Две нестационарные задачи преследования жестко скоординированых убегающих

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2008. №1

УДК 517.977

А. И. Благодатских

ДВЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ
ЖЕСТКО СКООРДИНИРОВАННЫХ УБЕГАЮЩИХ1

Для двух нестационарных задач группового преследования (обобщенного примера Л. С. Понтрягина [1] и колебательного конфликтно управляемого процесса) с
равными динамическими и инерционными возможноcтями всех участников получены достаточные условия поимки хотя бы одного убегающего, при условии
что убегающие используют одно и то же управление. Работа продолжает исследования [2–7].

Ключевые слова: дифференциальные игры, групповое преследование, поимка,
пример Понтрягина, колебательный конфликтно управляемый процесс.

§ 1. Групповое преследование жестко скоординированных
убегающих в примере Понтрягина

В пространстве Rν (ν ⩾ 2) рассматривается дифференциальная игра Γ
n + m лиц: n преследователей P1, P2, . . . , Pn и m убегающих
E1, E2, . . . , Em. Движение преследователя Pi описывается уравнением

x(l)
i
+ a1(t)x(l−1)
i
+ a2(t)x(l−2)
i
+ . . . + al(t)xi = ui,
ui ∈ V,
(1.1)

закон движения убегающего Ej имеет вид

y(l)
j
+ a1(t)y(l−1)
j
+ a2(t)y(l−2)
j
+ . . . + al(t)yj = v,
v ∈ V,
(1.2)

где xi, yj, ui, v ∈ Rν,
V
— строго выпуклый компакт в Rν с гладкой
границей такой, что Int V ̸= ∅, функции a1(t), a2(t), . . . , al(t) непрерывны
на [t0, ∞). В момент t = t0 заданы начальные условия

x(q)
i (t0) = Xq
i ,
y(q)
j (t0) = Y q
j ,
причем X0
i ̸= Y 0
j для всех i, j.
(1.3)

Здесь и далее i ∈ I = {1, 2, . . . , n}, j ∈ J = {1, 2, . . . , m}, q = 0, 1, . . . , l−1.

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06–01–00258).

А. И. Благодатских

МАТЕМАТИКА
2008. №1

Вместо (1.1), (1.2), (1.3) рассмотрим уравнение с начальными условиями (при t = t0 )

z(l)
ij + a1(t)z(l−1)
ij
+ a2(t)z(l−2)
ij
+ . . . + al(t)zij = ui − v,
ui, v ∈ V,
(1.4)

z(q)
ij (t0) = Zq
ij = Xq
i − Y q
j .
(1.5)

Управления из класса измеримых по Лебегу на [t0, ∞) функций со
значениями из V будем называть допустимыми.
О п р е д е л е н и е 1. В игре Γ возможна поимка, если существует
такой момент T0 = T0(Zq
ij), что для любого допустимого управления v(t)
найдутся допустимые управления

ui(t) = ui(t, Zq
ij, v(s), t0 ⩽ s ⩽ t)

такие, что для некоторых τ ∈ [t0, T0], α ∈ I и β ∈ J выполнено

zαβ(τ) = xα(τ) − yβ(τ) = 0.

Отметим, что действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который в каждый момент времени t для всех убегающих Ej выбирает одно и то же управление v(t).
Через ϕq(t, s) (t ⩾ s ⩾ t0) обозначим решение уравнения с начальными
условиями

ω(l) + a1(t)ω(l−1) + a2(t)ω(l−2) + . . . + al(t)ω = 0,

ω(s) = 0, . . . , ω(q−1)(s) = 0, ω(q)(s) = 1, ω(q+1)(s) = 0, . . . , ω(l−1)(s) = 0.

Пусть далее

ξij(t) = ϕ0(t, t0)Z0
ij + ϕ1(t, t0)Z1
ij + . . . + ϕl−1(t, t0)Zl−1
ij .

П р е д п о л о ж е н и е 1. Существуют непрерывные на [t0, ∞) функции αij(t) и ξ1
ij(t), обладающие следующими свойствами: 1) ξ1
ij(t) являются почти периодическими в смысле Бора [8]; 2) αij(t) > 0 для всех

t ⩾ t0; 3) lim
t→∞

ξ1
ij(t) − αij(t)ξij(t)
= 0.

Выражение «функция (определенная на [t0, ∞]) является почти периодической в смысле Бора» означает, что ее можно доопределить при t < t0
так, чтобы полученная функция стала почти периодической по Бору.