Абсолютная непрерывность спектра оператора Дирака

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2008. №1

УДК 517.958+517.984.56

Л. И. Данилов

АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ СПЕКТРА
МНОГОМЕРНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО МАГНИТНОГО
ОПЕРАТОРА ДИРАКА

Доказана абсолютная непрерывность спектра многомерного периодического оператора Дирака для некоторых классов разрывных магнитных потенциалов.

Ключевые слова: абсолютная непрерывность спектра, периодический потенциал,
оператор Дирака.

Введение

Пусть MM, M ∈ 2N, — линейное пространство комплексных (M ×
M) -матриц, SM
— множество эрмитовых матриц из MM , матрицы
αj ∈ SM
j = 1, . . . , n (n ⩾ 2) удовлетворяют антикоммутационным соотношениям αj αl + αlαj = 2δjlI, где I ∈ MM — единичная матрица, δjl –
символ Кронекера. Обозначим

S(s)
M = {L ∈ SM : Lαj = (−1)sαj L для всех j = 1, . . . , n} , s = 0, 1 .

Пусть

D = −i

n
j=1
αj
∂
∂xj
,

n
j=1
αj
−i ∂

∂xj
− Aj
+ V (0) + V (1) = D + V (0) + V (1) −

n
j=1
Aj αj
(0.1)

— n -мерные операторы Дирака, n ⩾ 2 (i2 = −1). Вещественнозначные
функции Aj (компоненты магнитного потенциала A : Rn → Rn ) и матричнозначные функции V (s) : Rn → S(s)
M , s = 0, 1 предполагаются периодическими с общей решеткой периодов Λ ⊂ Rn. В дальнейшем полагаем

V = V (0) + V (1) , W = V −

n
j=1
Aj αj .

Л. И. Данилов

МАТЕМАТИКА
2008. №1

Координаты векторов из Rn будем задавать относительно некоторого
ортогонального базиса {Ej} ( |Ej| = 1, Aj(x) = (A(x), Ej), x ∈ Rn, j =
1, . . . , n; |.| и (., .) — длина и скалярное произведение векторов из Rn ).
Через {Ej} и {E∗
j } обозначаются базисы решетки Λ ⊂ Rn и обратной
к ней решетки Λ∗, (Ej, E∗
l ) = δjl . Пусть K и K∗ — соответствующие
этим базисам элементарные ячейки решеток Λ и Λ∗, v(K) и v(K∗) —
их объемы.
Скалярные произведения и нормы в пространствах CM, L2(Rn; CM)
и L2(K; CM) вводятся обычным образом (как правило, без указания в
обозначениях самих пространств). Для матриц L ∈ MM положим

∥L∥ =
max
u ∈ CM : ∥u∥=1 ∥Lu∥ .

Нулевые и единичные матрицы и операторы в разных пространствах будут обозначаться через 0 и I соответственно (также без указания самих
пространств).
Пусть H1(Rn; CM) — класс Соболева (порядка 1) вектор-функций
ϕ : Rn → CM,
H1(K; CM) — множество вектор-функций ϕ : K → CM,
периодические продолжения которых (с решеткой периодов Λ ) принадлежат H1
loc(Rn; CM). В дальнейшем функции, определенные на элементарной ячейке K, будут также отождествляться с их периодическими продолжениями на все пространство Rn.
Оператор
D самосопряжен в пространстве L2(Rn; CM) и имеет область определения D( D) = H1(Rn; CM) ⊂ L2(Rn; CM). Пусть Ln(M, Λ; a),
где a ⩾ 0 — множество (измеримых) периодических с решеткой периодов
Λ ⊂ Rn матричнозначных функций W : Rn → SM , имеющих (относительную) грань a по отношению к оператору D. Множеству Ln(M, Λ; 0)
(при a = 0 ) принадлежат периодические с решеткой периодов Λ ⊂ Rn

матричнозначные функции W ∈ Ln(K; SM) при n ⩾ 3,
W ∈ Lp(K; SM)
при n = 2 и p > 2, а также функции W ∈ L2(K; SM) (при n ⩾ 2 ) такие, что для какого-либо вектора γ ∈ Λ\{0} функция Rn ∋ x → {[0, 1] ∋
t → W(x − tγ)} ∈ L2([0, 1]; SM) непрерывна (относительно последнего
утверждения см., например, [1]). Если W ∈ Ln(M, Λ; a) для некоторого a ∈ [0, 1), то
D + W — самосопряженный оператор в пространстве
L2(Rn; CM) с областью определения D( D + W) = D( D) = H1(Rn; CM)
[2, 3].
В последнее десятилетие резко возрос интерес к вопросу об абсолютной
непрерывности спектра периодических операторов математической физики (и, в частности, периодического оператора Дирака). Этому вопросу
посвящены обзорные статьи [4, 5]. Из результатов [6] вытекает, что для

Абсолютная непрерывность спектра оператора Дирака
63

МАТЕМАТИКА
2008. №1

доказательства абсолютной непрерывности спектра периодического оператора Дирака D+ W, где W ∈ Ln(M, Λ; a), a ∈ [0, 1), достаточно доказать
отсутствие в спектре собственных значений. Последнее также следует из
несколько более сильного утверждения (см. [7], а также [8]): сингулярный
спектр оператора D+ W пуст, а собственные значения, если они существуют, имеют бесконечную кратность и образуют дискретное множество.
Частным случаем оператора (0.1) является оператор D + V (0) + V (1) −
nj=1
Aj αj при

V (0) = V I , V (1) = mβ ,
(0.2)

где V — периодическая с решеткой периодов Λ ⊂ Rn вещественнозначная
функция (электрический потенциал), m ∈ R,
β ∈ S(1)
M
и β2 = I.
Абсолютная непрерывность спектра периодического оператора Дирака (0.1) была (при всех n ⩾ 2 ) впервые доказана в [9, 10, 11] для
матричнозначных функций V (s), s = 0, 1, вида (0.2), если V ∈ C(Rn),
A ∈ L∞(Rn; Rn) и

∥ |A| ∥L∞(Rn) <
max
γ ∈ Λ\{0}
π
|γ| .
(0.3)

Во многих последующих работах ослаблялись ограничения на функции
V = V (0)+ V (1) и A. Приведем некоторые (наиболее сильные) из полученных результатов (достаточно полные ссылки на литературу можно найти
в [12, 13]).
В [12] доказано отсутствие собственных значений в спектре обобщенного двумерного периодического оператора Дирака

−i

2
j=1
(hj1σ1 + hj2σ2) ∂

∂xj
+ W ,
(0.4)

где σl ,
l = 1, 2 — матрицы Паули, hjl ∈ L∞(R2; R),
j, l = 1, 2 и
W : R2 → M2 — периодические с решеткой периодов Λ ⊂ R2 функции, для которых 0 < ε ⩽ h11(x)h22(x) − h12(x)h21(x) при почти всех
(п.в.) x ∈ R2 и матричнозначная функция W имеет нулевую грань отно
сительно оператора D = −i
2j=1
αj
∂

∂xj . Оператор (0.4) не обязательно са
мосопряжен. Но в случае, когда он является самосопряженным, его спектр
абсолютно непрерывен.
В [1] доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (0.1) при
n ⩾ 2 в случае, когда матричнозначные функции V (s), s = 0, 1 имеют вид
(0.2), V ∈ L2(K), A ∈ L∞(Rn; Rn) и существует такой вектор γ ∈ Λ\{0},

Л. И. Данилов

МАТЕМАТИКА
2008. №1

что ∥ |A| ∥L∞(Rn) < π|γ|−1 и отображение

Rn ∋ x → {[0, 1] ∋ t → V (x − tγ)} ∈ L2([0, 1]; R)

непрерывно.
В [13] при n = 3 доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (0.1), если матричнозначные функции V (s), s = 0, 1 при некотором
δ > 0 принадлежат классу Зигмунда L3 ln2+δ L(K; SM), A ∈ L∞(R3; R3)
и выполнено условие (0.3).
Пусть Mh, h > 0 – множество борелевских четных знакопеременных
мер µ на R (с конечной полной вариацией), для которых
R
e iptdµ(t) = 1

при всех p ∈ (−h, h);

∥µ∥ =
sup
O∈B(R)
(|µ(O)| + |µ(R\O)|) < +∞ , µ ∈ Mh ,

где B(R) — множество борелевских подмножеств O ⊆ R. В [14] при n ⩾ 3
приведено доказательство абсолютной непрерывности спектра оператора
(0.1), если выполнены условия:
1) V (s) ∈ C(Rn; S(s)
M ), s = 0, 1;
2) A ∈ C(Rn; Rn) и существуют такие вектор γ ∈ Λ\{0} и мера µ ∈
Mh , h > 0, что для всех x ∈ Rn и всех единичных векторов e ∈ Rn :
(e, γ) = 0 справедливо неравенство
A0 −
R
dµ(t)
1

0
A(x − ξγ − te) dξ
< π

|γ| ,
(0.5)

где A0 = v−1(K)
K
A(x) d nx.

Для периодического (с решеткой периодов Λ ⊂ Rn ) магнитного потенциала A ∈ C(Rn; Rn), n ⩾ 3, условие (0.5) выполняется для некоторых
вектора γ ∈ Λ\{0} и меры µ ∈ Mh , h > 0, если магнитный потенциал A
принадлежит классу Соболева Hq
loc(Rn; Rn), 2q > n−2, а также в случае
N
|AN|Cn < +∞, где AN, N ∈ Λ∗ — коэффициенты Фурье функции A

[14, 15].
В более ранней статье [16] доказывалась абсолютная непрерывность
спектра оператора (0.1), если V (0) = V I,
V (1) = V1 β и V, V1 ∈ Lq(K),
A ∈ Lq(K; R2), q > 2 при n = 2, V, V1 ∈ C(Rn; R) и A ∈ C2n+3(Rn; Rn)
при n ⩾ 3.
В данной работе рассматривается периодический оператор Дирака
(0.1) при n ⩾ 3 в предположении, что для функций V (s),
s = 0, 1 и
A выполняются приводимые ниже условия (A), (B), (C), (D), (E) и (F).