Избранные задачи студенческих олимпиад МФТИ по курсу общей физики

В.С. БУЛЫГИН, М.Г. КРЕМЛЕВ, Э.В. ПРУТ

ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
СТУДЕНЧЕСКИХ ОЛИМПИАД  
МФТИ  
ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

Â.Ñ. Áóëûãèí, Ì.Ã. Êðåìëåâ, Ý.Â. Ïðóò
Èçáðàííûå çàäà÷è ñòóäåí÷åñêèõ îëèìïèàä ÌÔÒÈ ïî
êóðñó îáùåé ôèçèêè / Â.Ñ. Áóëûãèí, Ì.Ã. Êðåìëåâ,
Ý.Â. Ïðóò – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2015. – 312 ñ.
ISBN 978-5-91559-158-4

Ó÷åáíîå ïîñîáèå  ñîäåðæèò çàäà÷è ñòóäåí÷åñêèõ îëèìïèàä, ïðîâîäèâøèõñÿ â ÌÔÒÈ ñ 1980 ãîäà ïî íàñòîÿùåå âðåìÿ. Àâòîðàìè çàäà÷ ÿâëÿþòñÿ êàê ïðåïîäàâàòåëè êàôåäðû
îáùåé ôèçèêè, òàê, â ðÿäå ñëó÷àåâ, è ñòóäåíòû ÌÔÒÈ. Îëèìïèàäû ÌÔÒÈ ïî îáùåé ôèçèêå îðèåíòèðîâàíû íà ïîääåðæàíèå âûñîêîãî óðîâíÿ è èíòåðåñà ê ôèçèêå, îëèìïèàäíûå
çàäà÷è, êàê ïðàâèëî, ïðåâûøàþò óðîâåíü çàäà÷, ïðåäëàãàåìûõ êàôåäðîé íà êîíòðîëüíûõ è ïèñüìåííûõ ýêçàìåíàõ ïî
ôèçèêå.
 Ñîäåðæàíèå çàäà÷ îõâàòûâàåò âñå ðàçäåëû êóðñà îáùåé ôèçèêè, ïðè ýòîì çàäà÷è íåðåäêî ÿâëÿþòñÿ ñèíòåòè÷åñêèìè,
îáúåäèíÿþùèìè ïðîãðàììû ðàçíûõ ðàçäåëîâ ôèçèêè, ÷òî
âîñïèòûâàåò ó ñòóäåíòîâ ïîíèìàíèå åäèíîé ôèçè÷åñêîé êàðòèíû ðàññìàòðèâàåìûõ â çàäà÷àõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ïîñòàíîâêà ðÿäà çàäà÷ íå ïðåäïîëàãàåò ñòðîãî îïðåäåë¸ííîãî
îòâåòà è òðåáóåò îò ñòóäåíòà ñàìîñòîÿòåëüíîãî âûáîðà è äåòàëèçàöèè ìîäåëè ôèçè÷åñêîãî ÿâëåíèÿ. Ìíîãèå çàäà÷è ñîñòàâëåíû ñïåöèàëèñòàìè â ñîîòâåòñòâóþùåé îáëàñòè íàóêè.
Íåêîòîðûå çàäà÷è èìåþò îöåíî÷íûé õàðàêòåð, à ðÿä äðóãèõ
ñòàâÿò öåëüþ âûÿâëåíèå ñàìûõ îáùèõ ïðåäñòàâëåíèé î õàðàêòåðå èçó÷àåìûõ ÿâëåíèé.
Ñáîðíèê ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñòóäåíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé óíèâåðñèòåòîâ.

© 2014 Â.Ñ. Áóëûãèí,
Ì.Ã. Êðåìëåâ, Ý.Â. Ïðóò
© 2015, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-158-4

ПРЕДИСЛОВИЕ
АВТОРОВ-СОСТАВИТЕЛЕЙ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящая книга является расширенным и дополненным сборником первого издания (2007 г.) задач традиционной студенческой физической
Олимпиады МФТИ — Московского физико-технического института (государственного университета). Издание содержит условия и решения задач олимпиад, начиная с 1980 г. Настоящая книга — плод упорного труда в течение
многих десятилетий.
В настоящем издании сохранена группировка задач по годам проведения
олимпиад. Попытки группировки задач по принадлежности материала к различным разделам физики встретила серьезные затруднения, поскольку многие
задачи не могут быть отнесены к какому-то одному разделу.
Московский физико-технический институт был задуман и создан для подготовки специалистов, способных в кратчайшие сроки, еще в процессе обучения, включиться вместе со старшими коллегами в реальную научную и
инженерную деятельность.
Для решения такой задачи группой авторитетных ученых (в числе которых были будущие нобелевские лауреаты П. Л. Капица и Н. Н. Семенов) была
разработана «система Физтеха», подразумевающая тщательный отбор талантливых и мотивированных молодых людей, интенсивный процесс обучения,
позволяющий их раннее активное вовлечение в работу научных организаций,
где размещаются базовые кафедры МФТИ.
«Главнейшая роль», по словам П. Л. Капицы, в таком обучении принадлежит общей физике, к изучению которой он всегда призывал относиться особенно серьезно, поскольку она учит пользоваться основными законами, составляющими базу инженерных знаний, и является фундаментом для глубокого освоения узких специализированных разделов физики. Так как студенты
МФТИ всегда были ориентированы на немедленное практическое использование полученных знаний, то решению задач в курсе общей физики традиционно
отводится много места.
Наряду с текущим образовательным процессом традиционная студенческая
физическая Олимпиада МФТИ является одним из подходов к поддержанию
высокого уровня преподавания физики, заданного П. Л. Капицей. Большим
мастером создания интересных и поучительных задач нового типа был Петр
Леонидович Капица, и его знаменитые «Задачи» оказали на авторов большое
влияние. Постановка многих задач не предполагает строго определенного ответа и требует от студента самостоятельности в построении модели физического явления и глубины ее детализации. Такие олимпиадные задачи разви

Булыгин В. С., Кремлев М. Г., Прут Э. В.

вают концепцию задач-проблем, образцы которых во множестве представлены
в педагогическом наследии П. Л. Капицы. О важности использования таких
задач в учебном процессе сам П. Л. Капица говорил так: «Мне думается, что
в выработке методов преподавания решение задач-проблем может быть
широко использовано при преподавании не только физики, но и других
точных наук: математики, механики, химии и др. Перед тем как решать
крупную научную проблему, ученым надо уметь ее решать в малых формах.
Поэтому решение таких задач-проблем является хорошей подготовкой для
будущих научных работников».
Традиционные Олимпиады по общей физике в своем нынешнем виде регулярно проводятся с 1980 г. в одно из мартовских воскресений.
Особенность традиционной студенческой Олимпиады МФТИ по физике
состоит в том, что здесь результаты подводятся без скидок на пресловутое
«падение общего уровня», без оглядки на политкорректность — «чтобы никто
не ушел обиженным», без стремления к массовости охвата. Покорение вершин
и массовость участия — это разные жанры. Наградой победителям является
сам факт победы (освобождение от экзамена в текущем семестре и небольшие
выплаты из стипендиального фонда лишь подчеркивают то значение, которое
придают Олимпиаде кафедра физики и руководство института).
На Олимпиаду выносятся 12 задач, на решение которых отводится четыре
астрономических часа. Темы задач охватывают все разделы курса общей физики, предпочтение отдается междисциплинарным задачам, требующим знаний
из различных разделов физики. Студент сам выбирает задачи, которые ему
доступны и интересны, а итоги подводятся по каждому курсу в отдельности,
при этом определяется и абсолютный победитель.
В соответствии с традициями кафедры общей физики, при решении задач
допускается использование любой литературы, конспектов, вычислительной
техники. Постановка многих задач не предполагает строго определенного ответа и требует от студента самостоятельности в построении модели физического
явления и глубины ее детализации. Иногда случается так, что предлагаемое
студентом решение оказывается лаконичнее, изящнее того, которое предполагалось составителем, или обнаруживаются новые грани физического явления.
Такие решения приносят высшие баллы олимпиадникам и наибольшее удовлетворение составителям задач.
Авторами ряда задач, наряду с преподавателями, являются такжеи и студенты различных курсов, поэтому некоторые задачи могут показаться слишком
простыми, особенно на фоне других задач, требующих иногда непростых
вычислений, заведомо недоступных первокурснику (заметим, впрочем, что
известны случаи, когда абсолютными победителями олимпиады становились
именно первокурсники!).
Эта книга предназначена для преподавателей, аспирантов и студентов, которые хотят узнать, что можно сделать с достаточно простыми моделями в физике. Правильная постановка задачи может стимулировать оригинальную работу.
В заключение составители хотят поблагодарить всех авторов задач за сотрудничество, сделавшее возможным это издание.
Будем признательны всем читателям за критические замечания и пожелания, а также за обнаружение опечаток и неточностей в ответах.

ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

1. В запаянной U-образной трубке содержится эфир и его
пары (рис. 1). Оценить чувствительность этого дифференциального конденсационного термометра h/∆T при T1 ∼ T2 ∼ 300 К, когда давление
насыщенного пара P ∼ 1 атм, а плотность жидкости 0,7 г/см3. Молярная теплота испарения эфира Λ = 3,88 · 104 Дж/моль. Температура
кипения эфира при давлении 1 атм Tк = 467 К.

Рис. 1

Решение
(1980. №2).
Связь между разностью давлений и температур может быть использована в приборе для измерения разности близких температур (рис. 1).
При одинаковых температурах уровни эфира в обоих коленах трубки
одинаковы. При разных температурах давления насыщенного пара разные. Это различие приводит к изменению уровней в коленах.
Если пар достаточно разрежен, то его состояние можно описать
уравнением состояния идеального газа, пренебрегая удельным объемом
жидкой фазы в уравнении Клапейрона–Клаузиса:
dP
dT =
Λ

T(ν2 − ν1) =
Λ

RT 2 P.
Здесь
Λ
RTk = 3,88 · 104

8,314 · 467 ≈ 10.

Если давление измерять в длинах столба эфира, то получим

h
∆T = ΛP

RT 2 = 10Tk

T
P
T,
P = 104

0,7 ≈ 1430 см эфир. ст.;

h
∆T = 10 · 467 · 1430

3002
≈ 74 см эфир. ст./К.

Булыгин В. С., Кремлев М. Г., Прут Э. В.

2. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью J0
падает нормально на непрозрачный экран в виде полуплоскости с вырезом на краю, имеющим форму полукруга. Найти интенсивность света в
точке P, для которой граница выреза совпадает с границей первой зоны
Френеля (рис. 2).

Рис. 2
Рис. 3

Решение
(1980. №3).
На рис. 3 на векторной диаграмме показаны амплитуды векторов
от половины первой зоны Френеля A1/2 = A0 и от открытой половины A0/2. Их сумма равна (3/2)A0. Соответственно интенсивность
Jp = (9/4)J0.

3. Мюоны космических лучей образуются, в основном, в стратосфере Земли под действием первичного космического излучения. Оцените
энергию мюона E, достигающего поверхности Земли, если он образовался на высоте h = 40 км. Потерями энергии мюона на ионизацию
молекул воздуха пренебречь.

Решение
(1980. №4).
Выражения специальной теории относительности

τ =
τ0
p

1 − β2 ;
E =
mc2

p

1 − β2 ,
где
β = V

c
можно переписать в следующем виде:
1 − β2 = mc2

E ;
τ =
E

mc2 τ0.

Здесь τ0 — собственное время жизни. Считая, что мюон летит почти со
скоростью света, получим
h = cτ = cτ0
E
mc2 ;

E = mc2 h

cτ0 = 206,7 · 0,51 · 106 ·
40 · 105

3 · 10 · 2,2 · 10−6 ≈ 6,4 ГэВ.

Так как E ≫ mc2 наше допущение справедливо (mc2 ≈ 105 МэВ).

Избранные задачи студенческих олимпиад МФТИ по курсу общей физики
7

4. Определить период малых колебаний тонкого кольца массой M
и радиуса R, одетого на неподвижный цилиндр радиуса r (рис. 4). Проскальзывания нет.

Рис. 4

Решение
(1980. №5).
Период малых колебаний тонкого кольца, одетого на неподвижный
цилиндр, определим, воспользовавшись выражением для полной энергии кольца. Кинетическая энергия относительно точки соприкосновения кольца на цилиндре A равна K = (1/2)IA ˙ψ2, где момент инерции
относительно A по теореме Гюйгенса–Штейнера равен IA = IC + MR2 =
= 2MR2 (IC — момент инерции относительно центра масс C), а ψ — угол
отклонения относительно вертикальной оси.
Отсутствие проскальзывания между кольцом и цилиндром позволяет получить соотношение ψR = ϕ(R − r). В этом случае выражение
для кинетической энергии можно преобразовать к виду

K = 1

2IA
R − r

R

2
˙ϕ2.

Потенциальная энергия кольца равна

U = Mg(R − r)(1 − cos ϕ) ≈ 1

2Mg(R − r)ϕ2;

Используя выражение для полной энергии кольца

K + U = const,

найдем частоту малых колебаний

ω =

MgR2

(IC + MR2)(R − r) =
g

2(R − r).

Период малых колебаний равен

T = 2π
2(R − r)

g
.

Булыгин В. С., Кремлев М. Г., Прут Э. В.

5. Импульс лазерного излучения с плотностью потока энергии
q = 108 Вт/см2 падает на толстую металлическую мишень. Полагая,
что вся энергия излучения поглощается в металле, оцените минимальную длительность импульса, при которой поверхность мишени
достигнет температуры плавления.

Решение
(А. С. Кингсеп. 1980. №6).
Пусть χ = 1 кал/(см · с · К) — коэффициент теплопроводности, Tпл ≈
≈ 1700 К — температура плавления, ρ ≈ 8 г/см3 — плотность мишени,
T0 ≈ 300 К, C ≈ 0,1 кал/(г · К) — теплоемкость.
Обозначим глубину прогрева через hэфф. Тогда поток тепла q, величина которого определяется законом Фурье, равен

q = −χdT

dz .

Полагая dT ≈ Tпл − T0 и dz ≈ hэфф, определим эффективную глубину
прогрева

hэфф ∼= χ(Tпл − T0)

q
.

Этот прогрев произойдет за время t

qt = hэффρCTпл − T0

2
,

t = χ(Tпл − T0)2ρC

2q2
≈ 4,192 · 14002 · 8 · 0,1

2 · 1016
≈ 1,4 · 10−9 с.

6. Найти показатель преломления n и его градиент по высоте
около поверхности Венеры dn/dh. Атмосфера Венеры состоит из СО2,
поляризуемость молекул которого α = 2,7 · 10−23 см3. Давление около
поверхности Венеры принять равными P0 = 100 атм и температуру
T = 500 ◦С. Оценить кривизну светового луча, пущенного на небольшой высоте в горизонтальном направлении. Может ли такой луч выйти за пределы атмосферы Венеры? Ускорение свободного падения на
Венере gВ = 0,84gЗ. Радиус кривизны горизонтально пущенного луча
определяется соотношением

1
r = 1

n
dn
dh.

Решение
(1980. №7).
Показатель преломления газа определяется соотношением:

n =
√

1 + 4παN ≈ 1 + 2παN.
(1)

Избранные задачи студенческих олимпиад МФТИ по курсу общей физики
9

Здесь N — концентрация молекул. Распределение концентраций молекул по высоте описывается распределением Больцмана

N(h) = N0 exp
−mgВh

kT

,
P0 = N0kT.

Отсюда

N(h) = P0

kT exp
−mgВh

kT

.

Для небольших высот:

N(h) = P0

kT

1 − mgВh

kT

.

Подставляя это выражение в (1), находим

n = 1 + 2πα P0

kT

1 − mgВh

kT

,
dn
dh = −2παP0mgВ

(kT)2
.

Радиус кривизны луча, пущенного горизонтально

r = n
dn

dh

−1
≈ −
(kT)2

2παP0mgВ = −
(1,4 · 10−16 · 773)2

1 · 3,14 · 2,7 · 10−23 · 102 · 106 · 44 · 0,84 · 103 ≈

≈ −107 см = −105 м = −102 км.

Так как r < 0, центр кривизны располагается при h < 0 таким образом,
что горизонтальные и близкие к ним лучи не могут выйти за пределы
атмосферы Венеры, так как |r| < rВ.

7. Показать, что для белых карликов (звезда, состоящая из полностью ионизованных атомов с зарядом Z) из условия равенства гравитационного давления и давления электронного газа следует соотношение
MR3 = const. Электроны считать нерелятивистскими.

Решение
(1980. №8).
Плотность электронов определим, как

nе ∼ M

mя Z 1

R3 =
MZ

mрAR3 .

Здесь M и R — масса и радиус белого карлика соответственно; mя
и mр — массы ядра и протона соответственно; A — относительная
атомная масса.
Пусть расстояние между электронами a ∼ n−1/3
е
.
Скорость электронов оценим из соотношения неопределенности

Vе ∼
ℏ

mеa.

Булыгин В. С., Кремлев М. Г., Прут Э. В.

Энергия одного электрона

εе = mеV 2
е

2
∼ mе
ℏ2

2m2
еa2 ∼ ℏ2n2/3
е

2mе .

Давление электронного газа с точностью до коэффициента порядка
единицы равно плотности энергии

Pе ≈ nеεе ∼ ℏ2n5/3
е

2mе
= ℏ2

mе

M

mр

5/3Z

A

5/3 1

R5 .

Гравитационное давление

Pграв = Uграв

V
∼ γ
M2

R

1

R3 = γ M2

R4 .

Из условия равенства Pграв = Pе найдем

M1/3R ∼ 1

γ
ℏ2

mе

Z

A

5/3
1

m5/3
р
= const .

8. Твердый водород является диэлектриком, плотность которого при
нормальном давлении равна 0,076 г/см3. Оценить плотность твердого
водорода, при которой он становится металлом. Энергия ионизации атома водорода εи = 13,6 эВ = 2,18 · 10−11 эрг.

Решение
(1980. №9).
Сжатие водорода сопровождается повышением уровня Ферми εф,
который при заданной плотности вещества определяет максимальную
кинетическую энергию свободного электрона. При εф = εи происходит
ионизация атомов диэлектрика. Электроны коллективизируются и диэлектрик становится металлом. Определим n из:

εф = εmax = h2

8m

3n

π

2/3
,

ρ = nmН =
π
3h3 (8mεи)3/2 ≈ 3,8 г/см3.

9. Одной из причин нарушения работы сверхпроводящих соленоидов является скачкообразное движение витков (под действием пондермоторных сил), в результате которого происходит тепловыделение и нагрев сверхпроводника выше критической температуры. В современных
сверхпроводящих кабелях основную массу кабеля составляет не сам
сверхпроводник, а медь, плотность которой ρ = 9 г/см3, а температура