Методы решения обратных задач, выраженных интегральными уравнениями Фредгольма первого рода

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

ФИЗИКА
2005. №4

УДК 519.6

О. М. Немцова

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ, ВЫРАЖЕННЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ФРЕДГОЛЬМА
ПЕРВОГО РОДА 1

Многие задачи обработки экспериментальных данных сводятся к решению
интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Существует немало математических методов решения этих уравнений. Каждый метод имеет определенные достоинства и недостатки. Поэтому при выборе метода обработки
экспериментальных данных необходимо сопоставить особенности конкретной
задачи с эффективностью применения того или иного метода при её решении.

Ключевые слова: интегральное уравнение Фредгольма первого рода, спектроскопия, Фурье преобразование, регуляризация, априорная информация.

Введение

Цель любого физического эксперимента состоит в получении качественной и количественной информации об объекте исследования на основании набора экспериментальных данных. Обработка, расшифровка и
последующая интерпретация этих данных существенно зависят от того, насколько правильно выбраны физическая модель, математическая модель
и математический метод обработки. Выбор физической модели определяется основными представлениями теории об исследуемом явлении. Математическая модель представляет собой аналитическое описание физического эксперимента. Выбор математического метода определяется тремя
основными критериями: целью обработки, точностью исходных данных и
имеющейся априорной информацией. В настоящей работе сделан обзор
существующих методов обработки экспериментальных данных и даны рекомендации по выбору того или иного метода.

1. Физические задачи, описываемые интегральными уравнениями Фредгольма 1 -го рода

Многие физические задачи математически выражаются интегральными уравнениями Фредгольма первого рода.
Задача определения функции распределения параметров сверхтонкого
взаимодействия из мёссбауровских спектров описывается интегральным
уравнением

Ap ≡
b

a
K(x, ν)p(x) dx = y(ν), ν ∈ [c, d],
(1.1)

1Работа выполнена при поддержке Фонда содействия отечественной науке.

О. М. Немцова

где y(ν) — мёссбауэровский спектр или интенсивность резонансного
поглощения как функция относительной скорости ν ; p(x) — распределение параметра x ; K(x, ν) — функции, задающие форму элементарных
составляющих.
Основной математической моделью задач восстановления сигнала и реставрации изображений являются интегральные уравнения 1 -го рода типа
свертки (одномерное и двумерное):
b

a
H(x − s)y(s) ds = f(x),
(1.2)

V
H(x1 − s1, x2 − s2)y(s1, s2) ds1 ds2 = f(x1, x2)
,

где y(s) — искомый сигнал ( y(s1, s2) — искомое исходное неискаженное изображение), f(x) — регистрируемый сигнал ( f(x1, x2) — искаженное, например дефокусированное, изображение), H(x − s) — аппаратная
функция (H(x1 − s1, x2 − s2) — функция рассеяния точки).
Задача рентгеноспектрального структурного анализа (РССА) определения функции радиального распределения атомов g(r) по осциллирующей части коэффициента поглощения χ(k) описывается интегральным
уравнением

4πρ

k

∞

0
exp(−2Ur/k) sin(2πk + ψ(k))g(r) dr = χ(k),
(1.3)

где f(k) — амплитуда и ψ(k) — фаза — известные функции, ρ —
плотность материала и U параметр затухания — известные константы, k
— модель волнового вектора — переменная, связанная с энергией k ∈ [c, d] .
Задача рентгеновской фотоэлектронной (РФЭС) спектроскопии как одного из наиболее информативных методов неразрушающего анализа тонких поверхностных слоев материалов заключается в решении уравнения
типа свертки

G(E) =
∞

∞
F(E′)H(E − E′) dE,
(1.4)

где G(E) — экспериментально полученный спектр; E — кинетическая
энергия фотоэлектронов; F(E′) — искомый спектр с высоким разрешением; H(E) — функция пропускания прибора.

2. Некорректные задачи

Проблема решения интегральных уравнений 1 -го рода возникает в силу того, что исходные данные известны не точно (экспериментальные данные всегда имеют погрешность), а также в силу необходимости аппроксимации непрерывной задачи дискретным аналогом. В результате приходится решать некорректные задачи.