О НЕОСЦИЛЛЯЦИИ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНОЙ СИСТЕМЫ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.929.2
c
⃝А. А. Айзикович
О НЕОСЦИЛЛЯЦИИ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНОЙ СИСТЕМЫ
На примере системы второго порядка показан вариант обобщения понятия неосцилляции решений скалярных разностных уравнений. Приведен критерий неосцилляции, основанный на пробных функциях.
Ключевые слова: линейные разностные уравнения и системы, квазинуль, неосцилляция решений, критерии неосцилляции.
Действительная матрица A(t) = (aij(t))2
1 называется допустимой на
множестве gM−1 = [0, M −1] ∩N0, если при t ∈gM−1 выполнены условия
a12(t) > 0, det A(t) > 0. Пусть, далее, A(t)  допустимая матрица. Тогда
любое решение x(t) = col(x1(t), x2(t)) системы
x(t + 1) = A(t)x(t)
(1)
определяется своей первой компонентой x1(t).
Систему (1) назовем неосцилляционной (по первой компоненте) на
множестве gM, если не сущеcтвует нетривиального решения системы (1),
первая компонента которого имеет более одного квазинуля [1] на gM. Наконец, векторная функция u = col(u1, u2)  пробная для (1) на gM, если
1) u1(t) > 0, t ∈gM; 2) u удовлетворяет первому уравнению (1);
3) u2(t + 1) −a21(t)u1(t) −a22(t)u2(t) ⩽0 на gM.
Теорема 1. Пусть для системы (1) существует пробная функция. Тогда система (1) неосцилляционна на множестве gM.
Д о к а з а т е л ь с т в о распадается на доказательство ряда утверждений.
1. Пусть u1  пробная функция для системы (1), которая преобразована в
y(t + 1) = B(t)y(t)
(2)
заменой переменных y = T(t)x, T =
µ
1/u1
1
0
u2
1/u1
1
−1
¶
. Тогда bii > 0, bij ⩽0
для i ̸= j, i, j = 1, 2.
2. Пусть V (t) = diag
³Qt−1
s=0(−b11(s)), Qt−1
s=0(−b22(s))
´
 диагональная
матрица, и пусть (2) преобразовано к системе z(t + 1) = C(t)z(t) с помощью замены переменных z = V y. Тогда существует решение этой системы
со свойством zk
0(t)(−1)t > 0, k = 1, 2 на gM.