Практическая математика. Руководство для начинающих изучать теоретическую физику

Ю.М. БЕЛОУСОВ, В.П. КУЗНЕЦОВ, В.П. СМИЛГА

2014

ПРАКТИЧЕСКАЯ 
МАТЕМАТИКА 

РУКОВОДСТВО ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ 
ИЗУЧАТЬ ТЕОРЕТИЧЕСКУЮ ФИЗИКУ

Справочно-методическое  руководство
Второе издание
 

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

Þ.Ì. Áåëîóñîâ, Â.Ï. Êóçíåöîâ, Â.Ï. Ñìèëãà
Ïðàêòè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà. Ðóêîâîäñòâî äëÿ íà÷èíàþùèõ èçó÷àòü òåîðåòè÷åñêóþ ôèçèêó: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /
Þ.Ì. Áåëîóñîâ, Â.Ï. Êóçíåöîâ, Â.Ï. Ñìèëãà – Äîëãîïðóäíûé – 2-å èçä.: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2014.
– 176 ñ.
ISBN 978-5-91559-187-4

Ïðåäñòàâëåí ñïðàâî÷íî-ìåòîäè÷åñêèé ìàòåðèàë ïî ðàçëè÷íûì ðàçäåëàì âûñøåé ìàòåìàòèêè, èìåþùèé áîëüøîå ïðèìåíåíèå ïðè
èçó÷åíèè êóðñà òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè: ëèíåéíàÿ àëãåáðà, ðàçëè÷íûå ñèñòåìû êîîðäèíàò è èõ ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè, ýëåìåíòû âåêòîðíîãî àíàëèçà è òåíçîðíîé àëãåáðû â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, òåõíèêà çàìåíû ïåðåìåííûõ,
ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî
è ôóíêöèè Ãðèíà. Ñïåöèàëüíûå ãëàâû ïîñâÿùåíû ðàçäåëàì, êîòîðûì, êàê ïðàâèëî, íå óäåëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî âíèìàíèÿ â ñòàíäàðòíûõ êóðñàõ âûñøåé ìàòåìàòèêè: ýëåìåíòàì ïñåâäîåâêëèäîâîé ãåîìåòðèè, ïðåäñòàâëåíèÿì îáîáùåííûõ ôóíêöèé, à òàêæå ìàòåìàòè÷åñêîìó
àïïàðàòó êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
 çàêëþ÷åíèè ïðåäñòàâëåíû êðàòêèå ñâåäåíèÿ î âûäàþùèõñÿ
ó÷åíûõ, âíåñøèõ îïðåäåëÿþùèé âêëàä â ðàçâèòèå ìàòåìàòèêè.
Ïåðâîå èçäàíèå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â âåäóùèõ ðîññèéñêèõ óíèâåðñèòåòàõ.
Äëÿ ñòóäåíòîâ, èçó÷àþùèõ òåîðåòè÷åñêóþ ôèçèêó.

ISBN 978-5-91559-187-4
 © 2009, Þ.Ì. Áåëîóñîâ,
    Â.Ï. Êóçíåöîâ, Â.Ï.Ñìèëãà
© 2014, ÎÎÎ «Èçäàòåëüñêèé Äîì
    «Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
    îôîðìëåíèå

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Г л а в а 1
Аксиоматический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. «Начала» Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3. Система аксиом Г. Вейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

Г л а в а 2
Элементы линейной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18

2.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2. Преобразования системы базисных векторов . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3. Эрмитовы операторы и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

Г л а в а 3
Преобразования симметрии в трехмерном пространстве . . . . . . . . . . . . . .
29

3.1. Преобразования системы координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.2. Преобразования поворота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3. Отражения в плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.4. Группа преобразований симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

Г л а в а 4
Векторная и тензорная алгебра в трехмерном евклидовом пространстве . . . .
35

4.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.2. Скаляр, вектор, тензор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.3. Операции с тензорами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.4. Симметрии трехмерного пространства и матрица поворота . . . . .
41
4.5. Инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

Оглавление

Г л а в а 5
Элементы векторного анализа в трехмерном евклидовом пространстве . . . .
52
5.1. Основные понятия векторного анализа. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
5.2. Действия с оператором ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.3. Операции векторной алгебры в тензорных обозначениях . . . . . . .
60
5.4. Интегральные формулы векторного анализа . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.5. Преобразование интегральных выражений . . . . . . . . . . . . . . . .
64

Г л а в а 6
Ортогональные системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.1. Основные физические системы координат . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.2. Операторы ∇ и ∆ в цилиндрической системе координат . . . . . . .
70
6.3. Операторы ∇ и ∆ в сферической системе координат . . . . . . . . .
73

Г л а в а 7
Замена переменных, якобиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
7.1. Замена переменных в многомерных интегралах . . . . . . . . . . . . .
76
7.2. Якобиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

Г л а в а 8
Псевдоевклидово пространство СТО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
8.1. Метрический тензор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
8.2. Метрика Минковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
8.3. Тензорная алгебра в четырехмерном пространстве Минковского . .
91

Г л а в а 9
Некоторые применения теории функций комплексного переменного . . . . . .
95
9.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
9.2. Дифференцирование и интегрирование аналитических функций . .
100
9.3. Нули и особые точки аналитических функций . . . . . . . . . . . . . .
110
9.4. Вычеты. Контурное интегрирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
9.5. Гамма-функция и другие функции, определенные интегралами . .
117
9.6. Метод Бореля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121

Г л а в а 10
Применение обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
10.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
10.2. δ-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
10.3. Представления δ-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
10.4. Свойства δ-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
10.5. Функция Хевисайда θ(x), sign x и ℘ 1

x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
10.6. Некоторые свойства обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . .
138

Оглавление
5

Г л а в а 11
Геометрия и алгебра в математическом аппарате квантовой механики . . . .
141
11.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
11.2. Операторы в гильбертовом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
11.3. Собственные значения и собственные векторы операторов . . . . .
147
11.4. Проекционный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
11.5. Представление векторов и операторов матрицами . . . . . . . . . . .
150
11.6. Непрерывный спектр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152

Г л а в а 12
Некоторые применения функций Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
12.1. Основные понятия и свойства функции Грина . . . . . . . . . . . . .
154
12.2. Функция Грина волнового уравнения. Запаздывающие потенциалы
155
12.3. Функция Грина стационарного уравнения Шредингера . . . . . . . .
159
12.4. Функция Грина свободной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161

Историческая справка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175

ПРЕДИСЛОВИЕ

«Катехизис» (от греч. kathechesis — наставление, познание) — краткое
изложение вероучения в вопросах и ответах (словарь иностранных слов).
Перед вами не учебник и не задачник, но и не список формул, а практическое руководство по применению знаний, полученных в курсе математики, что и позволяет его понимать как «Катехизис». Катехизис — это
форма, издавна принятая как в религиозной, так и в русской литературе.
Кажется, один из первых отечественных катехизисов составлен генералиссимусом Суворовым. «Военный катехизис», или «Наука побеждать».
Мы решили принять такую форму изложения не от хорошей жизни.
Многолетние и, увы, не всегда радостные беседы со студентами, привели авторов к заключению, что некий «катехизис» по математике был
бы весьма невреден. Бесспорно, «катехизис» — это школярство. Но кто
доказал, что школярство столь уж зловредно. Нормальный средний студент вполне может несколько растеряться, прослушав обширный и прекрасный комплекс математических курсов физтеха. А главное — он просто не в состоянии оценить, какие именно разделы математики будут
необходимы при изучении той или иной прикладной дисциплины. Цель
нашего «катехизиса» — отметить и напомнить необходимый для работы
(изучения) теоретической физики математический аппарат. Безусловно,
мы не стремимся к какой-либо полноте или математической строгости.
И математики, наверное, найдут здесь массу неточностей, нестрогих, а,
может быть, и прямо неверных с точки зрения высокой науки формулировок. И они будут правы. Но и мы правы. Кому-то из математиков
принадлежит эффектное замечание: Вейерштрасс и Кантор извлекли душу Ньютона и Лейбница из адского огня через полтораста лет, а Шварц
спас Дирака еще при жизни. Как, конечно, ясно просвещенным читателям, имеется в виду строгое обоснование анализа и математическое
оправдание использование δ-функции — теория обобщенных функций.

Предисловие
7

Авторы данной брошюры, находясь в трезвом уме и ясной памяти, обрекают себя на пребывание в математическом аду ради облегчения жизни юного поколения физиков. Более того, мы позволили себе
несколько вольный стиль с тем, чтобы подчеркнуть: «Не так страшен
чёрт. . . » и т. д. В заключение позвольте в педагогических целях процитировать «катехизис» А. В. Суворова:
«За ученого трех неученых дают. Нам мало трех! Давай нам шесть!
Давай нам десять на одного! Всех побъем, повалим и в полон возьмем! . . . — вот, братцы! воинское обучение! Господа офицеры! Какой
возторг!»
Итак, «катехизис».

Г Л А В А
1

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

1.1.
ВВЕДЕНИЕ

Аксиоматический метод в математике впервые (насколько
нам известно) был сформулирован Евклидом в его «Началах» [1]. «Начала» произвели такое исключительное впечатление и на современников
и на последующие поколения математиков (да и вообще всех ученых),
что более двадцати столетий полагались непревзойденным образцом аксиоматического метода.
О самом Евклиде нам известно очень мало. Мы знаем только, что
жил и работал он при Птолемее I около 300 г. до н. э. в Александрии, что
он автор еще нескольких книг (самые интересные потеряны в веках), да
еще два анекдота, где Евклид выступает как благородный независимый
ученый. Будем верить, что он таков и был. А «Начала», повторимся,
вызывали восторженное восхищение арабов, средневековых европейских
философов, математиков, физиков более двух тысяч лет, в частности,
Ньютона и Эйнштейна.
Итак, аксиоматический метод. Его принципиальная схема внешне
выглядит весьма простой. Доказать какую-либо теорему в некоторой
дедуктивной системе — значит установить, что эта теорема есть необходимое логическое следствие тех или иных ранее доказанных теорем
(предложений). Последние, в свою очередь, должны быть доказаны и
т. д. Математическое обоснование таким образом сводилось бы к невыполнимой задаче бесконечного спуска, если не остановиться в какомлибо месте. Но тогда должно существовать некоторое число утверждений — аксиом или постулатов, которые принимаются истинными без
какого-либо доказательства. В этом смысле аксиомы можно сравнить с

1.1. Введение
9

воинским уставом, либо с догматами какой-либо религии. Но далее все
оказывается существенно сложней.
Во-первых, аксиомы должны быть достаточно просты, и их должно
быть не слишком много. Иначе от них просто мало пользы.
Во-вторых, система должна быть непротиворечивой, т. е. никакие две
теоремы, выведенные на основе аксиом, не должны содержать взаимных
противоречий.
В-третьих, система аксиом должна быть полной, т. е. любая теорема
в данной области может быть выведена либо опровергнута на основе
аксиом.
Наконец, система должна быть независимой, т. е. ни одна из аксиом
не может быть логическим следствием остальных.
Но и это еще не все. Любая дедуктивная математическая система
оперирует с некоторыми объектами (например, в геометрии — треугольники, правильные многогранники и т. д.) Эти объекты определяются
через другие «более простые» и т. д. Как и в случае аксиом, мы неизбежно приходим к тому, что некоторые понятия (объекты) должны быть
приняты за основные — неопределимые. Как говорят в математике: «Мы
не определяем эти понятия, а только называем».
Связь этих «основных» объектов с объектами реального мира для
формальной математической схемы несущественна. Они принимаются
чисто абстрактно и их математические свойства всецело вытекают из тех
соотношений между ними, которые утверждаются в аксиомах. В геометрии Евклида, например, основные понятия — точка, прямая, принадлежать, между и т. д.
Если мы хотим, чтобы геометрия была применима к описанию физической реальности, мы должны выбрать такие аксиомы и основные понятия, чтобы они находились в согласии с доступными физической проверке (опытом) утверждениями относительно реальных («осязаемых»)
предметов.
В ином случае дедуктивная схема («математика») останется красивой,
но абстрактной игрой ума. Наиболее яркий пример — шахматы.
Подведем итоги. Дедуктивная (аксиоматическая) система изложения
сводится:
— к перечислению основных понятий;
— формулировке определений;
— формулировке аксиом;
— формулировке теорем;
— доказательству теорем.
Создание аксиоматического метода бесспорно можно считать одним
из величайших достижений человеческой мысли.

Глава 1. Аксиоматический метод

Насколько мы знаем, аксиоматический метод создавался в греческой
цивилизации в продолжение нескольких столетий многими поколениями ученых: философов, астрономов, геометров.
Первым принято считать Фалеса Милетского (VII в. до н. э.), далее
Пифагора (VI в. до н.э.), Демокрита (V в. до н.э.), Платона (IV в. до н.э.),
Аристотеля (IV в. до н. э.), Евдокса и Теэтета (IV в. до н. э.) и многих,
многих других.
Однако работы этих замечательных ученых, где последовательно формулировался аксиоматический метод, либо полностью утеряны, либо дошли до нас в виде позднейших отрывков.
Нам еще повезло, что «Начала» сохранились полностью. Причем в
этом мы должны в большой мере благодарить арабскую цивилизацию.
Когда в эпоху раннего средневековья в Европе наука находилась, мягко говоря, в полудиком состоянии, на Востоке знали, чтили и изучали
Евклида.
Можно вспомнить, например, прекрасного астронома, математика,
философа Омара Хайама (1048–1131), который большинству известен
только как поэт.

1.2.
«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА

Итак, «Начала».
Замечательный немецкий математик Феликс Клейн в самом начале
двадцатого века провел полный и критический анализ «Начал» [2].
Но это был двадцатый век. Уже лет 70 как была создана неевклидова геометрия Лобачевского–Бояи. Более того, математики привыкли
и приняли революционные идеи Римана, полностью переворачивающие
наши представления о геометрии мира.
А через тридцать лет обнаружили, что и Клейн отнюдь не выяснил
все в аксиоматике1). Но сейчас — «Начала».
И последуем Клейну.
«Начала» должны были дать лишь введение в изучение геометрии —
и вместе с тем и математики вообще — и при этом они были по-видимо
1) Курт Гёдель доказал в 1931 г. поразительную теорему: «В любой достаточно богатой дедуктивной системе есть утверждения (теоремы), которые нельзя
доказать и нельзя опровергнуть» (Теорема Гёделя о неполноте). Что означают слова «достаточно богатая система», мы разбирать не будем. И отошлем
любознательных читателей к популярной книге В. А. Успенского [3]. Книга эта
хороша, но непроста. Сам предмет обсуждения, математическая логика и теория
алгоритмов, весьма тяжел для не-специалистов математиков.