Об одной негрубой динамической системе на торе T^n


ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА



2008. Вып.2

УДК 517.934

° Ж. О. Асланов




                ОБ ОДНОЙ НЕГРУБОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ НА ТОРЕ Tⁿ




На двумерном торе построена негрубая динамическая система.
Ключевые слова: динамическая система, векторное поле, тор.

   Пусть M — гладкое (класса Cr+¹) связное компактное многообразие размерности n, Vr (M) — мно жество C г-векторных пол ей, снабженное Cг-топологией.
  Определение 1 (см. [1]). Векторные поля X, Y е Vr (M) называются (C^эквивалентными) топологически эквивалентными, если существует (Cг-диффеоморфизм) гомеоморфизм h : M ^ M, который переводит траектории поля X в траектории поля Y, сохраняя их ориентации: последнее условие означает, что если p е M и д > 0, то существует такое е > 0, что если 0 < t < д, то h(Xₜ(p)) = Yₜo(h(p)) для некоторого t⁰ е (0,е).
   В дальнейшем h будем называть топологической эквивалентностью между X и Y.

  Определение 2. Векторное поле X е Vr(M) называется грубым, если существует такая окрестность V поля X в Vr (M), что любое Y е V топологически эквивалентно полю X.

   Пусть X = {a, b} — постоянное векторное поле на R²(u,v). Векторное поле X можно рассмотреть на торе T², так как его координаты являются периодическими. Тогда интегральные кривые векторного поля на T² являются образами интегральных кривых векторного поля в R²(u,v) при факторизации.

  Определение 3. Числа а и b называются рационально независимыми, если из ка + mb = 0 с целыми кит следует k = т = 0.

Если числа а и b рационально независимы, то каждая интегральная кривая поля X является всюду плотной на торе T². В этом случае поле X называется иррациональной обмоткой.
   Известно, что иррациональная обмотка на двумерном торе не является грубой [1].