Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Логос
Под ред.:
Смирнов Юрий Михайлович
Год издания: 2005
Кол-во страниц: 376
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 5-94010-375-8
Артикул: 619978.01.99
Доступ онлайн
400 ₽
340 ₽
В корзину
Представлены задачи по аналитической геометрии и линейной алгебре. Теоретические задачи, как правило, сопровождаются упражнениями различной трудности, способствующими самостоятельной проверке обучаемыми степени понимания ими новых определений и алгоритмов. По сравнению с первым изданием (М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000) во втором содержится около 300 новых либо существенно переработанных задач, расширены теоретические справки, в ответах к отдельным задачам даны краткие пояснения.
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов университетов, обучающихся по специальностям «Математика» и «Прикладная математика».
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 01.03.04: Прикладная математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
СБОРНИК ЗАДАЧ по аналитической геометрии и линейной алгебре под редакцией Ю.М.Смирнова Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов университетов, обучающихся по специальностям «Математика» и «Прикладная математика» Л.А.Алания, С.М.Гусейн-Заде, И.А.Дынников, В.М.Мануйлов, Д.В.Миллионщиков, А.С.Мищенко, Е.А.Морозова, Т.Е.Панов, М.М.Постников, Е.Г.Скляренко, Е.В.Троицкий
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Часть I Аналитическая геометрия Глава 1 Системы координат на плоскости и в пространстве . . . . . 13 § 1.1. Системы координат: первые задачи . . . . . . . . . . . . . 13 § 1.2. Полярные, сферические и цилиндрические системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 § 1.3. Элементы векторной алгебры и аффинные системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 § 1.4. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 § 1.5. Ориентация, векторное и смешанное произведения . . . . . 26 § 1.6. Скалярное, векторное и смешанное произведения в аффинной системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Глава 2 Геометрические места точек, составление уравнений кривых на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 § 2.1. Эллипс, гипербола, парабола и их простейшие свойства . . 36 § 2.2. Составление уравнений кривых на плоскости . . . . . . . . 41 Глава 3 Прямые на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 § 3.1. Составление уравнения прямой по различным способам ее задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 § 3.2. Взаимное расположение прямых на плоскости. Пучки прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 § 3.3. Линейные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 § 3.4. Метрические задачи на прямую: перпендикуляры, углы и расстояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 § 3.5. Метрические задачи на плоскости в произвольной аффинной системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Оглавление Глава 4 Прямые и плоскости в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . 58 § 4.1. Составление уравнений прямых и плоскостей . . . . . . . . 58 § 4.2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Пучки и связки плоскостей. Связки прямых . . . . . . . . 62 § 4.3. Линейные неравенства в пространстве . . . . . . . . . . . 69 § 4.4. Метрические задачи в пространстве . . . . . . . . . . . . . 70 § 4.4. Метрические задачи в пространстве в произвольной аффинной системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Глава 5 Аффинные и ортогональные замены координат . . . . . . . . 76 Глава 6 Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 § 6.1. Составление уравнений кривых второго порядка . . . . . . 85 § 6.2. Нахождение вида и расположения линии второго порядка по уравнению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 § 6.3. Ортогональные инварианты линий второго порядка . . . . 90 § 6.4. Аффинные типы линий второго порядка . . . . . . . . . . 92 § 6.5. Касательные к линии второго порядка . . . . . . . . . . . 93 § 6.6. Диаметры, взаимно сопряженные, и асимптотические направления линий второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 § 6.7. Пучки и связки линий второго порядка . . . . . . . . . . . 101 Глава 7 Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 § 7.1. Составление уравнений поверхностей . . . . . . . . . . . . 106 § 7.2. Простейшие свойства поверхностей второго порядка . . . . 110 § 7.3. Приведение поверхности к каноническому виду . . . . . . 112 § 7.4. Ортогональные инварианты поверхностей второго порядка . 115 § 7.5. Касательные и диаметральные плоскости. Прямолинейные образующие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 § 7.6. Плоские сечения поверхностей второго порядка . . . . . . 125 Глава 8 Аффинные и изометрические преобразования . . . . . . . . . 130 § 8.1. Аффинные преобразования плоскости . . . . . . . . . . . . 131 § 8.2. Аффинные преобразования пространства . . . . . . . . . . 134 § 8.3. Аффинные преобразования и линии второго порядка . . . 135 § 8.4. Изометрические преобразования плоскости и пространства . 138
Оглавление 5 Глава 9 Проективная геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 § 9.1. Проективная прямая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 § 9.2. Проективные преобразования прямой . . . . . . . . . . . . 144 § 9.3. Проективная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 § 9.4. Проективные преобразования плоскости . . . . . . . . . . 149 § 9.5. Линии второго порядка в проективных координатах . . . . 151 § 9.6. Поляритет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Часть II Линейная алгебра Глава 10 Основные понятия линейной алгебры . . . . . . . . . . . . . . 159 § 10.1. Векторное пространство, линейная независимость . . . . 159 § 10.2. Базис, размерность, координаты . . . . . . . . . . . . . . 163 § 10.3. Линейные подпространства и операции над ними . . . . . 166 § 10.4. Линейные функции и отображения . . . . . . . . . . . . . 171 § 10.5. Аффинные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Глава 11 Операторы в линейных пространствах . . . . . . . . . . . . . 179 § 11.1. Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . 179 § 11.2. Ядро и образ линейного оператора. Инвариантные подпространства. Проекторы. Комплексификация и овеществление . . 182 § 11.3. Подстановка линейного оператора в многочлен. Аннулирующие многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 § 11.4. Собственные значения, собственные векторы . . . . . . . 189 § 11.5. Жорданова нормальная форма линейных операторов . . 194 § 11.6. Подстановка оператора (матрицы) в функцию числового аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 § 11.7. Нахождение инвариантных подпространств . . . . . . . . 200 Глава 12 Билинейные и квадратичные функции . . . . . . . . . . . . . 202 § 12.1. Общие сведения о билинейных и полуторалинейных функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 § 12.2. Симметрические и кососимметрические, эрмитовы и косоэрмитовы функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 § 12.3. Приведение к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . 208
Оглавление Глава 13 Пространства со скалярным произведением . . . . . . . . . . 211 § 13.1. Элементарные свойства скалярного произведения . . . . 211 § 13.2. Ортогональные системы векторов . . . . . . . . . . . . . 216 § 13.3. Матрица Грама. n-мерный объем . . . . . . . . . . . . . . 221 § 13.4. Ортогональное дополнение . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 § 13.5. Расстояния и углы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 § 13.6. Геометрия аффинных евклидовых пространств . . . . . . 230 § 13.7. n-мерный куб и n-мерный симплекс . . . . . . . . . . . . 233 § 13.8. Метод наименьших квадратов и интерполяция функций . 235 Глава 14 Операторы в пространствах со скалярным произведением . 240 § 14.1. Операторы в евклидовом (эрмитовом) пространстве . . . 241 14.1.1. Сопряженный оператор (241). 14.1.2. Самосопряженные операторы (244). 14.1.3. Кососимметрические и косоэрмитовы операторы (250). 14.1.4. Ортогональные и унитарные операторы. Группы преобразований (254). 14.1.5. Полярное разложение (264). 14.1.6. Нормальные операторы (265). 14.1.7. Операторы в евклидовых пространствах и системы линейных уравнений (268). § 14.2. Операторы в псевдоевклидовых, эрмитовых, симплектических пространствах и в пространствах с общим скалярным произведением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 14.2.1. Сопряженные операторы (273). 14.2.2. Операторы, сохраняющие скалярное произведение (изометрические операторы) (274). 14.2.3. Самосопряженные (симметрические, эрмитовы) и кососимметрические (косоэрмитовы) операторы (277). Глава 15 Квадратичные функции и поверхности второго порядка . . . 280 § 15.1. Квадратичные функции в евклидовом пространстве . . . 280 § 15.2. Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Глава 16 Тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 § 16.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 § 16.2. Тензорные произведения пространств . . . . . . . . . . . 289 § 16.3. Симметрические и кососимметрические тензоры . . . . . 292 § 16.4. Тензоры в евклидовых и симплектических пространствах . 296 § 16.5. Операция Ходжа и евклидова структура . . . . . . . . . 299 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Светлой памяти наших Учителей: Павла Сергеевича Александрова, Сергея Владимировича Бахвалова, Бориса Николаевича Делоне, Александра Геннадиевича Куроша, Алексея Серапионовича Пархоменко, Игоря Владимировича Проскурякова посвящается настоящая книга ПРЕДИСЛОВИЕ к первому изданию Многолетнее преподавание курсов аналитической геометрии и линейной алгебры убедила нас в необходимости создания нового единого сборника задач по этим двум дисциплинам. Настоящая книга отражает обновление курса линейной алгебры, предпринятое С.П. Новиковым в 70–80-х годах и основанное на активном применении методов линейной алгебры в аппарате современной математической физики и возросшей роли прикладных методов линейной алгебры. Объединение в одной книге задач по аналитической геометрии и линейной алгебре позволяет подчеркнуть геометрические аспекты линейной алгебры и сделать ее объекты более наглядными. Книга состоит из двух частей. В первой части содержатся задачи по традиционному курсу аналитической геометрии, а во второй — по курсу линейной алгебры и геометрии. Мы старались почти все теоретические задачи сопровождать упражнениями разной степени трудности, чтобы читатель с их помощью сразу же мог проверить, как он понял новые определения и алгоритмы. Составители с удовольствием благодарят рецензентов профессоров А.В. Зарелуа и А.В. Чернавского за конструктивную критику и доцента Н.Н. Ченцову за помощь в подборе задач по вычислительным методам линейной алгебры.
Предисловие ПРЕДИСЛОВИЕ ко второму изданию Второе издание приурочено к замечательному юбилею Московского университета. Авторам особенно приятно, что оно выходит в серии “классический университетский учебник”. Во втором издании переделано и добавлено около трехсот задач, существенно переработаны, в частности, главы 6, 10 и 11. Расширены теоретические справки, в ответах к ряду задач даны краткие указания, устранены замеченные недостатки. Авторы благодарны своим студентам, коллегам за замечания и предложения по улучшению текста. Особенно отметим вклад И.В.Аржанцева. В течение многих лет курсы аналитической геометрии и линейной алгебры на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова преподавал Михаил Михайлович Постников, выдающийся математик и педагог. 27 мая 2004 года он безвременно ушел из жизни. Грустно сознавать, что новое издание выйдет уже без него. Ниже приведен список задачников, которые использовались нами при составлении настоящего сборника задач. Особенно большое влияние оказали задачники [2] и [10], давно ставшие классическими. 1. А н д р е е в К . А . Сборник упражнений по аналитической геометрии. 2-е изд. — М., 1904. 2. Б а х в а л о в С.В., М о д е н о в П.С., П а р х о м е н к о А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. 2-е изд. — М.: Гостехиздат, 1957. 3. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Поспелов В.В. Задачи по курсу «Методы вычислений». Учебное пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1989. 4. Б е к л е м и ш е в а Л . А ., П е т р о в и ч А . Ю ., Ч у б а р о в И . А . Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. — М.: Наука, 1987. 5. Гюнтер И.М, Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. 11-е изд. — М.: Гостехиздат, 1947. 6. Ж и т о м и р с к и й О . К . Аналитическая геометрия: конспект, задачи с решениями, задачи для упражнений. — Л.: Изд-во «Сеятель» Е.В. Высоцкого, 1924.
Доступ онлайн
400 ₽
340 ₽
В корзину