О почти периодических по Безиковичу сечениях многозначных отображений

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2008. №1

УДК 517.518.6

Л. И. Данилов

О ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО БЕЗИКОВИЧУ
СЕЧЕНИЯХ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Доказано, что почти периодические по Безиковичу многозначные отображения
R ∋ t → F(t) ∈ cl U имеют почти периодические по Безиковичу сечения, где
cl U — множество непустых замкнутых подмножеств полного метрического пространства U.

Ключевые слова: почти периодические функции, сечения, многозначные отображения.

Введение

При исследовании почти периодических (п.п.) решений дифференциальных включений возникает вопрос о существовании п.п. сечений многозначных п.п. отображений. В [1, 2] был, в частности, поставлен вопрос о
существовании п.п. по Вейлю и п.п. по Безиковичу сечений многозначных
п.п. отображений. Известно, что п.п. по Бору многозначные отображения
не всегда имеют п.п. по Бору сечения [3]. Существование п.п. по Степанову сечений многозначных п.п. по Степанову отображений было впервые
доказано в [4] на основе результатов Фришковского [5]. В [6–9] исследовались п.п. по Степанову сечения, удовлетворяющие разнообразным дополнительным условиям. Существование п.п. по Вейлю сечений многозначных
п.п. по Вейлю отображений доказано в [10–12].
В § 1 даны определения и сформулированы некоторые утверждения о
п.п. по Безиковичу функциях, которые необходимы в дальнейшем (относительно определений и свойств п.п. функций см., например, [13, 14]). В
§ 2 приведены основные результаты работы. В § 3 и § 4 содержатся доказательства соответственно теорем 1 и 8.

§ 1. Некоторые свойства почти периодических по Безиковичу
функций

Пусть (U, ρ) — полное метрическое пространство, A — замыкание
множества A ⊆ U, Ur(x) = {y ∈ U : ρ(x, y) < r}, x ∈ U, r > 0; meas —

Л. И. Данилов

МАТЕМАТИКА
2008. №1

мера Лебега на R. Функция f : R → U называется элементарной, если существуют точки xj ∈ U и непересекающиеся измеримые (по Лебегу) множества Tj ⊆ R, j ∈ N такие, что meas R\ j
Tj = 0 и f(t) = xj для всех

t ∈ Tj . Обозначим такую функцию через f(.) = j
xjχTj(.) (где χT (.) —

характеристическая функция множества T ⊆ R ). Для любых функций
fj : R → U, j ∈ N определим функцию j
fj(.)χTj(.) : R → U, совпадаю
щую с функцией fj(.) на множестве Tj , j ∈ N (обозначение j
fj(.)χTj(.)

будет использоваться не только в случае, когда пространство U = (H, ∥.∥)
нормированное, но и в случае метрического пространства U = (U, ρ) , однако никаких линейных операций над такими функциями производиться
не будет). Функция f : R → U (сильно) измерима, если для любого ε > 0
существует элементарная функция fε : R → U такая, что

ess sup
t∈R
ρ(f(t), fε(t)) < ε .

Пусть M(R, U) — пространство измеримых функций f : R → U
(функции, совпадающие при почти всех (п.в.) t ∈ R, отождествляются),
(L∞(R, U), D∞) — пространство в существенном ограниченных функций
из M(R, U) с метрикой

D∞(f, g) = ess sup
t∈R
ρ(f(t), g(t)) , f, g ∈ L∞(R, U) .

Фиксируем точку x0 ∈ U. Для p ⩾ 1 обозначим

Mp(R, U) .= {f ∈ M(R, U) : sup
ξ∈R

ξ+1

ξ
ρ p(f(t), x0) dt < +∞} .

На множестве Mp(R, U) определим метрику

D(S)
p (f, g) =
sup
ξ∈R

ξ+1

ξ
ρ p(f(t), g(t)) dt
1/p
, f, g ∈ Mp(R, U) .

Если U = (H, ∥.∥) — банахово пространство ( ρ(x, y) = ∥x − y∥, x, y ∈
H; ∥x∥ = |x|, если x ∈ R ), то через

∥f∥∞ = ess sup
t∈R
∥f(t)∥ , f ∈ L∞(R, H)

и

∥f∥(S)
p
=
sup
ξ∈R

ξ+1

ξ
∥f(t)∥pdt
1/p
, f ∈ Mp(R, H)

О почти периодических по Безиковичу сечениях
99

МАТЕМАТИКА
2008. №1

обозначим нормы на линейных пространствах L∞(R, H) и Mp(R, H),
p ⩾ 1, соответственно.
В дальнейшем (без пояснений) будет использоваться обозначение H
для банахова пространства, при этом удобно будет считать банахово пространство H = (H, ∥.∥) комплексным. Если банахово пространство H вещественное, то можно рассмотреть его комплексификацию H +iH , отождествляя пространство H с вещественным подпространством.
Множество T ⊆ R называется относительно плотным, если существует число a > 0 такое, что [ξ, ξ + a] ∩ T ̸= ∅ для всех ξ ∈ R. Число
τ ∈ R называется (ε, D∞) -почти периодом функции f ∈ L∞(R, U), где
ε > 0, если D∞(f(.), f(. + τ)) < ε. Непрерывная функция f ∈ C(R, U) ∩
L∞(R, U) принадлежит пространству CAP (R, U) п.п. по Бору функций,
если для любого ε > 0 множество (ε, D∞) -почти периодов функции f
относительно плотно. Число τ ∈ R называется (ε, D(S)
p ) -почти периодом
функции f ∈ Mp(R, U), p ⩾ 1, если D(S)
p (f(.), f(.+τ)) < ε. Функция f ∈
Mp(R, U), p ⩾ 1 принадлежит пространству Sp(R, U) п.п. по Степанову
функций степени p ⩾ 1, если для любого ε > 0 относительно плотно
множество (ε, D(S)
p ) -почти периодов функции f .
На пространстве U определим также метрику ρ ′(x, y) = min {1, ρ(x, y)},
x, y ∈ U;
(U, ρ ′) — полное метрическое пространство. На множестве
M(R, U) = M1(R, (U, ρ ′)) введем метрику

D(S)(f, g) = sup
ξ∈R

ξ+1

ξ
ρ ′(f(t), g(t)) dt , f, g ∈ M(R, U) .

Пусть S(R, U) .= S1(R, (U, ρ ′)) (п.п. по Степанову функция f ∈ S(R, U)
определяется как п.п. по Степанову функция степени 1, принимающая
значения в метрическом пространстве (U, ρ ′) ). Справедливы вложения
CAP (R, U) ⊆ Sp(R, U) ⊆ S1(R, U) ⊆ S(R, U).
Последовательность τj ∈ R, j ∈ N называется f -возвращающей для
функции f ∈ S(R, U), если D(S)(f(.), f(. + τj)) → 0 при j → +∞. Если
f ∈ CAP (R, U) ⊆ S(R, U), то последовательность τj ∈ R, j ∈ N является
f -возвращающей тогда и только тогда, когда D∞(f(.), f(. + τj)) → 0 при
j → +∞. Если f ∈ Sp(R, U) ⊆ S(R, U), p ⩾ 1, то последовательность
τj ∈ R, j ∈ N является f -возвращающей в том и только в том случае,
если D(S)
p (f(.), f(. + τj)) → 0 при j → +∞.
Для функций f ∈ S(R, U) через Mod f обозначается множество чисел λ ∈ R таких, что e iλτj → 1 ( i2 = −1 ) при j → +∞ для всех
f -возвращающих последовательностей τj . Множество Mod f является
модулем (аддитивной группой) в R. Если функция f ∈ S(R, U) не совпадает почти всюду (п.в.) с постоянной функцией, то Mod f — счетный