Матричный анализ и линейная алгебра

УДК 512.83+519.6
ББК 22.143
Т 93

Ты р т ы ш н и к о в Е. Е.
Матричный анализ и линейная алгебра. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 480 с. — ISBN 978-5-9221-0778-5.

В книге излагаются основы матричного анализа, линейной алгебры
и аналитической геометрии, при этом раскрываются глубокие связи
предмета с другими разделами математики и дается представление
о современных тенденциях его развития и приложениях к задачам
численного анализа.
Для студентов и преподавателей факультетов прикладной математики, математики и механики, физических и инженерных специальностей, а также лиц, профессионально применяющих методы матричного
анализа и линейной алгебры.
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской
Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика», «Прикладная математика и информатика».

ISBN 978-5-9221-0778-5

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2007

c⃝ Е. Е. Тыртышников, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Л е к ц и я 1
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.1. Линейные отображения и матрицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2. Умножение матриц . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.3. Ассоциативность умножения матриц . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .
24
1.4. Некоммутативность умножения матриц . .. . . . . . . . . . . . . . .
25
1.5. Сложение матриц и умножение на число . .. . . . . . . . . . . . . .
25
1.6. Умножение блочных матриц . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.7. Вычислительный аспект умножения матриц. .. . . . . .. . .. . . . .
26
1.8. Хороша ли программа? . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.9. Метод Винограда . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.10. Метод Штрассена . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.11. Рекурсия для (n × n)-матриц. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

Л е к ц и я 2
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.1. Множества и элементы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2. Отображения, функции, операторы . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . .
31
2.3. Алгебраические операции . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.4. Ассоциативность и скобки. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.5. Ассоциативность при умножении матриц . .. . . . . . . . . . . . . .
33
2.6. Группы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
33
2.7. Примеры абелевых групп. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.8. Группа невырожденных диагональных матриц . .. . . . . . . . . .
34
2.9. Группа невырожденных треугольных матриц . .. . . . .. . . . . . .
35
2.10. Подгруппы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

Оглавление

2.11. Степени элемента . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.12. Циклические группы. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

Л е к ц и я 3
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.1. Система линейных алгебраических уравнений . .. . .. . . .. .. . . .
37
3.2. Линейные комбинации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.3. Линейная зависимость . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.4. Линейная независимость . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.5. Транзитивность линейной зависимости . .. . . . . . . . . . . . . .. .
40
3.6. Монотонность числа линейно независимых векторов . .. . . . .
40
3.7. Базис и размерность . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.8. Дополнение до базиса . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.9. Существование базиса. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.10. Совместность системы линейных алгебраических уравнений
43

Л е к ц и я 4
. .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.1. Индикатор линейной зависимости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.2. Подстановки и перестановки . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.3. Циклы и транспозиции . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.4. Четность подстановки . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . .
47
4.5. Единственность индикатора линейной зависимости . .. .. .. . . .
49
4.6. Определитель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

Л е к ц и я 5
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
52
5.1. Определитель транспонированной матрицы . .. . . . . .. . . . . . .
52
5.2. Определитель как функция столбцов (строк) матрицы . .. . . .
53
5.3. Существование индикатора линейной зависимости. .. . . . . . .
54
5.4. Подматрицы и миноры. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.5. Замечание о подстановках . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.6. Разбиение множества подстановок на подмножества . .. . . . .
56
5.7. Теорема Лапласа. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
58
5.8. Определитель блочно-треугольной матрицы . .. . . . . . . . . . . .
59

Л е к ц и я 6
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
6.1. Обратная матрица . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

Оглавление
5

6.2. Критерий обратимости матрицы. .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
61
6.3. Обращение и транспонирование. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
6.4. Группа обратимых матриц . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
6.5. Обращение невырожденной матрицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
63
6.6. Правило Крамера . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
64
6.7. Определитель произведения матриц. .. . . . . . . . . . . .. . . . . . .
64
6.8. Обратимость и невырожденность. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65

Л е к ц и я 7
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
7.1. Разделение переменных и матрицы . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .
67
7.2. Скелетное разложение. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
67
7.3. Ранг матрицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
7.4. Окаймление обратимой подматрицы. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
7.5. Теорема о базисном миноре . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
70
7.6. Ранги и матричные операции. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
7.7. Однородная система линейных алгебраических уравнений . .
73
7.8. Теорема Кронекера–Капелли . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
75
7.9. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
7.10. Неустойчивость ранга . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

Л е к ц и я 8
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
8.1. Исключение неизвестных . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
8.2. Элементарные матрицы . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
77
8.3. Ступенчатые матрицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
8.4. Приведение к ступенчатой форме . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
8.5. Приведение к диагональной форме . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
8.6. Эквивалентные матрицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
82
8.7. Метод Гаусса и LU-разложение. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
8.8. LU-разложение и строго регулярные матрицы . .. . . . . . . . . .
83

Л е к ц и я 9
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
9.1. Метод координат. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
9.2. Направленные отрезки . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
86
9.3. Отношение эквивалентности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . .
87
9.4. Свободный вектор . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

Оглавление

9.5. Линейные операции над векторами . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
9.6. Координаты вектора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
9.7. Изоморфизм и линейная зависимость . .. . . . . . . . . . . . . . . .
91
9.8. Коллинеарные и компланарные векторы. .. . . . . . . . . . . . . . .
92
9.9. Прямая на плоскости. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
93
9.10. Плоскость в пространстве . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
9.11. Преобразование координат . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
9.12. Полуплоскости и полупространства . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
96

Л е к ц и я 10
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
98
10.1. Скалярное произведение геометрических векторов . .. . . . . . .
98
10.2. Скалярное произведение и координаты . .. . . . . . . . .. . . . . . .
99
10.3. Об обобщениях . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
10.4. Ориентация системы векторов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.5. Векторное и смешанное произведения . .. . . . . . . . . . . . . . .. . 101
10.6. Векторное произведение в декартовых координатах . .. . . . . . 103
10.7. Смешанное произведение в декартовых координатах . .. . . . . 104
10.8. Нормали к прямой и плоскости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.9. Расстояние от точки до прямой на плоскости. .. . . . . . . . . . . 105
10.10. Расстояние от точки до плоскости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.11. Критерии параллельности вектора прямой и плоскости. .. . . . 106

Л е к ц и я 11
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 108
11.1. Линейные пространства. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.2. Примеры бесконечномерных линейных пространств . .. . . . . . 110
11.3. Примеры конечномерных линейных пространств . .. . . . . . . . 111
11.4. Базис и размерность . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.5. Подпространства линейного пространства . .. . . . . . . . . . . . . 113
11.6. Сумма и пересечение подпространств . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . 114

Л е к ц и я 12
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.1. Разложение по базису . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.2. Изоморфизм линейных пространств. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
12.3. Пространство многочленов . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 118
12.4. Прямая сумма подпространств. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Оглавление
7

12.5. Дополнительные пространства и проекции. .. . . . . . . . . . . . . 122
12.6. Вычисление подпространства. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Л е к ц и я 13
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

13.1. Линейные многообразия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
13.2. Аффинные множества . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
13.3. Гиперплоскости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13.4. Полупространства . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
13.5. Выпуклые множества . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Л е к ц и я 14
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

14.1. Комплексные числа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
14.2. Комплексная плоскость . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 133
14.3. Преобразования плоскости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
14.4. Корни из единицы. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
14.5. Группа корней степени n из единицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . 138
14.6. Матрицы с комплексными элементами. .. . . . . . . . . . . . . . . . 139

Л е к ц и я 15
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

15.1. Кольца и поля. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . 140
15.2. Делители нуля . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . 141
15.3. Кольцо вычетов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
15.4. Вложения и изоморфизмы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
15.5. Число элементов в конечном поле . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 145
15.6. Поле частных . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Л е к ц и я 16
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

16.1. Линейные пространства над полем . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
16.2. Многочлены над полем . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
16.3. Кольцо многочленов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 151
16.4. Деление с остатком. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
16.5. Наибольший общий делитель . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 153
16.6. Значения многочлена и корни . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
16.7. Присоединение корня . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Оглавление

Л е к ц и я 17
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
17.1. Комплексные многочлены . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
17.2. Последовательности комплексных чисел . .. . . . . . . . . . . . . . 157
17.3. Непрерывные функции на комплексной плоскости . .. . . . . . . 158
17.4. Свойства модуля многочлена . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 159
17.5. Основная теорема алгебры. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
17.6. Разложение комплексных многочленов. .. . . . . . . . . . . . . . . . 161
17.7. Разложение вещественных многочленов. .. . . . . . . . . . . . . . . 162

Л е к ц и я 18
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
18.1. Формулы Виета. .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
18.2. Многочлены от n переменных. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
18.3. Лексикографическое упорядочение. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
18.4. Симметрические многочлены . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
18.5. Ньютоновы суммы. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Л е к ц и я 19
. .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
19.1. Алгебраические многообразия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
19.2. Квадратичные многочлены от двух переменных . .. . .. . . . . . . 171
19.3. Поворот декартовой системы координат . .. . . . . . . . . . . . . . . 171
19.4. Сдвиг декартовой системы координат . .. . . . . . . . . .. . . . . . . 173
19.5. Эллипс . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
19.6. Гипербола . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
19.7. Парабола . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . 179

Л е к ц и я 20
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
20.1. Квадратичные многочлены от трех переменных . .. . . . .. .. . . . 181
20.2. Декартовы системы и ортогональные матрицы . .. . . . . . . . . . 181
20.3. Метод вращений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
20.4. Вложенные подпоследовательности . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . 184
20.5. Диагонализация в пределе. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
20.6. Диагонализация вещественных симметричных матриц . .. . . . 186

Л е к ц и я 21
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
21.1. Приведенные уравнения поверхности второго порядка . .. . . . 189

Оглавление
9

21.2. Эллипсоид . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 190
21.3. Однополостный гиперболоид . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
21.4. Линейчатая поверхность . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
21.5. Двуполостный гиперболоид . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 193
21.6. Эллиптический конус . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
21.7. Эллиптический параболоид . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
21.8. Гиперболический параболоид. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
21.9. Цилиндрические поверхности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 194

Л е к ц и я 22
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
22.1. Нормированное пространство . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
22.2. Выпуклые функции и неравенства . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
22.3. Неравенства Г¨ельдера и Минковского . .. . . . . . . . . . . . . . . . 197
22.4. Нормы Г¨ельдера . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
22.5. Зачем нужны нормы?. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
22.6. Нормы в бесконечномерном пространстве . .. . . . . . . . . . . . . 200
22.7. Метрическое пространство . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
22.8. Пределы и полнота . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . 201

Л е к ц и я 23
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
23.1. Множества в метрическом пространстве . .. . . . . . . . . . . . . . 203
23.2. Компактность и непрерывность . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
23.3. Компактность единичной сферы. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
23.4. Эквивалентные нормы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
23.5. Компактность замкнутых ограниченных множеств . .. . . . . . . 207
23.6. Наилучшие приближения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 208

Л е к ц и я 24
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 210
24.1. Евклидово пространство . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
24.2. Унитарное пространство . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
24.3. Билинейные и полуторалинейные формы . .. . . . . . . . . . . . . . 211
24.4. Длина вектора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 212
24.5. Тождество параллелограмма . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
24.6. Ортогональность векторов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
24.7. Ортогональность множеств . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Оглавление

24.8. Ортогональная сумма подпространств . .. . . . . . . . . . . . . . . . 216

Л е к ц и я 25
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
25.1. Матрица Грама . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
25.2. Скалярное произведение в конечномерном пространстве. .. . . 219
25.3. Перпендикуляр и проекция . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 220
25.4. Ортогональные системы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . 222
25.5. Процесс ортогонализации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
25.6. Дополнение до ортогонального базиса . .. . . . . . . . . . . . . . . . 224
25.7. Биортогональные системы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 224
25.8. QR-разложение матрицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 225

Л е к ц и я 26
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
26.1. Линейные функционалы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 228
26.2. Сопряженное пространство . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 229
26.3. Примеры линейных функционалов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
26.4. Размерность дополнительного пространства. .. . . . . . . . . . . . 230
26.5. Линейные функционалы и гиперплоскости. .. . . . . . . . . . . . . 231
26.6. Опорные гиперплоскости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Л е к ц и я 27
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
27.1. Линейные операторы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
27.2. Непрерывность и ограниченность . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
27.3. Операторная норма . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
27.4. Матричная норма . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
27.5. Норма Фробениуса . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
27.6. Сохранение норм. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
27.7. Унитарно инвариантные нормы . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 241
27.8. Сингулярное разложение матрицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Л е к ц и я 28
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
28.1. Матрица линейного оператора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
28.2. Произведение линейных операторов. .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . 246
28.3. Переход к другим базисам. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 247
28.4. Преобразование подобия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248