Об одной негрубой динамической системе на торе T^n
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Основы высшей математики
Издательство:
Удмуртский Государственный университет
Автор:
Аслонов Ж. О.
Год издания: 2008
Кол-во страниц: 3
Дополнительно
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА 2008. Вып. 2 УДК 517.934 c ⃝Æ. Î. Àñëîíîâ ОБ ОДНОЙ НЕГРУБОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ НА ТОРЕ T n На двумерном торе построена негрубая динамическая система. Ключевые слова: динамическая система, векторное поле, тор. Пусть M гладкое (класса Cr+1) связное компактное многообразие размерности n, V r(M) множество Cr-векторных полей, снабженное Crтопологией. О п р е д е л е н и е 1 (см. [1] ). Векторные поля X, Y ∈V r(M) называются (Cr-эквивалентными) топологически эквивалентными, если существует (Cr-диффеоморфизм) гомеоморфизм h : M →M, который переводит траектории поля X в траектории поля Y, сохраняя их ориентации: последнее условие означает, что если p ∈M и δ > 0, то существует такое ε > 0, что если 0 < t < δ, то h(Xt(p)) = Yt′(h(p)) для некоторого t′ ∈(0, ε). В дальнейшем h будем называть топологической эквивалентностью между X и Y . О п р е д е л е н и е 2. Векторное поле X ∈V r(M) называется грубым, если существует такая окрестность V поля X в V r(M), что любое Y ∈V топологически эквивалентно полю X. Пусть X = {a, b} постоянное векторное поле на R2(u, v). Векторное поле X можно рассмотреть на торе T 2, так как его координаты являются периодическими. Тогда интегральные кривые векторного поля на T 2 являются образами интегральных кривых векторного поля в R2(u, v) при факторизации. О п р е д е л е н и е 3. Числа a и b называются рационально независимыми, если из ka + mb = 0 с целыми k и m следует k = m = 0. Если числа a и b рационально независимы, то каждая интегральная кривая поля X является всюду плотной на торе T 2. В этом случае поле X называется иррациональной обмоткой. Известно, что иррациональная обмотка на двумерном торе не является грубой [1].