Ферромагнетик Поттса на иерархиях Мигдала-Каданова и функциональные уравнения

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА

ФИЗИКА
2005. №4

Теоретическая и математическая физика

УДК 538.9

В. П. Бовин, В. Г. Лебедев

ФЕРРОМАГНЕТИК ПОТТСА НА ИЕРАРХИЯХ
МИГДАЛА–КАДАНОВА И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ

Отображение ренорм-группы для модели Поттса на самоподобных (иерархических) решетках в однородном магнитном поле представлено в виде динамической системы. Исследован фазовый портрет полученной системы. Для свободной энергии модели Поттса записано функциональное уравнение, определяющее поведение модели вблизи точки фазового перехода. Вычисленные критические показатели удовлетворяют соотношениям скейлинга, если в качестве
размерности пространства принять размерность самоподобия решетки. Прослежена зависимость критических показателей от характеристик решетки.

Ключевые слова: самоподобие, модель Поттса, иерархические решетки.

Введение

Ренормализационная группа (РГ) для спиновых систем на решетках
Браве, в приближении Мигдала–Каданова, приводит к изучению исходной статистической модели на семействе иерархических решеток (ИР),
построенных рекурсионным образом и называемых иерархиями Мигдала–
Каданова (МКИ). Поскольку точно решаемые системы [1] на регулярных
решетках очень редки, а результаты получаются в основном с помощью
численных методов, то изучение точно решаемых спиновых систем на
ИР [2] является интересной задачей, привлекающей к себе значительное
внимание. В работах [3–8] изучались критические свойства моделей Изинга и Поттса на ИР. В [9, 10] рассматривались неупорядоченные модели
Изинга, Поттса, Ашкина–Теллера, в работах [11,12,14–17] — критические и
фрактальные свойства спиновых стекол Изинга и Поттса, а также влияние
случайного магнитного поля. В работе [18] изучалось поведение квантовой
модели Гейзенберга, а в работе [19] обсуждается изменение типа фазового
перехода на ИР вследствие неоднородности системы.

1. Параметры ИР

Рекурсионное построение ИР можно рассматривать как результат бесконечного числа итераций. Каждая итерация состоит в переходе от графа
Gn к графу Gn+1 с помощью некоторого скелетного графа Gs. Таким
образом, под Gn понимается граф с выделенными вершинами A и B ,
полученный в результате n итераций. В качестве начального графа G0
выбирается одно ребро, на концах которого находятся вершины A и B.

В. П. Бовин, В. Г. Лебедев

Пример такого построения приведен на рис. 1a для “бубновой” решетки,
являющейся частным случаем МКИ (см. рис. 1b).

Рис. 1. a) Итерационное построение бубновой решетки на двух первых шагах; b) скелетный граф для иерархии Мигдала–Каданова

Из рекурсионного построения ИР следует, что для них можно ввести
соответствующую характеристику — размерность самоподобия D :

D = logγ P,
(1.1)

где γ – наименьшее число ребер скелетного графа между выделенными
вершинами A и B ; P — полное число ребер скелетного графа.
Но размерность самоподобия не определяет локальных топологических
свойств — существуют решетки с различными скелетными графами и с
одинаковой размерностью самоподобия D. В общем случае выбор параметров ИР связан с вопросом о существовании классов универсальности [20,21]. На решетках Браве класс универсальности определяется лишь
размерностью решетки и симметрией параметра порядка. В случае ИР ситуация более сложная, что приводит к нарушению универсальности для
показателей модели Изинга на МКИ. В качестве переменных, коррелирующих с показателями на ИР, кроме размерности самоподобия D предлагалось рассматривать связность Q. Но для МКИ D = 1 + Q, поэтому в
данной работе по аналогии с регулярными решетками в качестве локального параметра ИР используется среднее координационное число z:

z = lim
n→∞
2Rn
Kn
= 2r − 1

k
.
(1.2)

В последнем выражении Rn и Kn — полные числа ребер и вершин ИР на
n -м шаге построения; r и k — соответственно число ребер и внутренних
вершин скелетного графа.

2. Ферромагнетик Поттса в отсутствие магнитного поля

Энергию ферромагнитной модели Поттса запишем в стандартном виде:

−βH = J
⟨ij⟩
δ(σi, σj),
(2.1)