  
(2)  
линейные по каждому из двух наборов переменных ݔଵǡ ǥ ǡ ݔ௡, ݕଵǡ ǥ ǡ ݕ௡, 
называются билинейными формами от переменных ݔ௜ǡ ݕ௝,  ݅ǡ ݆ൌͳǡ ǥ ݊. 
Матрица ܣൌ൭
ܽଵଵ
ǥ
ܽଵ௡
ڮ
ڮ
ڮ
ܽ௡ଵ
ǥ
ܽ௡௡
൱называется матрицей билинейной
формы (2) σ
σ
ܽ௜௝ݔ௜ݕ௝
௡
௝ୀଵ
௡
௜ୀଵ
 (или матрицей билинейной функции (1) 
относительно базиса ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡).  
8


Билинейная форма называется симметричной, если симметрична ее
матрица (то есть, если ܽ௜௞ൌܽ௞௜). 
Билинейная функция называется симметричной, если еѐ значение не
меняется при перестановке аргументов, то есть если ܨሺݑǡ ݒሻൌܨሺݒǡ ݑሻ. 
Функция Ȱ, полученная по правилу Ȱሺݑሻൌܨሺݑǡ ݑሻиз симметричной билинейной функции ܨназывается квадратичной функцией, порожденной данной билинейной функцией ܨ. 
Если в данном базисе симметричная билинейная функция ܨሺݑǡ ݒሻ
записывается
в
виде
ܨሺݑǡ ݒሻൌσ
ܽ௜௞
௡
௜ǡ௞ୀଵ
ݔ௜ݕ௞ǡ ܽ௜௞ൌܽ௞௜, то
Ȱሺݑሻൌ
ൌܨሺݑǡ ݑሻൌσ
σ
ܽ௜௞ݔ௜ݔ௞
௡
௞ୀଵ
௡
௜ୀଵ
. 
Многочлен
вида
߮ሺݔሻൌσ
σ
ܽ௜௞ݔ௜ݔ௞
௡
௞ୀଵ
௡
௜ୀଵ
, все
члены
которого
имеют вторую степень, называется квадратичной формой (от переменных ݔଵǡ ǥ ǡ ݔ௡). При этом предполагается, что ܽ௜௞ൌܽ௞௜. Так что
коэффициент приݔ௜ݔ௞в σ
σ
ܽ௜௞ݔ௜ݔ௞
௡
௞ୀଵ
௡
௜ୀଵ
при ്݅݇равен ʹܽ௜௞ൌʹܽ௞௜. 
൲
называется
Симметричная
матрица
ܣൌ൮
ܽଵଵ
ܽଵଶ
ǥ
ܽଵ௡
ܽଶଵ
ܽଶଶ
ǥ
ܽଶ௡
ǥ
ǥ
ǥ
ǥ
ܽ௡ଵ
ܽ௡ଶ
ǥ
ܽ௡௡
матрицей квадратичной формыσ
σ
ܽ௜௞ݔ௜ݔ௞
௡
௞ୀଵ
௡
௜ୀଵ
. Еѐ определитель
называется дискриминантом квадратичной формы. 
Для того чтобы задать билинейную или квадратичную форму, нужно
задать ее матрицу ܣൌ൮
൲. 
ܽଵଵ
ܽଵଶ
ǥ
ܽଵ௡
ܽଶଵ
ܽଶଶ
ǥ
ܽଶ௡
ǥ
ǥ
ǥ
ǥ
ܽ௡ଵ
ܽ௡ଶ
ǥ
ܽ௡௡
Выясним, как при переходе от базиса ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡к базису ݁ଵ
ᇱǡ ݁ଶ
ᇱǡ ǥ ݁௡
ᇱ
преобразуется матрица ܣбилинейной формы. Ответ дает следующая
теорема: 
Теорема. 
Предположим, 
что
билинейная
функция
ܨሺݑǡ ݒሻ
записывается относительно базиса ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡
в виде билинейной
9


формы ܨሺݑǡ ݒሻൌσ ܽ௜௞ݔ௜ݕ௞
с матрицей ܣ, а относительно базиса
݁ଵ
ᇱǡ ݁ଶ
ᇱǡ ǥ ݁௡
ᇱв виде билинейной формы ܨᇱሺݑǡ ݒሻൌσ ܽ௜௞
ᇱݔ௜
ᇱݕ௞
ᇱс матрицей
ܣᇱ. Пусть ݁௞
ᇱൌσ
ܿ
௝௞݁
௝
௡
௝ୀଵ
ǡ ݇ൌͳǡ ǥ ݊. 
Получаем, что  координаты  ݔ௞ൌσ
ܿ௞௝
௡
௝ୀଵ
ݔ௝
ᇱǡ ݇ൌͳǡ ǥ ݊. Пусть
ܥൌ൮
൲. Тогда имеет место формула ܣᇱൌܥ்ܣܥǡ ܥ் – 
ܿଵଵ
ܿଵଶ
ǥ
ܿଵ௡
ܿଶଵ
ܿଶଶ
ǥ
ܿଶ௡
ǥ
ǥ
ǥ
ǥ
ܿ௡ଵ
ܿ௡ଶ
ǥ
ܿ௡௡
матрица, транспонированная к ܥ [1]. 
ܥназывается матрицей перехода. 
Следствие. Пусть квадратичная функция ʣሺݑሻ, определенная в ܸ௡, 
записывается относительно базиса ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡квадратичной формой
߮ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔ௡ሻ
с
симметричной
матрицей
ܣ:Ȱሺݑሻؠ ߮ሺݔଵǡ ǥ ǡ ݔ௡ሻؠ
ؠ σ
ܽ௜௞ݔ௜ݔ௞
௡
௜ǡ௞ୀଵ
, при
ݑൌݔଵ݁ଵ൅ڮ ൅ݔ௡݁௡, а
относительно
базиса
݁ଵ
ᇱǡ ǥ ݁௡
ᇱ - квадратичной формой ߮ᇱሺݔଵ
ᇱǡ ǥ ǡ ݔ௡
ᇱሻс матрицей ܣᇱ:ʣᇱሺݑሻؠ
ؠ ߮ᇱሺݔଵ
ᇱǡ ǥ ǡ ݔ௡
ᇱሻؠ σ
ܽ௜௞
ᇱݔ௜
ᇱ
௡
௜ǡ௞ୀଵ
при
ݑൌݔଵ
ᇱ݁ଵ൅ڮ ൅ݔ௡
ᇱ݁௡, 
причем, 
переход от базиса ݁ଵǡ ݁ଶǡ ǥ ݁௡к базису ݁ଵ
ᇱǡ ݁ଶ
ᇱǡ ǥ ݁௡
ᇱзадан как ݁௞
ᇱൌ
ൌσ
ܿ
௝௞݁
௝
௡
௝ୀଵ
ǡ ݇ൌͳǡ ǥ ݊. Тогда ܣᇱൌܥ்ܣܥ [1]. 
Две квадратные матрицы ܣи ܣᇱодного и того же порядка
называются эквивалентными, если существует такая невырожденная
матрица ܥ, что ܣᇱൌܥ்ܣܥ. Таким образом, матрицы билинейных
функций, получающиеся
при
невырожденной
замене
переменных
ܺൌܥܺᇱ, являются эквивалентными. 
Определение. Билинейные или квадратичные формы ݂и ݃на
действительном векторном пространстве ܸназываются эквивалентными (обозначается ݂؀݃), если существует невырожденный линейный
оператор ݐǣ ܮ ืܮ, такой что для любых ݔǡ ݕڱ ܮ݂ሺݔǡ ݕሻൌ݃ሺݐݔǡ ݐݕሻ
(для билинейных форм ݂и ݃) или для любыхݔڱ ܮ݂ሺݔሻൌ݃ሺݐݔሻ (для
квадратичных форм ݂и ݃). 
10


Доступ онлайн
от 120 ₽
В корзину