Геометрия и графика, 2016, №3

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации 
средства массовой информации
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель: 
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, 
д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501) 
Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор:
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор Московский 
технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор: 
Склянкина Д.С.

Отдел подписки: 
Назарова М.В.
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2016

Подписано в печать 19.09.2016. 
Формат 60x90/8. Бумага офсетная.
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru 
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Иванов Г.С., Дмитриева И.М. 
Принцип двойственности – теоретическая база 
взаимосвязи синтетических и аналитических 
способов решения геометрических задач  . . . . . . . . . . . .3

Графский О.А. 
Виды аффинных преобразований и их 
композиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Сальков Н.А. 
Циклида Дюпена и кривые второго порядка. 
Часть 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
Аракелян А.Г. 
Бесконечные последовательности взаимно 
касающихся окружностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
Короткий В.А.
Соприкосновение конических сечений  . . . . . . . . . . . . . .36
Рачковская Г.С.
Геометрическое моделирование и графика 
кинематических линейчатых поверхностей 
на основе триады контактирующих аксоидов . . . . . . . .46

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Сальков Н.А.
Место начертательной геометрии в системе 
геометрического образования технических вузов . . .53

Лепаров М.Н.
Геометрические преобразования сборочных 
единиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

Столбова И.Д., Александрова Е.П., 
Кочурова Л.В., Крайнова М.Н.
Организация системы контроля качества 
графической подготовки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

2016. Том 4. Вып. 3
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского технологического университета, 
Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им. 
В.И. Сурикова, Омского государственного технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2016. Vol. 4. Issue 3
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 

ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Российский химико-технологический университет име
ни Д.И. Менделеева (Россия).

     D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 

Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 

кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
Витебский государственный университет имени 
П.М. Машерова (Беларусь).

 Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, про
фессор.

 Санкт-Петербургский государственный университет 

телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).

 Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 

St. Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент.

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия).

 Moscow Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

University of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, про
фессор.

 Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ 

им. В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).

 Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 

Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, про
фессор. 

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 

 Moscow Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 

 Moscow Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 Софийский технический университет, София (Болгария).
 Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Институт физической химии и электрохимии им. 

А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).

 Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named 

after A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, 
Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

Lev Institute-JCT, Jerusalem (Israel).

    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный университет геодезии и 

картографии, Москва (Россия).

 Moscow State University of Geodesy and Cartography, 

Moscow (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к 
авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать 
тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку 
без согласования с авторами. Поступившие в редак цию материалы 
будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования 
редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 Нижегородский государственный архитектурно-строитель
ный университет, Нижний Новгород (Россия). 

 Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 

Nizhny Novgorod (Russia).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный академический художест
венный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University 

Innsbruck, Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, 

Vienna (Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 Пермский национальный исследовательский политехни
ческий университет, Пермь (Россия).

 Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 

(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профес
сор. Московский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор 
(Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, первый зам. гл. 
редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент. Московский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ), зам. гл. 
редактора (Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 

Московский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), ответственный 
секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск 
(Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный университет геодезии и 
картографии (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 3. 3–10                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2016

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 515.001:513.628                         DOI: 10.12737/21528

Г.С. Иванов
Д-р техн. наук, профессор,
Московский государственный технический университет 
им. Н.Э. Баумана,
Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1
И.М. Дмитриева 
Канд. пед. наук, доцент,
Московский государственный университет леса,
Россия, 141005, Московская обл., г. Мытищи-5,
ул. 1-я Институтская, д. 1

Принцип двойственности – 
теоретическая база взаимосвязи 
синтетических и аналитических 
способов решения 
геометрических задач 

Аннотация. Наметилась тенденция расслоения преподава
телей кафедр инженерной графики на три группы:
1) консерваторы: мы изучали начертательную геометрию по 

учебнику В.О. Гордона, он же должен быть учебником для 
наших студентов; «ручная» инженерная графика должна 
предшествовать компьютерной;

2) радикалы: начертательная геометрия как учебная дисци
плина исчерпала себя; актуально обучение на базе 
3D-моделирования;

3) умеренные специалисты: начертательная геометрия как 

составная часть интегрированного курса инженерной 
геометрии призвана обеспечивать наряду с инженерной и 
компьютерной графикой смежные разделы математики и 
общеинженерных дисциплин.
Статья посвящена обоснованию позиции умеренных спе
циалистов. Трансформацию традиционного курса начертательной геометрии в инженерную можно обеспечить, если:
• совместно рассматривать синтетические и аналитические 

способы решения геометрических задач;

• расширить предмет курса формами многомерного про
странства.
Теоретической базой такого подхода является принцип 

двойственности в многомерном проективном пространстве. 
Он показан на геометрическом толковании решения системы 
n линейных уравнений с n неизвестными. На примерах задания линейных форм четырехмерного пространства (точка A, 
прямая a, 2-плоскость α2 (ABC), 3-плоскость α3 (ABCD)) и 
решений позиционных задач показана взаимосвязь синтетических и аналитических способов. Отмечено, что любая позиционная задача сводится к решению p + 1 систем n линейных уравнений с n неизвестными, где P – размерность искомой p-плоскости αp. Поэтому, следуя принципу обучения от 
простого к сложному, методически правильно последовательно излагать алгоритмы построения точки, прямой, …, p-плоскости.

Такой подход становится обязательным при переходе:

• от линейных форм к нелинейным;
• от решения учебных задач с участием достаточно простых 

линий и поверхностей к решению прикладных задач с 
участием составных кривых и поверхностей (одномерных, 
двумерных и многомерных обводов);

• к решению оптимизационных задач методами геометри
ческого программирования.
Ключевые слова: начертательная геометрия, синтетический 

и аналитический способы решения геометрических задач, 
размерность, степень свободы, принцип двойственности в 
многомерном проективном пространстве.

G.S. Ivanov 
Doctor of Engineering, Professor,
Bauman Moscow State Technical University,
5/1 2 Baumanskaya st., 105005, Moscow, Russia
I.M. Dmitrieva 
Ph.D. of Pedagogy, Associate Professor,
Moscow State Forest University
1, First Institutskaya St., Mytischi-5, 141005, Moscow region, 
Russia

The Duality Principle Is the Theoretical Basis 
of Interrelation of Synthetic and Analytical 
Methods of Solving Geometric Problems

Abstract. There is a tendency of dividing of the teachers of the 

engineering graphics departments into three groups:
1) conservatives: we studied the descriptive geometry by textbook 

of V.O. Gordon, it is supposed to be the textbook for our students; computer graphics must be preceded by "manual" engineering graphics;

2) radicals: the descriptive geometry as an academic discipline has 

run dry; the training on the basis of 3D modeling is up to date;

3) moderate specialists: descriptive geometry, as a part of the in
tegrated course of engineering geometry, along with engineering and computer graphics, is aimed at providing related 
branches of mathematics and General engineering disciplines.
The article is devoted to justify the positions of specialists. The 

transformation of the traditional course of descriptive geometry in 
the engineering geometry can be provided in case of:
• considering jointly the synthetics and analytical methods to 

solve geometric problems,

• improving the subject of the course with the forms of the mul
tidimensional space.
Theoretical basis of this approach is the principle of duality in 

multidimensional projective space. It is shown on a geometric interpretation of the solution of a system of n linear equations with 
n unknowns. The interrelation of synthetic and analytical methods 
is shown on the examples of setting linear forms of four-dimensional space (point A, straight line a, 2-plane α2 (ABC), 3-plane α3

(ABCD)) general provisions, projecting figures and the solutions of 
position tasks on the affiliation and the intersection shown. Noted 
that any positional problem is reduced to solving p + 1 linear systems of n equations with n unknowns, where P is the dimension of 
the desired p-plane αp. Therefore, following the principle of learn

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 3. 3–10

Для введения в тему предлагаемой публикации 

рассмотрим простую задачу, решаемую в первом 
семестре при изучении курсов линейной алгебры и 
начертательной геометрии. В курсе линейной алгебры 
она формулируется так:

Решить систему трех линейных уравнений с тре
мя неизвестными

a b
b y
c z
d

a b
b y
c z
d

a b
b y
c z
d

1
1
1
1

2
2
2
2

3
3
3
3

+
+
=

+
+
=

+
+
=

;

;

.

(1)

Известно, что она имеет единственное решение, 

если

a
b
c
a
b
c
a
b
c

1
1
1

2
2
2

3
3
3

0
≠ .
(2)

Система решается по формуле Крамера, а в случае 

обобщения на систему n уравнений с n неизвестными решается способом Гаусса. Способ Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных 
путем выполнения операций умножения коэффициентов какой-либо строки на число и суммирования 
с элементами другой строки. В итоге систему (1) 
можно привести к виду (3) или (4):

a x
b y
c z
d

a x
b y
d

a x
c z
d

1
1
1
1

2
2
2

3
3
3

+
+
=

+
=

+
=

,

,

.

(3)

a x
b y
c z
d

a x
b y
d

c z
d

1
1
1
1

2
2
2

3
3

+
+
=

+
=

=

,

,

,

(4)

которые решаются просто.

При этом упор делается на изучение алгоритмов 

вычисления координат искомой точки и выполнения 
условия (2) совместности системы уравнений.

Геометрическое толкование этих преобразований 

придало бы этим вычислениям наглядность. При 
этом три плоскости общего положения (1) преобразовались:
• в плоскость общего положения и две проециру
ющие плоскости (горизонтально проецирующую 
и фронтально проецирующую) (3);

• в плоскость общего положения, горизонтально 

проецирующую и горизонтальную плоскость уровня (4).
Условие совместности (2) системы (1) выполня
ется тогда, когда
1) две плоскости не параллельны,
2) линия пересечения двух плоскостей не параллель
на третьей плоскости.
В курсе начертательной геометрии эта задача трех
мерного пространства сводится к построению общей 
точки K трех плоскостей α, β, γ. Традиционно она 
решается так:
• строится линия l пересечения двух плоскостей α

и β;

• строится искомая точка K пересечения прямой l

с плоскостью γ.
Способ Гаусса решения системы (1) подсказыва
ет другой, более рациональный, алгоритм построения 
точки K:
• каким-либо способом преобразования, например, 

заменой плоскости проекций плоскость γ преобразуется в проецирующую γ ;

• строятся прямые l  и m пересечения проециру
ющей плоскости γ  с плоскостями общего положения α  и β , которые пересекаются в искомой 
точке K
l
m
=
∩
. .

Этот простой пример показывает

• целесообразность сочетания синтетических и ана
литических способов решения геометрических 
задач;

• необходимость расширения предмета начерта
тельной геометрии многомерными формами для 
геометрического истолкования, в частности, решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Таким образом, целью статьи является наглядное 

построение многомерного пространства, синтетическое и аналитическое описание его линейных форм, 
подсчет их параметров, выявление их симметричности. Существование двойственных пар линейных 
форм объясняет диалектическое единство синтетических и аналитических способов решения геометрических задач. Такая взаимосвязь является базой 
для установления внутрипредметных и межпредмет
ing from simple to complex, methodologically correctly consistently explain the algorithms of constructing of a point, line, ..., 
p-plane.

This approach becomes mandatory for entry

• from linear to nonlinear forms;
• from the solution of educational problems involving simple 

lines and surfaces to the solution of applied problems involving 
compound curves and surfaces (one-dimensional, two-dimensional and multidimensional contours);

• to the solution of optimization problems methods of geometric 

programming.
Keywords: descriptive geometry, synthetic and analytical meth
ods of solving geometric problems, dimension, the degree of freedom, the principle of duality in multidimensional projective space.

ных компетенций. Последнее составляет предмет 
дискуссий о месте начертательной геометрии в современных условиях [2; 3; 5–8; 12; 15; 16].

Изложенное выше геометрическое толкование 

решения системы (1) для образованного человека не 
вызывает затруднений в силу развитости у него пространственного представления. В многомерном пространстве оно бессильно. Поэтому построение многомерного пространства (рис. 1) конструктивно и 
логично выполнить по индукции, начиная с одномерного пространства — числовой оси Ox [1]. От 
числовой оси Ox добавлением новой оси Oy ⊥ Ox
переходим к плоскости α2(Oxy) — двумерному пространству. Далее, вводя новую ось Oz ⊥ α2(Oxy), получаем трехмерное пространство α3(Oxyz). Сказанное 
достаточно просто, привычно и наглядно.

Следующий этап введения оси Ot ⊥ α3(Oxyz) тре
бует абстрагирования. Так как в трехмерном пространстве невозможно построить прямую Ot, перпендикулярную имеющимся трем взаимно перпендикулярным прямым Ox, Oy, Oz, то допускаем существование четырехмерного пространства α4(Oxyzt), 
где эти четыре оси будут взаимно перпендикулярными. На рис. 1 показана схема построения 4D-чертежа 
точки A.

Рис. 1

Справедливость такого допущения логична. 

Действительно, «расширяя» одномерную прямую Ox
в двумерную плоскость α2, пришлось новую ось 
Oy ⊥ Ox взять вне прямой Ox. Аналогично, расширяя 
двумерную плоскость α2(Oxy) до трехмерного пространства α3(Oxyz), новую ось Oz нельзя взять в плоскости Oxy, ибо она в α2(Oxy) не может быть одновременно перпендикулярной осям Ox и Oy. Следовательно, 
каждая новая ось, вводимая для повышения размерности пространства, не может «находиться внутри» 
исходного пространства (не может принадлежать 
исходному пространству).

Этот процесс повышения размерности простран
ства добавлением новой оси, перпендикулярной всем 
ранее введенным осям, безграничен. В итоге получаем расширенное n-мерное евклидово пространство, в котором произвольная точка A определяется 

заданием n координат. Поэтому говорят, что в 
n-мерном пространстве точка имеет n степеней свободы или точек в n-мерном пространстве существует ∞n. На рис. 1 координаты точки A равны длинам 
сторон координатной ломаной OAxA′A″ : xA = OAx, 
yA = AxA′, zA = A′A″, tA = A″A.

В многомерном пространстве число геометриче
ских фигур различных размерностей безгранично. 
Поэтому все линейные формы называют плоскостями с указанием их размерности:
• прямая — это 1-плоскость α1,
• обычная плоскость — (2-плоскость) α2,
• трехмерное пространство — (3-плоскость) α3,
• и гиперплоскость — (n–1) — плоскость αn–1.

Обобщая задание прямой двумя точками, обычной 

плоскости тремя точками, не лежащими на одной 
прямой, утверждаем, что i-плоскость задается i + 1 
независимыми точками, никакие j (j < i) точек не 
принадлежат одной (j – 2)-плоскости [9].

Аналитически в трехмерном пространстве (n = 3) 

одно линейное уравнение

 
a1x + b1y + c1z = d1, 
(5)

как это общеизвестно, определяет плоскость α2, 
а система двух уравнений

a x
b y
c z
d

a x
b y
c z
d

1
1
1
1

2
2
2
2

+
+
=

+
+
=
,
(6)

прямую l (α1) — линию пересечения данных плоскостей α2 и β2. Система трех линейных уравнений с 
тремя неизвестными (1) при выполнении условия их 
совместности (2), как было отмечено выше, определяет их общую точку K.

Хотя система (6) определяет некоторую прямую 

l, но для построения ее проекций l1, l2 на чертеже 
Монжа

l
a x
b y
d

l
a x
c z
d

1
1
1
1

2
2
2
2

:
,

:

+
=

+
=

(7)

известным способом плоскостей уровня находим 
две ее точки. Таким образом, прямая l определяется как линия пересечения двух плоскостей общего положения (6) или двух проецирующих плоскостей α1 = l1, β2 = l2 (7). В линейной алгебре 
перезадание прямой (исключение неизвестных) 
достигается элементарными преобразованиями 
системы (6) в систему (7), а в начертательной геометрии — построением проекций линии пересечения двух плоскостей.

Обобщая систему (1) на n-мерное пространство, 

получаем n линейных уравнений с n неизвестными

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 3. 3–10                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2016

a x
a x
a x
b

a x
a x
a x
b

a x

n
n

n
n

n

11
1
12
2
1
1

21
1
22
2
2
2

1

+
+
+
=

+
+
+
=





       

,

,

1
2
2
+
+
+
=

a x
a x
b
n
nn
n
n

.

(8)

Из линейной алгебры известно, что система (8) 

имеет единственное решение, если ее определитель

∆ =

a
a
a
a
a
a

a
a
a

n

n

n
n
nn

11
12
1

21
22
2

1
2










,

составленный из коэффициентов при неизвестных, 
не равен нулю. Другими словами, n гиперплоскостей 
αn–1 n-мерного пространства пересекаются в единственной точке.

Размерность r пересечения p-плоскости αp и 

q-плоскости βq вычисляется по известной формуле 
[9, с. 63]:

 
r = p + q – n.

Из этой формулы следует, что две гиперплоскости 

αn–1, βn–1 пересекаются по (n–2)-плоскости γn–2:

 
n – 2 = n + 1 + n + 1 – n;

три гиперплоскости — по (n – 3)-плоскости,
i гиперплоскостей — по (n – i)-плоскости.

Другими словами, система двух уравнений с n

неизвестными задает (n – 2)-плоскость, система трех 
уравнений с n неизвестными задает (n – 3)-плоскость, 
а система из i уравнений с n неизвестными — 
(n – i)-плоскость. Таким образом, прямоугольная 
матрица (таблица из i · n чисел, расположенных в i
строчках и n столбцах), задает (n – i)-плоскость.

Далее обратим внимание на симметричность ли
нейных форм (Грассмановых многообразий) проективного многомерного пространства. С одной стороны, основным элементом пространства является 
точка, а любая p-плоскость однозначно определяется заданием p + 1 независимых точек. С другой стороны, одним линейным уравнением от n неизвестных 
задается гиперплоскость (n – 1)-плоскость, а система из i таких уравнений определяет (n – i)-плоскость. 
Точка в n-мерном пространстве задается n координатами (имеет n степеней свободы, составляет n
параметрическое множество ∞n).

Уравнение гиперплоскости имеет n неизвестных, 

поэтому множество гиперплоскостей n-параметрично.

Система из p + 1 независимых точек, задающих 

p-плоскость, составляет n(p + 1)-параметрическое 
множество. Но каждая из этих p + 1 точек, находясь 
в p-плоскости, имеет p степеней свободы, а все вместе — p(p + 1) степеней свободы. Следовательно, 
число условий P, требуемых для определения p-плоскости, принадлежащей n-пространству, равно

∞

∞
= ∞

+
(
)

+
(
)

−
(
)
+
(
)

n p

p p
n p
p
1

1
1 ,

т.е. параметрическое число P p-плоскости равно

 
P = (n — p) · (p + 1). 
(9)

Для наглядности сравнения синтетических и ана
литических способов решения геометрических задач 
составим следующую таблицу. С левой стороны даны 
размерности P линейных форм как точечных множеств и их параметрические числа p, а с правой стороны — двойственные им формы, задаваемые системами уравнений, и их параметрические числа p. 
Симметричные двойственные формы имеют равные 
параметрические числа p, а сумма их размерностей 
равна n – 1.

Таблица

Cинтетические и аналитические способы 

решения геометрических задач

Синтетический
Аналитический

Размерность
P
P
Размерность

Точка (p = 0)
n
n
Гиперплоскость 
p = n – 1

Прямая (p = 1)
2(n – 1)
2(n – 1)
(n – 2)-плоскость

2-плоскость 
(p = 2)

3(n – 2)
3(n – 2)
(n – 3)-плоскость

p-плоскость
(n – p)
(p + 1)

(n – p)
(p + 1)

(n – p – 1)-плоскость

(n – 3)-плоскость
3(n – 2)
3(n – 2)
2-плоскость

(n – 2)-плоскость
2(n – 1)
2(n – 1)
Прямая (p = 1)

Гиперплоскость 
p = n – 1

n
n
Точка (p = 0)

Эта таблица иллюстрирует принцип двойственности

в многомерном проективном пространстве: любое 
проективное предложение, сформулированное относительно линейных форм столбца 1, остается справедливым, если их заменить соответственными формами 
столбца 4.

Применительно к плоскости и трехмерному про
странству он формулируется так [17, 9]: проективное 
предложение
1) относительно точек и прямых плоскости остает
ся действительным, если в нем слова «точка» и 
«прямая» поменять местами;

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 3. 3–10

2) относительно точек, прямых и плоскостей трех
мерного пространства остается справедливым, 
если в нем слова «точка» и «плоскость» поменять 
местами, а слово «прямая» оставить без изменения.
Например, прямая и обратная теоремы Дезарга 

являются двойственными [17].

Таким образом, противопоставление синтетических 

и аналитических способов решения задач является 
некорректным, а толкование начертательной геометрии как графической дисциплины — ненаучным.

Вышеизложенное теоретическое положение вза
имосвязи синтетических и аналитических методов 
рассмотрим применительно к заданию линейных 
форм на чертеже и решении позиционных задач [1].

Сначала остановимся на задании (изображении) 

линейных форм на обобщенном чертеже Монжа. 
Начнем с рассмотрения задания линейных форм 
общего положения. Для конкретности ограничимся 
формами четырехмерного пространства П4: α0, α1, 
α2, α3. Традиционно точки αi
0  будем обозначать про
писными буквами латинского алфавита A, B, C, …, 
а прямые α j
1 — строчными буквами a, b, c, … . На 

обобщенном чертеже Монжа некоторая точка A изображается тремя проекциями A1, A2, A3 соответственно на плоскостях проекций П1(Oxy), П2(Oxz) и П3(Oxt) 
(рис. 2).

Прямая a, 2-плоскость α2 и 3-плоскость α3 зада
ются проекциями определяющих их независимых, 
соответственно, двух точек A, B, трех точек A, B, C и 
четырех точек A, B, C, D (рис. 2).

Рис. 2

Теперь также кратко рассмотрим изображение на 

чертеже проецирующих фигур, акцентируя внимание 
на задании их проекций на плоскостях проекций Пi. 
На рис. 3 дано изображение точки A (x = 3, y = 2), 
отнесенной к системе координат Oxy. С позиций 
аналитической геометрии она получается как точка 
пересечения прямых b (x = 3) и g(y = 2). Если точку 
A отнести к системе координат Oxyz, то уравнения x
= 3, y = 2 определяют соответственно плоскости 
уровня β2 ⊂ b и γ2 ⊂ g, а система этих уравнений — 

прямую a = β2 ∩ γ2, параллельную оси Oz (перпендикулярную координатной плоскости Oxy).

Рис. 3

Обобщая, отнесем точку A к системе координат 

Oxyzt (к четырехмерному пространству П4). Тогда 
уравнения x = 3, y = 2 определяют соответственно 
3-плоскости β3 ⊥ Oy, γ3 ⊥ Ox, пересекающиеся по 
2-плоскости α2 (3 + 3 – 4 = 2). Плоскость α2 перпендикулярна координатной плоскости Oxy и пересекает ее в точке A (2 + 2 – 4 = 0).

Таким образом, с позиций начертательной гео
метрии прямая a и плоскость α2 являются горизонтально проецирующими и однозначно определяются на чертеже своими вырожденными проекциями 
a1 = A1 (рис. 4, а), α1
2
1
= A  (рис. 4, б). Их проекции 

(a2 ∈ A2) (рис. 4, а) α2
2
2
∈A , α3
2
3
∈A ,  где α
α
2
2
3
2
=

(рис. 4, б) показаны только ради единообразия изображения с фигурами общего положения.

                          а) 
                                                               б)

Рис. 4

Пусть в плоской системе координат Oxy дана пря
мая a (рис. 5), определяемая уравнением

 
kx + my + n = 0.

Если это уравнение отнести к пространственной 

системе координат Oxyz, то оно определяет плоскость 

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 3. 3–10                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2016

α
α
2
2
 Oz
Oxy
⊥
(
) . Это же уравнение, отнесенное к 

системе координат Oxyzt определяет 3-плоскость 
α
α
3
3
 Ozt
Oxy
⊥
(
) , которая, как и 2-плоскость α2, 

пересекается с координатной плоскостью Oxy по 
прямой a. Таким образом, горизонтально проецирующая 2-плоскость α2 и 3-плоскость α3 однозначно 
определяются прямой a.

Рис. 5

Выше было отмечено, что прямая l на чертеже 

Монжа задается своими проекциями l1, l2 (рис. 6) и 
определяется системой уравнений (7), т.е. представляет собой линию пересечения двух проецирующих 
плоскостей α1
2
1
= l , β2
2
2
= l .

Рис. 6

Очевидно, что графическое задание точки A на 

чертеже двумя ее проекциями A1, A2 эквивалентно ее 
аналитическому определению, когда ее координаты 
истолковываются как уравнения трех плоскостей 
уровня:
• профильной плоскости уровня α12
2
x
xA
=
(
),

• фронтальной плоскости уровня β2 (y = yA),
• горизонтальной плоскости уровня γ2 (z = zA),
где A1
12
2
1
2
=
∩
α
β , A2
12
2
2
2
=
∩
α
γ . .

И, наконец, дадим аналитическое толкование ал
горитмов графического решения позиционных задач 
с участием линейных форм трехмерного пространства.

1. Задачи на принадлежность.
Построение недостающей проекции, например, 

A2 точки A прямой l по заданной ее горизонтальной 
проекции A1 (y = yA) сводится:

• к подстановке в первое уравнение системы (7) 

значения yA и вычислению ее абсциссы x;

• подстановке найденного значения xA во второе 

уравнение системы (7) и вычислению zA.
Таким образом, решение задачи свелось к решению 

одной системы из трех линейных уравнений (7) и 
y = yA с тремя неизвестными.

Аналогично, построение, например, фронтальной 

проекции A2 точки A, принадлежащей плоскости α2

(5), по ее заданной проекции A1 (x = xA, y = yA), также сводится к решению одной системы.

Построение недостающей проекции, например, 

a2 прямой a, принадлежащей плоскости α2, сводится 
уже к решению двух систем из трех уравнений с 
тремя неизвестными. Прямая a определяется двумя 
своими независимыми точками A и B. Поэтому построение ее недостающей проекции a2 требует построения фронтальных проекций A2, B2 этих точек, 
т.е. решения двух систем уравнений.

2. Задачи на пересечение.
Построение точки K пересечения прямой a с пло
скостью α2 сводится к совместному решению уравнения (5) плоскости α2 и системы уравнений (7), 
задающих прямую a. То есть координаты точки K
определяются решением одной системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Линия пересечения l двух плоскостей α2, β2 гра
фически строится с помощью двух посредников, 
обычно двух плоскостей уровня γ
γ
2
2
,
, ибо прямая l

определяется однозначно двумя независимыми точками. Аналитически это сводится к решению двух 
систем линейных уравнений с тремя неизвестными: 
уравнений данных плоскостей и посредников.

Таким образом, в трехмерном пространстве любая 

позиционная задача с линейными формами сводится к решению одной или двух систем линейных уравнений с тремя неизвестными. Одна система решается, если решением задачи является точка, две системы — если решением является прямая, определяемая 
двумя точками.

Обобщая этот результат на n-мерное пространст
во, утверждаем, что любая позиционная задача сводится к решению p + 1 систем n линейных уравнений 
с n неизвестными, где P — размерность искомой pплоскости αp.

Отсюда делаем вывод: следуя принципу обучения 

от простого к сложному, методически правильно 
последовательно излагать алгоритмы построения 
точки, прямой, …, p-плоскости. Вот почему в учебнике [18] задача построения точки пересечения прямой с плоскостью называется первой основной позиционной задачей. В учебнике [4] из-за догматического взгляда его авторов на начертательную геометрию 
как сугубо графическую дисциплину в изложении 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 3. 3–10

учебного материала нарушен отмеченный выше 
принцип: алгоритмы построения линий пересечения плоскостей и поверхностей предшествуют 
описанию алгоритмов решения более простой задачи на определение точки(ек) пересечения линии 
с плоскостью (поверхностью). Это нарушение становится ярко выраженным при совместном рассмотрении синтетических (графических) и аналитических способов решения многомерных геометрических задач.

Такой подход становится обязательным при пе
реходе:
• от линейных форм к нелинейным;
• от решения учебных задач с участием достаточно 

простых линий и поверхностей к решению прикладных задач с участием составных кривых и 
поверхностей (одномерных, двумерных и многомерных обводов);

• к решению оптимизационных задач методами 

геометрического программирования

Литература

1. Боровиков И.Ф. Научно-методические вопросы пре
подавания темы «Позиционные задачи» в курсе начертательной геометрии [Текст] / И.Ф. Боровиков, 
Г.С. Иванов, Н.Г. Суркова // Перспективы развития науки. — Уфа: РИЦ БашГУ, 2014. — С. 32–40.

2. Волошинов Д.В. О перспективах развития геометрии и ее 

инструментария [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия 
и графика. — 2014. — Т. 2. — № 1. — С. 15–21. — DOI: 
10.12737/3844.

3. Вышнепольский В.И. Цели и методы обучения графи
ческим дисциплинам [Текст] / В.И. Вышнепольский, 
Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — 
№ 2. — С. 8–9. — DOI: 10.12737/777.

4. Гордон В.О. Курс начертательной геометрии [Текст] / 

В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский. — М.: Высшая 
школа, 2000.

5. Гузненков В.Н. Геометро-графическое образование в 

техническом университете [Текст] / В.Н. Гузненков // 
Alma mater (Вестник высшей школы). — 2014. — № 10. — 
С. 71–75.

6. Гузненков В.Н. Геометро-графическая подготовка как 

интегрирующий фактор образовательного процесса 
[Текст] / В.Н. Гузненков, В.И. Якунин // Образование 
и общество. — 2014. — № 2. — С. 26–28.

7. Иванов Г.С. Компетентностный подход к содержанию 

курса начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов // 
Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 2. — С. 3–5. — 
DOI: 10.12737/775.

8. Иванов Г.С. Перспективы начертательной геометрии 

как учебной дисциплины [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — С. 26–27. — 
DOI: 10.12737/2081.

9. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной гео
метрии [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 
1988.

10. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мни
мыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — 
С. 3–8. – DOI: 10.12737/12163.

11. Короткий В.А. Начертательная геометрия на экране 

компьютера [Текст] / В.А. Короткий, Л.И. Хмаро
ва // Геометрия и графика, — 2013. — Т. 1. — № 1. — 
С. 32–34. — DOI: 10.12737/2083.

12. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертатель
ной геометрии и смежных разделов высшей математики 
[Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, 
К.А. Муравьев // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — 
№ 3–4. — С. 8–12. — DOI: 10.12737/2124.

13. Серегин В.И. Геометрические преобразования в начер
тательной геометрии и инженерной графике [Текст] / 
В.И. Серегин, Г.С. Иванов, Л.С. Сенченкова, И.Ф. Боровиков // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — 
№ 2. — С. 23–28. — DOI: 10.12737/12165.

14. Соколова Л.С. Многомерное пространство и наглядная 

геометрия в учебной программе по геометрической 
подготовке для бакалавров [Текст] / Л.С. Соколова // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 1. — 
С. 40–46. — DOI: 10.12737/10457.

15. Суфляева Н.Е. Современные аспекты преподавания 

графических дисциплин в технических вузах [Текст] / 
Н.Е. Суфляева // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — 
№ 4. — С. 28–33. — DOI: 10.12737/8294.

16. Тихонов-Бугров Д.Е. О некоторых проблемах графиче
ской подготовки в технических вузах (взгляд из СанктПетербурга) [Текст] / Д.Е. Тихонов-Бугров // Геометрия 
и графика. — 2014. — Т. 2. № 1. — С. 46–52. — DOI: 
10.12737/3848.

17. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / 

Н.Ф. Четверухин. — М.: Просвещение, 1969.

18. Четверухин Н.Ф. Курс начертательной геометрии 

[Текст] / Н.Ф. Четверухин [и др.]. — М.: ГИТТЛ, 1956.

References

1.  Borovikov I.F., Ivanov G.S., Surkova N.G. Nauchno-me
todicheskie voprosy prepodavanija temy «Pozicionnye zadachi» v kurse nachertatel'noj geometrii [Scientific-methodical problems of teaching of the topic "Positional problem" 
in the course of descriptive geometry]. Perspektivy razvitija 
nauki [Prospects of development of science]. Ufa, RITS 
Bashgu Publ., 2014, pp. 32–40. (in Russian).

2. Voloshinov D.V. O perspektivah razvitija geometrii i ee in
strumentarija [About the prospects of geometry and its instrumentation]. Geometrija i grafika [Geometry and graph
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 3. 3–10                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2016

ics], 2012, V. 1, I. 1, pp. 15–21. DOI: 10.12737/3844 (in 
Russian).

3. Vyshnepol'skij V.I., Sal'kov N.A. Celi i metody obuchenija 

graficheskim disciplinam [Objectives and methods of learning graphic disciplines]. Geometrija i grafika [Geometry and 
graphics]. 2013, V. 1, I. 2, pp. 8–9. DOI: 10.12737/777. (in 
Russian).

4. Gordon V.O., Semencov-Ogievskij M.A. Kurs nachertatel'noj 

geometrii [A course in descriptive geometry]. Moscow, Vysshaja shkola Publ., 2000.

5. Guznenkov V.N. Geometro-graficheskoe obrazovanie v 

tehnicheskom universitete [Geometric-graphic education at 
the technical University]. Moscow, Alma mater (Vestnik vysshej shkoly Publ.), 2014, I. 10, pp. 71–75. (in Russian).

6. Guznenkov V.N., Jakunin V.I. Geometro-graficheskaja 

podgotovka kak integrirujushhij faktor obrazovatel'nogo processa [Geometro-graphic training as an integrating factor of 
educational process]. Obrazovanie i obshhestvo [Education 
and society]. Moscow, 2014, I. 2, pp. 26–28. (in Russian).

7. Ivanov G.S. Kompetentnostnyj podhod k soderzhaniju kursa 

nachertatel'noj geometrii [Competence approach to the 
content of the course of descriptive geometry]. Geometrija i 
grafika [Geometry and graphics], 2013, V. 1, I. 2, pp. 3–5. 
DOI: 10.12737/775. (in Russian).

8. Ivanov G.S. Perspektivy nachertatel'noj geometrii kak 

uchebnoj discipliny [Prospects descriptive geometry as an 
academic discipline]. Geometrija i grafika [Geometry and 
graphics], 2013, V. 1, I. 1, pp. 26–27. (in Russian).

9. Ivanov G.S. Teoreticheskie osnovy nachertatel'noj geometrii 

[Theoretical foundations of descriptive geometry]. Moscow, 
Mashinostroenie Publ., 1988 (in Russian).

10. Ivanov G.S., Dmitrieva I.M. O zadachah nachertatel'noj ge
ometrii s mnimymi reshenijami [About the tasks of descriptive geometry with imaginary solutions]. Geometrija i grafika 
[Geometry and graphics], 2015, V. 3, I. 2, pp. 3–8. DOI: 
10.12737/12163. (in Russian).

11. Korotkij V.A., Hmarova L.I. Nachertatel'naja geometrija na 

jekrane komp'jutera [Descriptive geometry on the computer 

screen]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics], 2013, 
V. 1, I. 1, pp. 32–34. (in Russian).

12. Seregin V.I., Ivanov G.S., Dmitrieva I.M., Murav'ev K.A. 

Mezhdisciplinarnye svjazi nachertatel'noj geometrii i 
smezhnyh razdelov vysshej matematiki [Interdisciplinary 
connections of descriptive geometry and related sections of 
higher mathematics]. Geometrija i grafika [Geometry and 
graphics], 2013, V. 1, I. 3–4, pp. 8–12. DOI: 10.12737/2124. 
(in Russian).

13. Seregin V.I., Ivanov G.S., Senchenkova L.S., Borovikov 

I.F. Geometricheskie preobrazovanija v nachertatel'noj geometrii i inzhenernoj grafike [Geometric transformations in 
descriptive geometry and engineering graphics]. Geometrija i 
grafika [Geometry and graphics], 2015, V. 1, I. 2, pp. 23–28. 
DOI: 10.12737/12165 (in Russian).

14.  Sokolova L.S. Mnogomernoe prostranstvo i nagljadnaja ge
ometrija v uchebnoj programme po geometricheskoj podgotovke dlja bakalavrov [Multidimensional space and visual 
geometry in the curriculum of geometric preparation for bachelors]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics], 2015, V. 
3, I. 1. pp. 40–46. DOI: 10.12737/10457. (in Russian).

15.  Sufljaeva N. E. Sovremennye aspekty prepodavanija gra
ficheskih disciplin v tehnicheskih vuzah [Modern aspects of 
teaching of graphic disciplines in technical universities]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics], 2014, V. 2, I. 4, 
pp. 28–33. DOI: 10.12737/8294 (in Russian).

16.  Tihonov-Bugrov D.E. O nekotoryh problemah graficheskoj 

podgotovki v tehnicheskih vuzah (vzgljad iz Sankt-Peterburga) [About some problems of graphic training in technical universities (the view from St. Petersburg)]. Geometrija i 
grafika [Geometry and graphics], 2014, V. 2, I. 1, pp. 46–52. 
DOI: 10.12737/3848. (in Russian).

17. Chetveruhin N.F. Proektivnaja geometrija [Projective geom
etry]. Moscow, Prosveshhenie Publ., 1969 (in Russian).

18. Chetveruhin N.F., Levickij V.S., Prjanishnikova Z.I., Tevlin 

A.M., Fedotov G.I. Kurs nachertatel'noj geometrii [A course 
in descriptive geometry]. Moscow, GITTL Publ., 1956. (in 
Russian).

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 3. 3–10

УДК 514.1                                             DOI: 10.12737/21529

О.А. Графский
Д-р техн. наук, профессор,
Дальневосточный государственный университет путей 
сообщения (ДВГУПС),
Россия, 680021, Хабаровск, ул. Серышева, 47

Виды аффинных преобразований 
и их композиции

Аннотация. Рассматриваются известные виды аффинных 

преобразований, которые могут быть получены как результирующие преобразования при выполнении комбинации как 
произведения двух других преобразований. Исследована возможность построения рассматриваемых комбинаций как 
конструктивным способом, так и аналитически по выведенным 
зависимостям функций преобразования. Результаты планируется использовать в учебном процессе по дисциплине 
«Аффинная и проективная геометрия» посредством графических пакетов AutoCAD, КОМПАС или Microsoft Office Visio и 
дисциплины «Вычислительная геометрия» с применением 
математического пакета Maple. Данные дисциплины изучаются студентами по направлениям 09.03.01 «Информатика и 
вычислительная техника (профиль: Системы автоматизированного проектирования)» и 09.03.03 «Прикладная информатика (профиль: Прикладная информатика в дизайне)».

Полем деятельности аффинной геометрии с позиции те
ории групп Ф. Клейна соответственно являются подгруппы 
аффинных преобразований. В известных источниках предлагается изучение аффинных преобразований с перспективноаффинных соответствий (родство), далее рассматриваются 
сжатие (растяжение), косая симметрия, сдвиг и их композиции (умножение, произведение).

Однако, рассматривая на плоскости родство, можно за
метить, что коэффициент этого преобразования является 
отрицательной величиной. Следовательно, в этом преобразовании присутствует осевая симметрия. Поэтому целью настоящей работы является определений таких композиций, при 
выполнении которых появляется возможность моделирования 
определенных известных аффинных преобразований как 
результирующих.  Попутно приведем цитату: «Заметим, синтез и анализ не в математическом, а в общелогическом смысле слова совершенно равноправны и во всяком исследовании 
они постоянно переплетаются друг с другом; поэтому едва ли 
может быть речь о предоставлении господства одному из этих 
орудий человеческой мысли» (из протокола заседания Физикоматематического общества от 31.03.1898, Казань). В связи с 
этим получаемые комбинации следует рассматривать и с 
аналитических позиций, которые обеспечивают моделирование с применением информационных технологий.

Ключевые слова: композиции аффинных преобразований, 

функции преобразований, матрицы преобразования, визуализация в Visio, математический пакет Maple.

O.A. Grafskiy 
Doctor of Engineering, Professor,
Far Eastern State Transport University (FESTU),
47, Seryshev St., Khabarovsk, 680021, Russia
Types of Affine Transformations and Their 
Composition

Abstract. Known types of affine transformations which can be 

received as the resulting transformations when performing a combination as works of two other transformations are considered. 
Possibility of creation of the considered combinations as in the 
constructive way, and analytically on the removed dependences of 
functions of transformation is investigated. "The affine and projective geometry" by means of graphic AutoCAD packages, the COMPASS, 
or Microsoft Office Visio, and disciplines "Computing geometry" 
with application of a mathematical Maple package in which combinations of geometrical transformations are carried out by means 
of multiplication of matrixes is planned to use the received results 
in educational process when performing settlement and graphic 
works as students on discipline. These disciplines are studied by 
students in the direction 09.03.01 – Informatics and computer 
facilities (a profile: Systems of the automated design) and to the 
direction 09.03.03 – Applied informatics (a profile: Applied informatics in design).

Field of activity of affine geometry from a position of the the
ory of groups F. Klein respectively are subgroups of affine transformations. In known sources studying of affine transformations from 
perspective and affine compliances is offered (relationship), compression (stretching), slanting symmetry, shift and their compositions 
(multiplication, work) are considered further.

However, considering relationship on the plane, it is possible 

to notice that the coefficient of this transformation is negative size. 
Therefore, at this transformation there is an axial symmetry. Therefore, 
the purpose of the real work is definitions of such compositions at 
which performance there is a possibility of modeling of certain 
known affine transformations as resultants. We will in passing cite: 
"We will notice synthesis and the analysis, not in mathematical, 
and in general-logical sense of the word are absolutely equal, and 
in any research they constantly intertwine with each other; therefore, there can hardly be a speech about providing domination to 
one of these tools of human thought" (from the minutes of Physical 
and mathematical society of 31.03.1898, Kazan). In this regard, 
the received combinations should be considered and from analytical positions which provide modeling with application of information technologies.

Keywords: compositions of affine transformations, functions of 

transformations, transformation matrixes, visualization in Visio, a 
mathematical Maple package.

1. Общие положения

Полем деятельности аффинной геометрии с по
зиции теории групп Ф. Клейна [7] соответственно 
являются подгруппы аффинных преобразований. 
В известных источниках [5; 13; 19; 21] предлагается 
изучение аффинных преобразований с перспективно-аффинных соответствий (родство), далее рассматриваются сжатие (растяжение), косая симметрия, 
сдвиг и их композиции (умножение, произведение).

Однако, рассматривая на плоскости родство, мож-

но заметить, что коэффициент этого преобразования 
является отрицательной величиной [8]. Следовательно, 
в этом преобразовании присутствует осевая симметрия 
[6]. Поэтому целью настоящей работы является определений таких композиций, при выполнении которых 
появляется возможность моделирования определен
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 3. 11–16                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2016