Методы математической физики

Введение 

1 

Министерство  образования  и  науки  Российской  Федерации 
Сибирский  федеральный  университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
В. А. Барашков 
 
 
МЕТОДЫ   
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ   
ФИЗИКИ   
 
 
Рекомендовано Учебно-методическим объединением по 
образованию в области радиотехники, электроники, 
биомедицинской техники и автоматизации в качестве 
учебного пособия для студентов вузов по направлению 
210200 «Проектирование и технология электронных 
средств» 31 мая 2010 г. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2012 

Введение 

2 

УДК 53:51(07) 
ББК 22.311я73 
        Б245 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы:  
Т. Т. Ереско, д-р техн. наук, зав. кафедрой «Основы конструирования машин» Сибирского государственного аэрокосмического университета им. акад. М. Ф. Решетнёва; 
В. В. Патрушев, д-р техн. наук, вед. науч. сотр. Института химии         
и химической технологии СО РАН 
 
 
 
 
 
 
Барашков, В. А.  
Б245         Методы математической физики : учеб. пособие / В. А. Барашков. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2012. – 152 с.  
ISBN 978-5-7638-2497-1 
 
Рассмотрены вопросы математического моделирования процессов, связанных с расчетом собственных частот, форм колебаний устройств, виброперегрузок и расчетами тепловых режимов электронных аппаратов, которые необходимо учитывать при проектировании и эксплуатации радиоэлектронных устройств. Описаны отдельные динамические характеристики элементов конструкций электронной техники, приводимые к системам с сосредоточенными и распределенными параметрами. 
Предназначено для студентов всех специальностей и направлений укрупненных групп 210000 «Электронная техника, радиотехника и связь» и 200000 
«Приборостроение и оптоэлектроника». 
 
 
 
УДК 53:51(07) 
ББК 22.311я73 
 
ISBN 978-5-7638-2497-1                                                              Сибирский федеральный  
                                                                                                           университет, 2012 

Оглавление 

3 

 
ОГЛАВЛЕНИЕ  
 
ВВЕДЕНИЕ ……………………....................................................... 
5
Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ     
              ФИЗИЧЕСКИХ  ПРОЦЕССОВ……………………..…… 
7
1.1. Дифференциальные  уравнения   и  методы  их  решения… 
8
1.2. Аналоговое  моделирование для решения  задач  
       математической  физики……………………………………… 
11
Глава 2. ОБЫКНОВЕННЫЕ   
              ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ   
              В ИССЛЕДОВАНИИ МЕХАНИЧЕСКИХ 
              КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ..…………………… 
15
2.1. Моделирование колебаний механической системы  
       с одной степенью свободы……………………………………. 
15
2.2. Решение обыкновенных линейных  
       дифференциальных уравнений  
       с постоянными коэффициентами ……………………………. 
18
Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  УРАВНЕНИЯ   
               В  ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ   
               ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО  ТИПА ……………………….. 
50
3.1. Задачи, приводящие к волновому уравнению……………… 
50
3.2. Начальные и граничные условия для волнового уравнения  
58
3.3. Решение волнового уравнения. Метод Фурье  
       (метод разделения переменных)……………………………… 
59
3.4. Определение  частот  и  форм  собственных   
       продольных колебаний стержней …………………………… 
62
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  УРАВНЕНИЯ   
               В  ЧАСТНЫХ  ПРОИЗВОДНЫХ  
               ПАРАБОЛИЧЕСКОГО  ТИПА ………………..……….. 
70
4.1. Основные понятия из теории тепломассообмена …………... 
70
4.2. Основы  теории  теплопроводности ………………………… 
71
4.3. Внешняя  теплопроводность  (теплообмен на поверхности)  
78
4.4. Анализ  начальных  и  граничных  условий  для  задач   
       на  теплопроводность…………………………………………. 
80
4.5. Уравнение  диффузии ………………………………………… 
82
 

Оглавление 

4 

 
4.6.  Обобщенное  дифференциальное  уравнение  диффузии…. 
85
4.7. Анализ  начальных  и  граничных  условий  для  задач   
       на  диффузию ………………………………………………… 
86
4.8. Решение уравнения теплопроводности (диффузии)  
       методом разделения переменных (методом Фурье)................ 
87
4.9. Преобразование  Фурье …………………………………….. 
92
Глава 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  УРАВНЕНИЯ   
               В  ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ  
               ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО  ТИПА …………………………... 
98
5.1. Стационарные  задачи на теплопроводность, приводящие  
       к уравнениям Лапласа, Пуассона………………………….…. 
98
5.2. Основные положения гидродинамики. Потенциальное  
       течение жидкости……………………………………………… 103
5.3. Стационарный электрический ток …………………………... 
107
5.4. Уравнения  Лапласа, Пуассона ……………………………… 
108
5.5. Уравнение  Лапласа  в  цилиндрических  координатах..…… 109
5.6. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа  
       и Пуассона……………………………………………………... 
111
Глава 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ  ФУНКЦИИ ……………………..….. 
114
6.1. Задача Штурма – Лиувилля для круга ……………………… 
114
6.2.   Цилиндрические функции …………………………………. 
115
Глава 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  УРАВНЕНИЯ  
               В ЧАСТНЫХ  ПРОИЗВОДНЫХ    
               ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА ………….…………………... 
121
7.1. Изгибные  (поперечные)  колебания  стержней …………….. 121
7.2. Динамические  процессы  в  пластинах. Точное решение  
       для расчета собственных частот колебаний пластины……... 
127
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………. 131
ОТВЕТЫ  И  РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ………………………………… 132
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ  СПИСОК……………………………. 
148
 

Введение 

5 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
 
Математические методы получили широкое распространение в 
теоретической физике и практике инженерных расчетов, в частности 
относящихся к проектированию электронной аппаратуры. Специалистам в области создания новых средств электроники известно, что механические воздействия в форме вибраций оказывают существенное 
влияние на виброустойчивость и вибропрочность электронных 
средств, а расчеты теплового режима аппаратуры столь же важны, как 
и расчеты, связанные с их функциональным назначением. 
В учебном пособии собраны материалы, относящиеся  к исследованию механических колебательных и тепловых процессов в системах с сосредоточенными и распределенными параметрами, которые 
являются моделями реальных электронных конструкций, и результаты этих исследований могут быть использованы в практике инженерных расчетов. Теоретический материал сопровождается примерами 
задач с подробным разбором решений и упражнениями для самостоятельных занятий, что может способствовать развитию практических 
навыков заинтересованных читателей.  
Содержимое пособия поделено на главы, в которых рассматриваются физические процессы, моделируемые обыкновенными дифференциальными уравнениями и дифференциальными уравнениями в 
частных производных второго и четвертого порядков. Существенное 
место отведено методам их решения. Пособие рассчитано на лиц, 
имеющих общую подготовку по физике и математике, достаточную 
для восприятия изложенных вопросов. 
В главе 1 рассмотрены вопросы математического моделирования физических процессов,  в главе 2 анализируются колебательные 
процессы в системах с сосредоточенными параметрами, моделируемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, главы 3–5 
посвящены проблемам колебательных процессов  в системах с распределенными параметрами, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов,   6-я глава отведена специальным функциям, в главе 7 рассматриваются системы, 

Введение 

6 

анализ которых осуществляется с помощью дифференциальных уравнений четвертого порядка. 
Учебное пособие составлено в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования на основе материалов лекций и практических 
занятий, проводимых в Сибирском федеральном университете (СФУ) 
на кафедре приборостроения и наноэлектроники (ПСиНЭ) по курсу 
«Методы математической физики», и  предназначено для студентов, 
бакалавров и магистров  СФУ, обучающихся  по укрупненной группе 
направлений 210000 «Электронная техника, радиотехника и связь». 

1.1. Дифференциальные уравнения и методы их решения 

7 

 
Г л а в а  1 

 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ФИЗИЧЕСКИХ  ПРОЦЕССОВ  
 
 
Математическое моделирование – это метод исследования физических явлений с помощью специальных моделей, основанный на 
идентичности математического описания процессов в оригинале и 
модели. Преимуществом математического моделирования является 
то, что этот метод универсален, математические модели относительно 
просты и дешевы. Однако следует учитывать, что данный метод позволяет воспроизводить только ограниченный комплекс физических 
процессов, так как  при математическом описании явлений принята 
некоторая их идеализация. Последняя связана, с одной стороны, с необходимостью упрощения модели для успешного ее анализа, а с другой, что встречается довольно часто, – с недостаточностью знаний об 
исследуемом явлении или процессе.  
 

Рис. 1.1. Этапы математического моделирования 
 
Моделирование применяется в тех случаях, когда требуется, например, детальное изучение вполне конкретного процесса при неблагоприятных внешних условиях (слишком большие или слишком малые размеры системы, очень высокие давления, температуры и т. п.), 
когда прямые эксперименты просто невозможны или слишком дороги. В этом случае очень важно, чтобы математическая модель адекватно отражала свойства реальной системы. 

Выделение объектов моделирования и формулирование законов, их связывающих 

Составление  
математической  
модели 

Решение  
математи- 
ческих  
уравнений 

Анализ модели на ее 
соответствие 
объекту исследования 

Модернизация модели 

Глава 1. Математическое моделирование физических процессов 

8 

Математическая модель представляет собой уравнение (дифференциальное, интегральное, интегро-дифференциальное) или систему 
таких уравнений, содержащих определенный набор переменных. Задавая числовые значения переменных и решая составленные уравнения,  мы пытаемся ответить на вопрос о том, как поведет себя реальная физическая система (объект, процесс, явление) при изменении 
внешних или внутренних параметров. 
Изучение явлений с помощью математических моделей подразделяется на следующие этапы (рис. 1.1). 
 
 
1.1. Дифференциальные  уравнения    
и  методы  их  решения 
 
Существует огромное множество физических процессов и инженерных задач, описываемых с помощью дифференциальных уравнений. Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. В зависимости от числа независимых 
переменных и, следовательно, типа входящих в них производных 
дифференциальные уравнения  делятся на две различные категории: 
обыкновенные, содержащие одну независимую переменную и производные по ней, и уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производных по ним.  
 
Обыкновенные дифференциальные уравнения 

С помощью обыкновенных дифференциальных уравнений может быть решен ряд прикладных задач, касающихся исследования колебательных процессов. Особое место среди них занимают обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. С их помощью, например, анализируются колебания 
линейных и нелинейных систем с одной степенью свободы или колебания систем с конечным числом степеней свободы. В исследовании 
колебаний некоторых систем с распределенными параметрами 
(стержней и пластин) также находят применение эти уравнения. Ниже 
будут рассмотрены примеры постановки задач, сопряженных с решением обыкновенных дифференциальных уравнений, вместе с анализом дополнительных условий, способствующих  отысканию единственного решения. 

1.1. Дифференциальные уравнения и методы их решения 

9 

Дифференциальные уравнения в частных производных 

Многие задачи физики приводят к линейным дифференциальным уравнениям с частными производными. Мы ограничимся рассмотрением только тех задач, которые связаны с решением линейных 
дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков. Уравнение называется линейным, если оно является уравнением первой 
степени относительно неизвестной функции и всех ее производных. 
Порядком уравнения называется наивысший порядок входящих в него производных. 
Основными дифференциальными уравнениями математической 
физики, охватывающими широкий круг задач, для которых разработаны аналитические методы решения, являются линейные уравнения в 
частных производных второго порядка. В общем виде для двух независимых переменных  и неизвестной функции 
( , )
u x y  они выглядят 
следующим образом: 

2
2
2

2
2
2
( , , ,
,
)
0
u
u
u
u
u
A
B
C
F x y u
x
x y
y
x
y










 



,            (1.1) 

где А, В, С – коэффициенты, зависящие от переменных x и y, или постоянные числа. 
Классификация уравнений подобного типа осуществляется по 
величине дискриминанта (D =  B 2 – AC)  в  уравнении (1.1) [1,2].  
Если дискриминант положителен (B2 – AC  0), то уравнение 
(1.1) называется гиперболическим. Если дискриминант отрицателен 
(B2 – AC < 0), уравнение (1.1) относится к эллиптическому типу. При 
равенстве нулю дискриминанта (B 2 – AC = 0) уравнение носит название параболического.  
Необходимо указать, что данные уравнения имеют бесчисленное 
множество решений, из которого в рамках конкретной физической 
задачи необходимо выбрать единственное. Это возможно, если заданы начальные и граничные условия. Начальные условия состоят в задании значения искомой функции и ее производной в исходный (начальный) момент времени. Граничные (или краевые) условия определяют значения искомой функции или ее производных на границе рассматриваемой области. 
Эллиптические уравнения описывают установившиеся (стационарные) процессы; задача ставится в замкнутой области, и в каждой 
точке границы этой области задаются граничные условия. Параболи