Справочник по математике: основные понятия и формулы

2-е издание,
переработанное и дополненное

УДК 51(035.5)(075.3)
ББК 22.1я721
 
М12
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги 
или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.
Майсеня, Л. И.
М12  
Справочник по математике : основные понятия и формулы / Л. И. Майсеня. – 2-е изд., перераб. и доп. – Минск : 
Выш. шк., 2012. – 399 c. : ил.
ISBN 978-985-06-2035-4.
Приводятся основные понятия и формулы курсов элементарной и 
высшей математики. Материал систематизирован в соответствии с логикой предметов.
Предыдущее издание вышло в 2008 г.
Для учащихся общеобразовательных и средних специальных учебных заведений. Книга будет полезна при подготовке к вступительным 
экзаменам, а также к централизованному тестированию. Может быть использована студентами вузов.
УДК 51(035.5)(075.3)
ББК 22.1я721
ISBN 978-985-06-2035-4 
© Майсеня Л.И., 2008
 
© Майсеня Л.И., 2012, с изменениями
 
© Издательство “Вышэйшая, школа”, 2012

ПРЕДИСЛОВИЕ
Справочное пособие содержит материал курсов элементарной математики, традиционно изучаемой в средней школе, и высшей математики, 
изучаемой в колледжах и университетах. Комплексное представление 
информации из этих математических дисцип 
лин является особенностью 
данного издания, что создает возможность долгосрочного его использования на образовательном пути школа – колледж – университет.
Изложение материала начинается с базовых понятий – множества, 
высказывания и операций над ними, а также методов доказательства теорем. Этот материал является фундаментом для усвоения логики математической теории.
Основные понятия и формулы элементарной математики приведены в объеме ее углубленного изучения в школах, гимназиях, лицеях и 
колледжах, а высшей математики – в объеме, определенном программой 
изучения данной дисциплины в колледжах и университетах технического 
профиля.
Поскольку основные понятия и формулы математики представлены 
достаточно полно и систематизированно, а вместе с ними в книге содержится описание основных методов решения уравнений и неравенств различных типов, то предлагаемое пособие может быть использовано при 
подготовке к вступительным экзаменам в колледж, а также к централизованному тестированию по математике.
В пособии широко используются иллюстрации, поясняющие математические понятия, утверждения, методы решения и т.д. В ряде случаев 
теоретический материал сопровождается решением типовых примеров.
Первое издание книги, вышедшее в 2008 г., подверглось значительной переработке. Материал дополнен определениями и формулами, внесен ряд уточнений, учтены пожелания читателей.
Данное справочное пособие будет полезно широкому кругу учащейся 
молодежи и всем тем, кто интересуется математикой.
Все отзывы и предложения просьба направлять по адресу: 220048, 
Минск, проспект Победителей, 11, издательство «Вышэйшая школа».
Автор

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНА
ЧЕНИЯ
 
= – равно
 
≠ – не равно
 
≈ – приближенно равно
 
> – больше
 
< – меньше
 
≥ – больше или равно
 
≤ – меньше или равно
 
 ! – факториал
 
 – дуга
 
∠ – угол
 
⊥ – перпендикуляр
 
∾ – знак подобия
 
∼ – знак эквивалентности
 
° – градус
 
′ – минута
 
″ – секунда
 
∞ – бесконечность
 
∑ – сумма
 
≡ – тождественно равно
 
N  – множество натуральных чисел
 
Z  – множество целых чисел
 
Q  – множество рациональных чисел
 
I  – множество иррациональных чисел
 
R  – множество действительных чисел
 
C  – множество комплексных чисел
 
∈ – знак принадлежности элемента
 
⊂ – знак включения множества
 
⊆ – знак включения или равенства множеств
 
 – знак объединения множеств
 
 – знак пересечения множеств
 
\ – знак разности множеств
 
∀ – для всякого
 
a  – модуль (абсолютная величина) числа а
 
const  – постоянная
 
НОД (a, b) – наибольший общий делитель чисел a, b
 
НОК (a, b) – наименьшее общее кратное чисел a, b
 
ОДЗ – область допустимых значений
 
k = 1, n – k принимает значения 1, 2, ..., n
4

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
1.1. Множества
Р и с. 1.1
Основные понятия. Множество, элемент множества – понятия первичные. Под множеством понимают совокупность 
(группу, набор) элементов, объединенных общим свойством.
Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, B, X, … . Если элемент а принадлежит множеству А
(является его элементом), пишут: a
A
∈
. Если b не принадлежит множеству А, то пишут: b
A
∉
. 
Конечное множество – это множество с конечным количеством элементов.
Пустое множество (∅) – это множество, которому не принадлежит ни один элемент.
Бесконечное множество – это множество, которое не является ни конечным, ни пустым.
С п о с о б ы  з а д а н и я  м н о ж е с т в:
1) запись элементов множества в фигурных скобках, например 
{ , , , }
A
a b c d
=
;
2) задание общей характеристики свойств элементов множества, например 
 
{ |
[ 1, 2]}
B
x x
=
∈−
.
Множества изображают диаграммами Эйлера – Венна 
(рис.1.1).
Два множества А и В называются равными (пишут: A
B
=
), 
если каждый элемент множества А принадлежит множеству В и каждый элемент 
множества В принадлежит множеству А.
Множество А называется подмножеством множества В (или множество А 
включено в множество В), если каждый 
элемент множества А является элементом 
множества В (пишут: A
B
⊂
). Определенная таким образом зависимость между 
мно 
жествами 
называется 
включением 
(рис. 1.2).
Для всякого множества А выполняется 
∅
A
⊂
 и A
A
⊂
.
Р и с. 1.2
5

Р и с. 1.3
Р и с. 1.4
Р и с. 1.5
Р и с. 1.6
Если A
B
⊂
 и A
B
≠
, то А называется собственным подмножеством множества В.
Если A
B
⊂
 или A
B
=
, то пишут: A
B
⊆
.
Операции над множествами. Объединением множеств А, 
В называется множество 
 
 
A B

, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат или множеству А, или множеству В 
(рис. 1.3).
Элемент 
 
 
a
A B
∈
 тогда и только тогда, когда он принадлежит хотя бы одному из множеств А, В.
Пересечением множеств А, В называется множество 
  
A
B

, 
состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В (рис. 1.4). Пересечение – это общая 
часть множеств (совокупность их общих элементов).
Операции объединения и пересечения множеств распространяются на 
любое количество множеств.
Непересекающиеся множества – 
это множества, не имеющие ни одного 
общего элемента.
Разностью множеств А, В называется множество 
\
A B, состоящее из 
всех тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат 
множеству В (рис. 1.5).
Если A
U
⊆
, то дополнением множества А до множества U называется 
множество 
\
A
U
A
=
 (рис. 1.6). Дополнение обозначают также A′.
C в о й с т в а  
о п е р а ц и й  
н а д 
м н о ж е с т в а м и:
1) если A
B
⊂
 и B
C
⊂
, то A
C
⊂
;
2) если A
B
⊂
 и B
A
⊂
, то A
B
=
;
3) 
 
 
A A
A
=

,  
 
 
A A
A
=

;
4) 
 
 
A
A
∅=

,  
 
 
A ∅= ∅

;
5) 
\
A A = ∅,  
\
A
A
∅=
;
6) 
 
 
 
 
A B
B
A
=

 – коммутативность 
объединения;
7) 
 
 
 
 
A B
B
A
=

 – коммутативность 
пересечения;
6

8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
)
(
)
=
A B
C
A
B
C




 – ассоциативность объединения;
9) 
 
 
(
)
A B

 
 
 
 
 
 
(
)
=
C
A
B
C



 – ассоциативность пересечения;
10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
)
(
)
(
)
=
A
B
C
A B
A C





 – дистрибутивность пересечения относительно объединения;
11) 
 
 
 
 
 
 
 
(
)
(
)
=
A
B
C
A B



 
 
 
(
)
A C

 – дистрибутивность объединения относительно пересечения;
12) 
 
 
 
 
 
 
(
\
)
(
) \ (
)
=
A
B C
A B
A C



 – дистрибутивность пересечения относительно разности.
Принцип двойственности (законы де Моргана):
 
 
 
 
 
 
 
 
(
)
,  
(
)
.
=
=
A B
A
B
A B
A
B




Пусть множества A и B содержат конечное количество элементов. Если 
( )
m A  – количество элементов множества A, 
( )
m B  – 
количество элементов множества B, то справедлива формула
 
 
 
 
(
)
( )
( )
(
)
m A B
m A
m B
m A B
=
+
−


.
1.2. Высказывания
Т а б л и ц а  1.1
A
A
И
Л
Л
И
Под высказыванием (простым высказыванием) понимают 
утверждение (повествовательное предложение), в отношении 
которого можно сказать, истинно оно или ложно (но не то и 
другое вместе).
Высказывания обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, … , их значения истина и ложь – соответственно «И», «Л». Сложные высказывания получают из 
простых с помощью логических операций, к которым относятся отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность (эквиваленция).
Если А – высказывание, то отрицание высказывания А 
определяется как такое высказывание, которое истинно тогда и 
только тогда, когда высказывание А ложно. Отрицание высказывания А обозначается A  (или 
A
¬ ) и читается: «не А».
Истинность или ложность операции отрицания выражает 
истинностная таблица 1.1.
Конъюнкцией двух высказываний называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба составляющих ее 
высказывания истинны. Если А, В − высказывания, то их конъюнкция обозначается A
B
∧
7

Т а б л и ц а  1.2
A
B
∧
A
B
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
Т а б л и ц а  1.3
A
B 
∨
A
B
И
И
И
Л
И
И
И
Л
И
Л
Л
Л
Т а б л и ц а  1.4
A
B
⇒
A
B
И
И
И
Л
И
И
И
Л
Л
Л
Л
И
Т а б л и ц а  1.5
A
B
⇔
A
B
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
(или А & B) и читается: «А и В». Конъюнкции соответствует истинностная таблица 1.2.
Дизъюнкцией двух высказываний называется такое высказывание, которое ложно 
тогда и только тогда, когда оба составляющих ее высказывания ложны. Если А, В − 
два высказывания, то их дизъюнкция обозначается A
B
∨
 и читается: «А или В». Союз 
«или» здесь используется в соединительном, а не в разделительном смысле, т.е. для 
истинности высказывания A
B
∨
 допускается также случай истинности обоих высказываний А, В. Операции дизъюнкции соответствует истинностная таблица 1.3.
Импликация высказываний А, В определяется как такое высказывание, которое 
ложно тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, а В ложно. Импликация 
двух высказываний А, В обозначается A
B
⇒
 
и читается: «если А, то В». Высказывание А 
называется посылкой импликации, а В − заключением. Импликации соответствует истинностная таблица 1.4.
Эквивалентность двух высказываний А, 
В определяется как высказывание, которое 
истинно тогда и только тогда, когда высказывания А, В оба истинны или оба ложны. 
Эквивалентность двух высказываний обозначается A
B
⇔
 и читается: «А тогда и 
только тогда, когда В» («если А, то В, и если 
В, то А», «А есть необходимое и достаточное условие для В»). 
Значения эквивалентности определены в истинностной таблице 1.5.
Если теорема сформулирована в виде A
B
⇒
, то она называется признаком или достаточным условием для B, где А, В – 
некоторые высказывания.
Теорема типа B
A
⇒
 называется обратной к теореме A
B
⇒
.
Если теорема имеет вид A
B
⇔
, то она называется критерием или необходимым и достаточным условием для B. Теорема 
такого типа объединяет прямую и обратную теоремы.
Теорема типа 
⇒
B
A называется противоположной к обратной теореме.
8

Высказывание A
B
⇒
 истинно тогда и только тогда, когда 
истинно высказывание B
A
⇒
. На этом факте основан метод 
доказательства от противного.
Системой двух утверждений A, B называется утверждение
«A и B», которое записывают с помощью фигурной скобки: 
,
.
A
B
⎧
⎨
⎩
Совокупностью двух утверждений A, B называется утверждение «A или B», которое записывают с помощью квадратной
скобки: 
,
.
A
B
⎡
⎢
⎣
Можно рассматривать системы и совокупности трех (и более) утверждений, а также совокупности систем или системы 
совокупностей утверждений. В качестве утверждений могут 
быть уравнения, неравенства и т.д.

ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
2.1. Множество натуральных чисел
Основные понятия. Множество натуральных чисел обозначается N:
{1, 2, 3,...}
=
N
.
Формула четных чисел: 2n  (
)
n∈N .
Формула нечетных чисел: 2
1
n −  (
)
n∈N .
На множестве натуральных чисел определены действия 
сложения и умножения. Результат остальных основных арифметических действий над натуральными числами (вычитание 
и деление) может не быть натуральным числом.
Ко м п о н е н т ы  д е й с т в и й:
a
b
+  называется суммой, a, b – слагаемыми;
a b
⋅ называется произведением, a, b – множителями или сомножителями (произведение обозначают также ab и a
b
× ).
С в о й с т в а  о п е р а ц и й  с л о ж е н и я  и  у м н о ж е н и я. 
Пусть ,
a b∈N. Тогда:
1) a
b
b
a
+
=
+  – переместительный закон сложения (коммутативность сложения);
2) ab
ba
=
 – переместительный закон умножения (коммутативность умножения);
3) 
(
)
(
)
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+  – сочетательный закон сложения 
(ассоциативность сложения);
4) (
)
(
)
=
a bc
ab c – сочетательный закон умножения (ассоциативность умножения);
5) (
)
a b
c
ab
ac
+
=
+
 – распределительный закон (дистрибутивность).
Формула деления числа а на число b:
 
 
 
a
r
c
a
bc
r
b
b
=
+
=
+

, 
(2.1)
где a – делимое; b – делитель; k – частное; r – остаток; 
,
,
a b c∈N, 
0,1,...
r =
 .
10