Квазиуровни двухчастичного оператора Шредингера с малым потенциалом

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2008. №1

УДК 517.958 : 513.145.6

Л. Е. Баранова, Ю. П. Чубурин

КВАЗИУРОВНИ ДВУХЧАСТИЧНОГО ДИСКРЕТНОГО
ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С МАЛЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Исследуются собственные значения и резонансы двухчастичного дискретного
оператора Шредингера с малым убывающим потенциалом.

Ключевые слова: дискретный оператор Шредингера, малый потенциал, собственное значение, квазиуровень.

Введение

Рассматривается дискретный оператор Шредингера H = H0 + V (n − m),
действующий в пространстве l2(Z2d), d ∈ N. Здесь H0 определяется для
ψ(n, m) ∈ l2(Z2d) формулой

(H0ψ)(n, m) =
|(n′,m′)−(n,m)|=1
ψ(n′, m′),
n, m, n′, m′ ∈ Z2d,

где

|(ν, µ)| =

d
j=1
(|νj| + |µj|),
ν, µ ∈ Zd

( ν = (ν1, . . . , νd) и так далее), а ненулевая вещественная функция V (n) ,
определенная на Zd ( V (n − m) — потенциал парного взаимодействия),
удовлетворяет оценке

|V (n)| ⩽ Ce−a|n|,
(0.1)

где C, a > 0. В случае потенциала с (малым) параметром ε > 0 используем обозначение Hε = H0 + εV (n − m).
Операторы подобного вида изучались ранее, в частности, исследовались свойства собственных значений и резонансов N -частичного дискретного оператора Шредингера в терминах некоторого «резольвентного» определителя Фредгольма [1], свойства собственных значений двухчастичного кластерного оператора [2]; получены результаты, относящиеся

Л. Е. Баранова, Ю. П. Чубурин

МАТЕМАТИКА
2008. №1

к собственным значениям двухчастичного оператора Шредингера на решетке для потенциалов нулевого радиуса действия [3]–[5].
В данной работе изучаются собственные значения и резонансы оператора Hε(k), полученного разложением Hε в соответствующем прямом
интеграле пространств ( k — квазиимпульс, см. об этом ниже).
Аналогичные результаты в непрерывном случае были получены в работах [6]–[8]. Заметим, что замене координат в непрерывном случае, выделяющей движение центра масс, в дискретном случае соответствует разложение оператора в прямом интеграле пространств.
Возможная область применения рассматриваемых в данной статье операторов — это, например, теория спиновых волн [9, 10].
Оператор H коммутирует с операторами сдвига в l2(Z2d) вида

ψ(n, m) → ψ(n + ν, m + ν), ν ∈ Zd,

поэтому его можно «послойно» разложить в прямом интеграле пространств [6]

⊕

Td l2(Zd)dk = l2(Zd) ⊗ L2(Td),

где Td = [−π, π)d — d -мерный тор. (Случай импульсного представления
см., например, в работе [1]). Действительно, введем в рассмотрение унитарный оператор

U : l2(Z2d) → l2(Z) ⊗ l2(Td),

(Uψ)(n, k) = (2π)−d/2 ν∈Zd
e−i⟨k,ν⟩ψ(n + ν, ν).

(через ⟨·, ·⟩ обозначено обычное скалярное произведение в R .) Величина
k ∈ Td называется квазиимпульсом. Далее будем пользоваться обозначениями ψ(n, k) = (Uψ)(n, k).
Найдем оператор UH0U−1. Имеем

(UH0U−1 ψ)(n, k) = (1 + e−ik1) ψ(n + (1, 0, . . . , 0), k)+

+(1 + eik1) ψ(n − (1, 0, . . . , 0), k) + . . . + (1 + e−ikd) ψ(n + (0, . . . , 0, 1), k)+

+(1 + eikd) ψ(n − (1, 0, . . . , 0), k) = H0(k) ψ(n, k).
(0.2)

Таким образом, оператор UH0U−1 расслаивается в семейство операторов H0(k), k ∈ T, действующих в l2(Zd), отличающихся от обычного
конечно-разностного оператора коэффициентами, зависящими от k.