Математические основы вычислительной механики жидкости, газа и плазмы

К.В. БРУШЛИНСКИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ 
ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ

Ê.Â. Áðóøëèíñêèé
Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû âû÷èñëèòåëüíîé ìåõàíèêè æèäêîñòè, ãàçà è ïëàçìû: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / Ê.Â. Áðóøëèíñêèé –
Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2017. – 272 ñ.

ISBN 978-5-91559-224-6

Âû÷èñëèòåëüíàÿ ìåõàíèêà – ñîâðåìåííàÿ îáëàñòü íàóêè,
ñîïðîâîæäàþùàÿ ñîçäàíèå è ðàçâèòèå íîâîé òåõíèêè. Îíà
äîïîëíÿåò è îáëåã÷àåò âîçìîæíîñòè âñå áîëåå ñëîæíûõ òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è  ïîçâîëÿåò ñýêîíîìèòü íà âñå áîëåå
äîðîãîñòîÿùèõ ýêñïåðèìåíòàõ. Åå ñîäåðæàíèåì ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è áîëüøîé îáúåì
ãðîìîçäêèõ ðàñ÷åòîâ ñ ïðèìåíåíèåì áûñòðî ñîâåðøåíñòâóþùåéñÿ âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè. Ýôôåêòèâíîñòü òîãî è äðóãîãî òðåáóåò ãðàìîòíîãî ïðîíèêíîâåíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêóþ
ïðèðîäó ïîñòàâëåííûõ çàäà÷ è ïðèìåíÿåìûõ äëÿ èõ ðåøåíèÿ
÷èñëåííûõ ìåòîäîâ.
 ó÷åáíîì ïîñîáèè èçëîæåíû, ñ îäíîé ñòîðîíû, ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû ìåõàíèêè æèäêîñòè, ãàçà è ïëàçìû, ñ äðóãîé –
íåêîòîðûå òåîðåòè÷åñêèå âîïðîñû ñîâðåìåííîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè; òåì ñàìûì îáðàùàåòñÿ âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ íà
åäèíñòâî ðàçíûõ íà ïåðâûé âçãëÿä ðàçäåëîâ íàóêè. Ýòè âîïðîñû èëëþñòðèðóþòñÿ ïðèìåðàìè ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ òèïîâ
çàäà÷.
Êíèãà ðàññ÷èòàíà íà ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ, àñïèðàíòîâ,
à òàêæå íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è ïðåïîäàâàòåëåé, èíòåðåñóþùèõñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëèðîâàíèåì â ñîâðåìåííûõ çàäà÷àõ ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä.

© 2016, Ê.Â. Áðóøëèíñêèé
© 2017, ÎÎÎ «Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-224-6

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава 1. Математический аппарат газодинамики . . . . . . . . . . . .
13

§ 1.1. Уравнения газодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.1. Законы сохранения — физический смысл уравнений . . . .
13
1.1.2. Сведения из термодинамики. Уравнение состояния . . . . .
16
1.1.3. Уравнения газодинамики идеального газа. Консервативная
и простейшая формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.4. Уравнения акустики. Волновое уравнение. Линейное уравнение переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
§ 1.2. Теория характеристик систем квазилинейных уравнений . . . . .
23
1.2.1. Характеристики систем уравнений первого порядка . . . .
23
1.2.2. Гиперболичность и эволюционность . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.3. Соотношения на характеристиках. . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.2.4. Характеристики систем многомерных уравнений. . . . . . .
28
1.2.5. Характеристики системы уравнений газодинамики . . . . .
30
1.2.6. Характеристики и постановки задач с уравнениями газодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.2.7. Двумерные стационарные течения газа . . . . . . . . . . . . .
35
§ 1.3. Квазиодномерное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.3.1. Модель течений газа в узких трубках. . . . . . . . . . . . . .
37
1.3.2. Стационарные течения. Сопло Лаваля . . . . . . . . . . . . . .
42
§ 1.4. Теория разрывных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.4.1. Образование разрывов в решениях одного квазилинейного
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.4.2. Обобщенные решения систем уравнений . . . . . . . . . . . .
51
1.4.3. Разрывы в решениях уравнений газодинамики . . . . . . . .
52
1.4.4. Распад произвольного разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
§ 1.5. Модели несжимаемой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
1.5.1. Уравнения гидродинамики и газодинамики . . . . . . . . . .
61
1.5.2. Теория «мелкой воды» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

Оглавление

§ 1.6. Диссипативные процессы в газах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
1.6.1. Уравнения газодинамики с вязкостью и теплопроводностью
66
1.6.2. Эволюционность уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1.6.3. Гладкость решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.6.4. Искусственная вязкость Неймана–Рихтмайера . . . . . . . .
72
1.6.5. Пограничные слои . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

Глава 2. Автомодельные задачи математической физики . . . . . .
80

§ 2.1. Методы подобия. Автомодельность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
§ 2.2. Задача о сферическом поршне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
§ 2.3. Задача о сильном взрыве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
§ 2.4. Задача о распространении тепла от точечного источника . . . . .
91
§ 2.5. Определение показателей автомодельности. . . . . . . . . . . . . . .
94
§ 2.6. Задача о сходящейся сферической ударной волне . . . . . . . . . .
96
§ 2.7. Задача о схлопывании сферической полости . . . . . . . . . . . . . .
106

Глава 3. Магнитогазодинамические модели плазмы . . . . . . . . . .
115

§ 3.1. Уравнения магнитной газодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
3.1.1. Законы сохранения. Консервативная форма уравнений. . .
115
3.1.2. Неконсервативные формы уравнений . . . . . . . . . . . . . .
118
§ 3.2. Гиперболичность уравнений МГД, характеристики, соотношения
на них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
§ 3.3. Разрывы в решениях уравнений МГД . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
§ 3.4. Симметрия в задачах магнитной газодинамики. Типичные классы
двумерных МГД-течений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
3.4.1. Примеры симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
3.4.2. Двумерные МГД-течения в поперечном магнитном поле .
129
3.4.3. Двумерные МГД-течения в плоскости магнитного поля . .
131
3.4.4. Двумерные МГД-задачи с проводниками, погруженными в
плазму . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
3.4.5. Двумерные МГД-задачи с произвольно ориентированными
скоростью и магнитным полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
§ 3.5. Квазиодномерное приближение в магнитной газодинамике . . . .
134
3.5.1. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
3.5.2. Стационарные течения. Первые интегралы. МГД-сопло Лаваля с поперечным магнитным полем . . . . . . . . . . . . . .
140
3.5.3. МГД-течения в присутствии продольного магнитного поля
142
§ 3.6. Диссипативные процессы в магнитной газодинамике . . . . . . . .
150
§ 3.7. Математические модели плазмостатики . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
3.7.1. Равновесные конфигурации плазмы в магнитных ловушках.
Симметрия. Уравнение Грэда–Шафранова . . . . . . . . . . .
152
3.7.2. Пример расчета равновесных конфигураций . . . . . . . . . .
157

Оглавление
5

§ 3.8. О существовании, единственности и устойчивости решения задач
в математических моделях взаимодействия реакции и диффузии
160
§ 3.9. Математические вопросы теории МГД-устойчивости . . . . . . . .
163
3.9.1. Линейная теория устойчивости равновесия плазмы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
3.9.2. Схема исследования устойчивости конфигураций в плазменном цилиндре. Z-пинч . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
3.9.3. Об устойчивости конфигураций в цилиндре с продольным
магнитным полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
§ 3.10. Связь между диффузионной и МГД-проявлениями неустойчивости
175

Глава 4. О численном решении задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180

§ 4.1. Некоторые общие вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
4.1.1. О постановке задач и системах координат . . . . . . . . . . .
180
4.1.2. Единицы измерения. Безразмерные уравнения и параметры
181
§ 4.2. Разностные схемы. Исчисление конечных разностей . . . . . . . .
185
§ 4.3. Примеры разностных схем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
4.3.1. Расщепление по физическим процессам. . . . . . . . . . . . .
188
4.3.2. Примеры разностных схем для гиперболических уравнений
и систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
4.3.3. Примеры разностных схем для параболических уравнений
192
§ 4.4. Основные положения теории разностных схем . . . . . . . . . . . .
193
4.4.1. Цели и задачи теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
4.4.2. Аппроксимация, устойчивость, сходимость . . . . . . . . . .
195
4.4.3. Исследование аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
4.4.4. Об устойчивости
разностных схем для эволюционных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
§ 4.5. Критерии устойчивости разностных схем . . . . . . . . . . . . . . . .
205
4.5.1. Принцип максимума — достаточный критерий устойчивости
206
4.5.2. Необходимый признак устойчивости Куранта, Фридрихса и
Леви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
210
4.5.3. О спектральном методе исследования устойчивости . . . .
213
4.5.4. Спектр линейных разностных операторов с постоянными
коэффициентами на неограниченной прямой . . . . . . . . .
214
4.5.5. Примеры исследования устойчивости спектральным методом
218
4.5.6. Спектры разностных операторов на полупрямых . . . . . . .
220
4.5.7. Исследование устойчивости разностных схем на конечном
отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
§ 4.6. Расчеты разрывных решений. Схема Годунова . . . . . . . . . . . .
224
4.6.1. «Схемная» вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
4.6.2. Схемы, сохраняющие монотонность . . . . . . . . . . . . . . .
225
4.6.3. Схема для уравнений акустики . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
4.6.4. Схема Годунова для уравнений газодинамики . . . . . . . .
231

Оглавление

§ 4.7. Схемы годуновского типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
4.7.1. Схемы с коррекцией потоков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
4.7.2. Невозрастание полной вариации . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
§ 4.8. Решение задач с разностными аналогами параболических уравнений
241
4.8.1. Неявные разностные схемы в одномерных задачах. Метод
прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
4.8.2. Многомерные задачи. Методы переменных направлений.
Расщепление по направлениям . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
4.8.3. Продольно-поперечная прогонка . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
§ 4.9. Итерационные методы решения краевых задач с эллиптическими
уравнениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
4.9.1. Итерационные методы установления . . . . . . . . . . . . . . .
250
4.9.2. Простейшая явная схема. Скорость сходимости . . . . . . .
252
4.9.3. Скорость сходимости с продольно-поперечной прогонкой .
255
4.9.4. Ускорение сходимости. Полиномы Чебышева . . . . . . . . .
257

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261

ВВЕДЕНИЕ

Механика жидкости, газа и плазмы — обширная область современной науки — существует по крайней мере со времен Архимеда и интенсивно продолжает развиваться в наши дни. Интерес к этой области легко объяснить разнообразными и необходимыми приложениями к навигации, воздухоплаванию, добыче и транспортировке энергоресурсов, а
в последнее время к решению проблем атомной физики и управляемого
термоядерного синтеза, освоения космоса, т. е. к актуальным вопросам
научно-технического прогресса, относящимся к развитию энергетики,
транспорта и созданию новых видов техники, в том числе крайне необходимой оборонной техники. К этому следует добавить чисто научные,
а не исключено, что в недалеком будущем и прикладные, интересы к
проблемам астрофизики.
Задачи механики содержат большой объем количественной информации и требуют установления в ней закономерностей. По этой причине
механика тесно соприкасается и переплетается с другой, тоже древнейшей, наукой — математикой, вплоть до того, что часто употребляемые
термины «механико-математические» и «физико-математические» воспринимаются как единые неразрывные понятия. Иными словами, рабочим языком механики являются математические термины, уравнения,
правила и т. п.
В частности, современный язык механики жидкости и газа — гидромеханика, точнее, уравнения гидродинамики и газодинамики введен в
употребление в XVIII веке Эйлером и Даниилом Бернулли, а уравнения
магнитной газо- и гидродинамики, базирующиеся на той же гидромеханике, работах Ампера и уравнениях Максвелла, — шведским физиком
Х. Альфвеном в середине ХХ века. В результате основной математический аппарат механики жидкости, газа и плазмы состоит из дифференциальных уравнений с частными производными, нелинейными (точнее,
квазилинейными), что существенно отличает их от традиционных линейных уравнений математической физики, изучаемых в университетах
и технических вузах.

Введение

Задачи с уравнениями механики практически во всех случаях не
имеют явных так называемых аналитических точных решений. Тем не
менее, потребность в их решении со временем быстро возрастает, поскольку оно облегчает и расширяет возможности теоретических исследований и позволяет сэкономить на громоздких дорогостоящих, а иногда и принципиально невозможных экспериментах. Выход из положения может быть только в том, чтобы решать задачи приближенно. Практика такого решения возникла в середине ХХ века и широко распространилась в науке и технике. Она потребовала численных методов решения задач с уравнениями в частных производных, создание и исследование которых определили современное состояние вычислительной
математики. Необходимость выполнять огромное число утомительных
однотипных вычислений вызвала к жизни создание электронно-вычислительных машин (ЭВМ), немыслимая ранее производительность которых продолжает расти. Применение новой техники привело к созданию
еще одного нового направления работ — составлению программ и умению проводить громоздкие расчеты с их помощью, причем требования
к программам повышаются по мере увеличения быстродействия вычислительных средств.
Приближенное решение математических задач, связанных с научными и техническими проблемами, называют в настоящее время математическим моделированием. Это понятие включает в себя несколько
этапов: четкое понимание цели исследования в терминах исходной проблемы; грамотную постановку задачи в терминах механики и ее математического аппарата; создание или выбор из числа известных численного метода приближенного решения задачи; программирование с учетом
возможностей вычислительной техники; проведение расчетов или серии расчетов («вычислительных экспериментов») с разными значениями параметров задачи; обработку и анализ результатов расчетов с точки
зрения первоначально поставленной цели. Отсюда следует, что современный специалист в области математического моделирования должен
по крайней мере быть в курсе и правильно ориентироваться во всех
перечисленных этапах работы.
Цель предлагаемой книги — помочь начинающим специалистам ориентироваться в вопросах стыковки постановок механико-математических задач и численных методов их решения, т. е. уметь грамотно взглянуть на численные методы с точки зрения внутреннего содержания и
особенностей задачи и в то же время оценить постановку задачи на
предмет возможностей ее численного решения. Для этого желательно хорошо чувствовать математическую природу уравнений механики
сплошных сред, чтобы учитывать ее при постановке прикладных задач

Введение
9

и выборе численных методов, которые предполагается использовать для
их решения.
Автор не ставит перед собой задачи дать подробный обзор современной литературы в рассматриваемой области, но считает нужным назвать
ряд источников, которые в той или иной степени относятся к обсуждаемым здесь тематике и методологическим подходам.
В середине XX века выдающиеся математики, привлеченные к численному решению актуальных задач газодинамики и теплопроводности, обратили специальное внимание на природу и особенности задач
с нелинейными дифференциальными уравнениями механики сплошных
сред. Соответствующие вопросы и возможные в ту пору ответы составили содержание известных современным специалистам книги Р. Куранта
и К. Фридрихса [1] и обзорной статьи И. М. Гельфанда [2]. В течение
десятков лет в качестве наиболее распространенных учебных, научных
и справочных изданий пользуются известностью два тома «Теоретической физики» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [3, 4] и первая отечественная книга по магнитной газодинамике А.Г. Куликовского и Г.А. Любимова [5]. Среди изданий последнего времени обратим внимание на
монографию А.Г. Куликовского, Н.В. Погорелова и А.Ю. Семенова [6],
название которой и тематика взаимоотношения задач механики сплошных сред с их математическими моделями представляются автору близкими к предлагаемой книге. Она содержит также обзор численных методов, используемых при решении задач механики сплошных сред. В
том же ключе написана небольшая (и без численных методов) книжка
Дж. Марсдена и А. Чорина [7]. Заслуживают внимания глубокие по
содержанию учебные пособия по механике сплошных сред, составленные физиками по материалам прочитанных ими лекционных курсов:
Т. Е. Фабером [8], Ю. П. Райзером [9] и В. П. Крайновым [10]. Любознательному читателю полезно ознакомиться с взглядами разных авторов на одни и те же проблемы и, может быть, сформировать свой собственный взгляд. Перечисленные источники помогут желающим более
подробно ознакомиться с интересующими их конкретными задачами.
Общая цель названных и неназванных текстов — подчеркнуть непрерывное единство фундаментальных и прикладных аспектов науки.
Содержание книги структурировано следующим образом.
Глава 1 посвящена уравнениям газодинамики, как наиболее типичному и в то же время простому объекту механики сплошных сред. Здесь
говорится об их физическом и, может быть, даже философском смысле — о законах сохранения. Основное внимание уделено математической природе уравнений, которая в значительной степени определяется характеристиками и разрывными решениями. Указана родственная
связь уравнений с хорошо известными линейными уравнениями аку

Введение

стики, переноса и волновым. Приведены некоторые примеры полезных
упрощающих предположений, позволяющих более наглядно увидеть существенные общие закономерности исследуемых процессов. Указано место и особенности уравнений механики несжимаемой жидкости в теории уравнений. Отдельный параграф посвящен моделям вязкости и теплопроводности и их влиянию на тип уравнений, постановку задач и
методы решения.
В гл. 2 выделен класс автомодельных задач математической физики, которые допускают группу подобных преобразований, в результате
чего сокращается число независимых переменных и упрощается процесс решения. Эти задачи представлены, во-первых, задачами газодинамики о течении газа под действием движущегося поршня и в результате сильного взрыва, хорошо известными благодаря выдержавшей
много изданий книге Л. И. Седова [11]. Во-вторых, изложена задача о
распространении тепла от точечного источника в среде с нелинейной
зависимостью теплопроводности от температуры, решенная Я. Б. Зельдовичем и А. С. Компанейцем [12]. Она известна специалистам, но, к
сожалению, ее трудно встретить в популярной научной или учебной
литературе. Два последних параграфа посвящены близким по математическому аппарату задачам газодинамики — о сходящихся сферических ударной волне и полости. Первая из них известна как «задача
Гудерлея» по имени ее автора [13] и также редко встречается в литературе (см., например, монографии Е. И. Забабахина [14], Г. И. Баренблатта [15, 16] и А. Н. Крайко [17]). Обе задачи подробно исследованы
группой советских авторов под руководством И. М. Гельфанда в 1950-х
годах и впервые опубликованы в 1963 г. в обзоре К. В. Брушлинского
и Я. М. Каждана [18]. Изложение обеих задач следует этому обзору и
имеет целью сделать его более доступным современному читателю.
В гл. 3 представлены особенности механики сплошных сред, отличающие полностью ионизованную плазму от электрически нейтральных
газов. Ее математический аппарат — магнитная газодинамика (МГД)
является естественным расширением и обобщением тех вопросов, которые рассмотрены в гл. 1 в применении к газодинамике. Обращено
внимание как на единство и общность проблем и подходов в этих разделах механики, так и на специфические особенности, которые магнитное поле, электрический ток и их взаимодействие вносят в МГДмодели среды. Отдельные параграфы посвящены математическим моделям плазмостатики и математической теории устойчивости в плазме,
которые весьма актуальны в работах по управляемому термоядерному
синтезу. Глава 3 в целом сосредоточена на основных математических
проблемах МГД, а примеры конкретных задач лишь иногда кратко упоминаются. Более подробно с МГД-моделями в задачах физики плазмы