Множества выживаемости систем с последействием

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

МАТЕМАТИКА
2008. №1

УДК 517.917

В. Н. Баранов

МНОЖЕСТВА ВЫЖИВАЕМОСТИ
СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 1

Доказано, что необходимым и достаточным условием выживаемости системы с
последействием

˙x(t) = f(t, xt)

в множестве M ⊂ R × C([−r, 0], Rn) является включение f(t, ϕ) ∈ T(t,ϕ)M, где
T(t,ϕ)M — касательное к M пространство. Доказано, что необходимым и достаточным условием выживаемости включения с последействием

˙x(t) ∈ F(t, xt)

в множестве M ⊂ R × C([−r, 0], Rn) является условие F(t, ϕ) ∩ T(t,ϕ)M ̸= ∅.
Доказаны достаточные условия положительной инвариантности множества для
системы (включения) с последействием. А именно, если имеется ˆδ > 0 такое,
что для всех 0 ⩽ δ ⩽ ˆδ и для всех (t, ϕ) ∈ ∂M δ выполнено включение F(t, ϕ) ⊂
⊂ T(t,ϕ)M δ, то множество M является положительно инвариантным относительно системы (включения) с последействием.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с последействием, выживаемость, положительная инвариантность.

Введение

Задачи выживания (термин принадлежит Aubin J. P. см., напр., [1])
для управляемых динамических систем включают в себя большое число
вполне конкретных приложений, интерес к которым не ослабевает с конца
50-х годов прошлого столетия. К числу таких прикладных задач относятся
задачи об обходе препятствия, о построении управления, удерживающего
траектории системы в заранее заданном множестве, в частности, на заданном многообразии, некоторые задачи математической экономики и многое
другое.
Вопрос о существовании решения x(t, x0) задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения ˙x = f(x) с начальным условием

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06–01–00258).

В. Н. Баранов

МАТЕМАТИКА
2008. №1

x(0) = x0, в течение некоторого времени остающегося в наперед заданном множестве M ⊂ Rn (такое решение называется выживающим), был
разрешен в 1942 году Нагумо [2]. Теорема Нагумо состоит в следующем.
Пусть задано множество M. Оказывается, что для каждой точки x0 ∈ M
существует выживающее решение x(t, x0) в том и только том случае, если во всех точках x, принадлежащих границе множества M, выполняется
включение f(x) ∈ KxM, x ∈ ∂M, где KxM — конус Булигана к M в точке x.
Задачи выживания для систем с последействием (их еще называют системами с наследственностью) отличаются от задач выживания для обыкновенных дифференциальных уравнений в первую очередь тем, что фазовое пространство C([−r, 0], Rn) таких систем бесконечномерно. Эту интерпретацию систем с последействием предложил Н. Н. Красовский [3].
Для системы с последействием ˙x(t) = f(xt) и целевого множества M,
заданного в пространстве абсолютно непрерывных функций неравенством
M .= {σ ∈ C([−r, 0], Rn) :
β(σ(0)) +
0
−r α(s, σ(s))ds ⩽ 0}, достаточные
условия выживаемости были получены Е. Л. Тонковым [4].
В работе [5] исследуется задача выживания системы с последействием в
множестве M ⊂ Rn. В этом случае удается воспользоваться определением
конуса Булигана для множества в Rn.
Основной целью предлагаемой работы является исследование условий
выживания решений систем с последействием и дифференциальных включений с последействием в заданном множестве фазового пространства
C([−r, 0], Rn). Формальное распространение теоремы Нагумо на системы
с последействием оказалось невозможным по той причине, что даже простые движения гладкой динамической системы в бесконечномерном фазовом пространстве могут не иметь производной (понимаемой в обычном
смысле) на множествах положительной меры.
Кроме необходимых и достаточных условий выживаемости системы
дифференциальных уравнений и дифференциальных включений в множестве найдены условия положительной инвариантности множеств.

§ 1. Основные определения и обозначения

Обозначим Rn — n-мерное евклидово пространство со скалярным про
изведением ⟨x, y⟩ .=
ni=1
xiyi и нормой |x| =
⟨x, x⟩. Через conv(Rn) обозна
чим множество непустых компактных выпуклых подмножеств Rn. Пусть
M ⊂ Rn, x ∈ Rn. Обозначим ρ(x, M) — расстояние от точки x до множества M, определенное равенством ρ(x, M) .= inf
y∈M |x−y|. Для подмножества

M пространства X и числа t ∈ R запись (t, M) будет обозначать подмножество пространства R × X вида

(t, M) .= {(t, x) ∈ R × X : x ∈ M}.

Множества выживаемости систем с последействием
5

МАТЕМАТИКА
2008. №1

Пусть задано число r > 0. Обозначим X = C([−r, 0], Rn) — пространство непрерывных на отрезке [−r, 0] функций со значениями в Rn и нормой
∥ϕ∥X .=
max
s∈[−r,0] |ϕ(s)|; Y = L∞([−r, 0], Rn) — пространство измеримых по

Лебегу, существенно ограниченных на отрезке [−r, 0] функций с нормой
∥ϕ∥Y .= ess sups∈[−r,0] |ϕ(s)|; X0 = AC∞([−r, 0], Rn) — пространство абсолютно непрерывных функций с существенно ограниченной производной и
нормой ∥ϕ∥X0
.= ∥ϕ∥X + ∥ ˙ϕ(s)∥Y.
В дальнейшем будем использовать сокращения. Пусть t0 ∈ R, α > 0,
r > 0. Обозначим Iα(t0) — полуинтервал [t0, t0+α), Ir,α(t0) — полуинтервал
[t0 − r, t0 + α), Если t0 = 0, то будем писать просто Iα вместо Iα(0).
В пространстве R2 для произвольного числа r > 0 обозначим треугольник {(t, s) ∈ R2 : s ∈ [−r, t0 − t], t ∈ [t0, t0 + r]} через ∆r(t0). Если t0 = 0 и
не возникает путаницы с r, то ∆r(0) будем обозначать просто ∆.
Для всякой непрерывной функции t → x(t) ∈ Rn, t ∈ Ir,α(t0), где α > 0,
обозначим t → xt ∈ X, t ∈ Iα(t0) — отображение полуинтервала Iα(t0) в
пространство X, заданное равенством

xt(s) .= x(t + s),
t ∈ Iα(t0),
s ∈ [−r, 0].
(1)

Будем говорить, что отображение t → xt ∈ X, t ∈ Iα(t0)
порождено
функцией t → x(t) ∈ Rn, t ∈ Ir,α(t0).
Отображения t → xt ∈ X, t ∈ Iα(t0) будем также называть движениями в пространстве X.
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения с последействием

˙x(t) = f(t, xt),
(2)

xt0 = ϕ,
(3)

где f : R × X → Rn — непрерывная на R × X функция, ϕ ∈ X.

О п р е д е л е н и е 1 (см. [6]).
Решением задачи (2), (3) на полуинтервале Ir,α(t0) называется такая непрерывная функция t → x(t) ∈ Rn,
t ∈ Ir,α(t0), что для всех t ∈ [t0−r, t0] выполнено равенство x(t) = ϕ(t−t0),
на интервале t ∈ Iα(t0) функция t → x(t) абсолютно непрерывна и для
почти всех t ∈ Iα(t0) имеет место равенство (2), где xt определено равенством (1).

Будем рассматривать также задачу Коши для дифференциального
включения с последействием

˙x(t) ∈ F(t, xt),
(4)