Количественный анализ в экономике и менеджменте

КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ 

В ЭКОНОМИКЕ 

И МЕНЕДЖМЕНТЕ

Москва
ИНФРА-М
2017

УЧЕБНИК

В.А. Малугин
Л.Н. Фадеева

Допущено 
Учебно-методическим объединением по классическому
университетскому образованию в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика»

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.172я73
 
М18

Малугин В.А.
Количественный анализ в экономике и менеджменте : учебник / В.А. Малугин,  Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев [и др.]. — М.: ИНФРА-М, 2017. — 615 с. + Доп. материалы [электронный ресурс; 
режим доступа http://www.znanium.com]. — (Высшее образование: 
Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-004832-1 (print)
ISBN 978-5-16-100138-7 (online)

В книге рассмотрены основные разделы математики — как элементарной, 
так и высшей, включая теорию вероятностей и математическую статистику. 
Математический инструментарий затем использован в экономических приложениях (эконометрика, микроэкономика). Полученные знания применены в 
создании моделей экономики и управления и изучении методов их анализа, 
в решении задач по оптимизации.
Материал снабжен большим количеством примеров и иллюстраций, а также задачами для самостоятельного решения. Теоретический и практический 
курс количественного анализа рассчитан на два учебных года.
Для студентов и преподавателей вузов и факультетов экономического профиля.
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.172я73

М18

О б  а в т о р а х:
Малугин В.А. — кандидат физико-математических наук, доцент;
Фадеева Л.Н. — кандидат физико-математических наук, доцент;
Лебедев А.В. — кандидат физико-математических наук, доцент;
Павлова Л.С. — кандидат экономических наук, доцент;
Слепак Б.Э. — кандидат экономических наук, доцент

Р е ц е н з е н т ы:
Алехин Е.И. — канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой математического и информационного анализа экономических процессов ГОУ ВПО «Орловский государственный университет»;
Максимов В.П. — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры информационных систем и математических методов в экономике 
Пермского государственного университета

© Коллектив авторов, 2014
ISBN 978-5-16-004832-1 (print)
ISBN 978-5-16-100138-7 (online)

Материалы, отмеченные знаком 
, доступны 
в электронно-библиотечной системе znanium (www.znanium.com)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Предисловие

Антицитата: «высшая математика убивает 
креативность».

А.А. Фурсенко,
министр образования и науки РФ,  
о преподавании математики в школе  
(РИА «Новости», 12 февр. 2009)

Математический курс с приложениями в экономике и менеджменте читается студентам по семестрам последовательно в течение 
двух лет. Он написан преподавателями, ряд лет ведущими занятия по 
соответствующим дисциплинам на отделении экономики и менеджмента. По нему старательный студент самостоятельно реально может 
научиться основам количественного анализа. 
Цель, которую ставит перед собой коллектив преподавателей, не 
сводится к тому, чтобы дать студенту сумму знаний. Цель в другом. 
Знания со временем устаревают, технологии меняются. Что же 
остается у студента, когда-то закончившего университет? 
В течение всех лет преподавания в университете идет процесс интеллектуального воспитания и развития студента. Ему прививается 
научный подход к решению проблем экономики и управления. Достигается это на основе материала книги в процессе живого общения на 
лекциях и семинарах. Студент обучается логическому мышлению, применению системного подхода, использованию современных достижений науки в своей деятельности. Кроме того, он начинает понимать, 
как надо учиться, чтобы достичь успеха, и что надо учиться всегда. Научный метод, плюс умение логически мыслить, плюс фундаментальные 
знания вооружают его на всю жизнь. В этом мы видим достоинство 
университетского образования в науке экономики и управления.
В последние десятилетия научно обусловленный подход в управлении приобретает все большее значение в жизни людей. Слабое 
руководство предприятием или фирмой приводит к банкротству. Непродуманные действия по управлению экономикой регионов и государств приводят к провалам в экономической политике и понижают жизненный уровень людей. Отсутствие внимания к научным 
достижениям и научно обоснованным прогнозам развития человечества в области экологии, политологии, социологии и т.д. со стороны надгосударственных организаций (ООН, ЕС и др.) приводит к 
развитию «болезней» человечества, лечение которых потом дорого 
будет обходиться потомкам. 

Считается, что «фундаментальность университетской подготовки 
требует знаний не только специальных, но и общих» в сфере бизнеса 
и управления, причем к общим относят язык, физкультуру и математику. На наш взгляд, изучение математики с ее приложениями в 
области экономики и управления для управленческих специальностей играет иную, неизмеримо более важную роль.
Научная мысль — это не поток ощущений, эмоций или аморфного сознания, это логическая цепочка рассуждений и вычислений, 
в конце которой, как правило, содержится ответ на поставленный 
вопрос. Умение сформулировать проблему, построить научную модель развития исследуемого объекта, найти и просчитать решение, 
правильно его интерпретировать — прерогатива высоко научно-образованных людей. Расцвет в большинстве научных отраслей в значительной степени определяется тем, насколько глубоко математика 
проникла в эти отрасли, насколько серьезно исследователи используют математический аппарат в своей работе. 
Ближе других по роду деятельности к решению проблем бизнеса и 
управления стоят специалисты по политологии, по государственному 
управлению, по менеджменту. Именно они в первую очередь должны 
обладать логическим мышлением, применять научный метод к 
сложным проблемам. Ни одна наука не учит так эффективно умению 
размышлять, из причин выводить следствия, обосновывать свои выводы, как математика. Четкие законы математики исключают расплывчатость, туманность, многозначность суждений. Если хочешь 
научиться логически мыслить, решай задачи по математике. Еще один 
важный аргумент в пользу занятий математикой — известный ответ. 
Если исследователь нашел идею, верно использовал формулы, не 
сделал ошибок в расчетах, он получит правильный ответ. Правильными ли были его действия при решении проблем в экономике, бизнесе, управлении и т.д., можно узнать спустя длительное время. 
Каждое неверное решение на рабочем месте — это не только чувство 
неудовлетворенности, это еще и материальные и финансовые потери: 
как минимум — исследователя, как максимум — целого государства. 
Математика не сводится к решению уравнений или нахождению 
интегралов. На математическом языке строятся модели экономических, социологических, политологических проблем. Разработаны 
методы их решения. Если аккуратно с учетом основных особенностей построена, например, экономико-математическая модель, 
то, варьируя ее параметры и анализируя решение, можно разобраться 
в том, какие действия следует предпринять для решения реальной 
экономической проблемы. Перед принятием управленческого решения нужно проиграть ситуацию на модели. 

Данный учебник дает будущему специалисту в области бизнеса и 
управления возможность развить в себе навыки логического мышления 
даже в том случае, если его знания далее четырех действий арифметики 
не распространяются. Познакомившись с основными математическими идеями и инструментами, он затем научится строить математические модели, анализировать их, а следовательно, с большим успехом 
находить правильные решения. Структура книги построена так, что, 
разобравшись с элементарной математикой и познакомившись с 
идеями высшей, будущий специалист выходит на экономико-математические и управленческие задачи, размещенные во второй части — 
«Количественные методы в экономике и управлении». Одним из основных разделов здесь является теоретический курс исследования операций, т.е. применение научного подхода к сложным проблемам, 
возникающим в управлении сообществами людей, совокупностью 
машин, финансовыми потоками. Исследование операций — раздел на 
стыке математики, экономики и управления, предназначенный дать в 
руки менеджеру всю мощь науки для нахождения идей разрешения 
проблем и реализации этих идей наилучшим образом. Исследование 
операций позволяет обосновывать и использовать методы математического моделирования различных процессов в экономике, социологии, управлении, психологии, строить экономико-математические 
модели, подвергнув их анализу, выбирать оптимальные решения.
Материал учебника преподносится в доступной форме, отличается 
системным подходом к изложению. Лекции сопровождаются достаточно большим количеством задач и упражнений с ответами. Математическая теория и специально подобранные задачи в одной книге 
позволяют легко сочетать лекции и семинары в процессе обучения. 
Часть задач решена, но большая часть предложена для самостоятельного решения или разбора на семинарских занятиях. Реализованная 
в книге идея объединить математическую и экономическую теорию, 
а также сборник задач и упражнений важна для успешной работы преподавателя и студента в условиях новых стандартов высшего образования третьего поколения, предполагающих наличие в учебном плане 
как аудиторных часов, обязательно включающих «контактную» часть, 
так и времени на самостоятельную работу. 
Особенностью книги является краткий курс по элементарной математике, предваряющий разделы высшей математики. Он позволяет 
школьникам подготовиться к изучению высшей математики, а студентам — повторить или вновь освоить некоторые разделы школьной 
математики, без которой восприятие высшей невозможно. Книга, 
таким образом, содержит весь математический аппарат, необхо

димый будущему предпринимателю или менеджеру при получении 
им высшего образования, начиная со школьной алгебры и заканчивая теорией оптимизации в управлении.
Значительная часть материала учебника посвящена классическим 
методам теории оптимизации и включает в себя такие важные части, 
как метод Лагранжа, используемый при нахождении условного экстремума, симплекс-метод и др. На этой основе рассматриваются 
важные теоретические экономико-математические оптимизационные задачи, ориентирующие обучающегося не только на качественное, но и на количественное обоснование принимаемых решений по оптимизации. 
Количественный анализ для экономических и управленческих специальностей — развивающийся предмет. В учебный курс в силу недостаточного количества часов не включены многие разделы, полезные 
экономисту и управленцу в их практической деятельности. И тем не 
менее, авторы надеются, что материал, изложенный в книге, будет 
полезен также обучающимся по родственным специальностям:
080105 «Финансы и кредит»;
080111 «Маркетинг»; 
080109 «Бухгалтерский учет и аудит»;
080301 «Коммерция, торговое дело»;
080502 «Экономика и управление на предприятии»;
080504 «Государственное и муниципальное управление»;
080505 «Управление персоналом»;
080507 «Менеджмент организации»;
080700 «Бизнес-информатика»;
080801 «Прикладная информатика в экономике».
Основной единицей деления учебника является раздел, посвященный, как правило, одной дисциплине. В каждом разделе рассматриваются базовые понятия, без которых не возникает понимания дисциплины в ее целостности. Затем изучается материал, 
менее значимый для самой дисциплины, но существенный для дальнейшего изложения количественных методов в экономике и управлении. Все эти разделы в той или иной степени читались учащимся. 
Раздел 1, 2, 3 — Малугин В.А.; раздел 4 — Фадеева Л.Н., Лебедев А.В.; раздел 5 — Фадеева Л.Н. (главы 16–20, 22), Фадеева Л.Н., 
Лебедев А.В. (глава 21); раздел 6 — Малугин В.А. (глава 23); Фадеева Л.Н., Лебедев А.В. (глава 24, п. 1, 2, 3); Лебедев А.В. (глава 24, 
п. 4, глава 25); раздел 7 — Малугин В.А. (главы 26, 27, 28, 30, 31); 
 Павлова Л.С., Слепак Б.Э. (глава 29).

Часть I
МатеМатиЧеские основы 
эконоМиЧеского анализа

раздел I
основные Понятия  
элеМентарной МатеМатики

глава 1
арифМетика и алгебра

1.1. оЧерк развития МатеМатики

источники и движущие силы  
зарождения и первых шагов математики
Слово «математика» происходит от греческого mathematike, что 
значит знание, наука. В древности это была наука о числах (арифметика) и наука о формах на плоскости (геометрия). Математические 
знания независимо и параллельно возникали у разных народов.
Как арифметика, так и геометрия выросли из потребностей обыденной жизни, были обусловлены запросами хозяйствования, сводившимися к счету предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей 
архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим 
расчетам, навигации. Развивающаяся торговля требовала количественного выражения в торговых операциях. Землемерные работы 
при продаже или покупке земли с возвращением рек в свои русла 
после разливов нуждались в геометрических построениях и вычислениях. 
Другой движущей силой являлось осмысление действительности, 
философские исследования. Они требовали абстрактных логически 
обусловленных построений. Происходила формализация философских рассуждений. Математические рассуждения отходили от 

конкретных объектов. Исследование абстрактных форм приводило 
к новому математическому знанию, которое затем возвращалось к 
материальной действительности в виде умения решать практические 
задачи. Математика выделилась из науки философии при ее формализации и соединилась с простым счетом и геометрическими построениями предприимчивых и образованных людей. 
Параллельно с развитием элементов математики проводились 
астрономические исследования. Наблюдения за движением звезд требовали количественных отношений. Астрономия являлась первой 
научной областью, которая предъявила математике свои особые и 
очень большие требования. Это привело к раннему развитию тригонометрии. 
Развитие различных разделов математики в значительной мере 
подогревалось любознательностью образованных представителей 
общества. Математика, осознавшая себя как научное направление, 
начала ставить перед собой задачи, которые, казалось, уже не имели 
непосредственного практического применения. Во времена Пифагора начала развиваться, например, теория чисел. Религиозное мировоззрение Древнего мира наложило свой отпечаток на эти ростки. 
Числовым соотношениям приписывались магические значения. 
Одни числа считались расположенными к людям, другие несли негативный мистический оттенок, приносили несчастья, их боялись и 
старались не употреблять в счете. 
Наибольшего развития элементы математики достигли в древней 
Греции к VI–V вв. до н. э. В результате накопления достаточно большого фактического материала, суммирования и осмысления большого количества разрозненных знаний складывалось понимание 
математики как самостоятельной науки — науки элементарной математики, содержащей в себе арифметику, теорию чисел, начала 
геометрии и алгебры. Само слово «алгебра» появилось много позже. 
Основы математической науки закладывались как систематическое 
и логически последовательное построение. 
Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т.д.) 
приводят к появлению названий и обозначений простейших 
дробных чисел и к разработке приемов выполнения арифметических 
действий над дробями. Появились первые математические доказательства. Математика, как и все научное и художественное творчество, перестала быть безымянной. Она создается теперь известными по именам математиками, оставившими после себя математические сочинения. К сожалению, многие из них не дошли до 
нас даже в отрывках. 

геометрия евклида — первая естественно-научная теория
В V–III вв. до н.э. научная жизнь сначала сосредоточивается в 
Афинах, через два столетия после завоеваний Александра Македонского перемещается в Александрию. Нам известны имена первых 
греческих геометров и философов Фалеса Милетского и Пифагора 
Самосского. Значительный вклад в развитие геометрии сделали Евклид и Архимед.
В Афинах, а особенно в Александрии, куда стекались образованные представители эллинистического общества, где объединялись различные мировые культуры, греческая математика достигла 
своего высшего расцвета. Этому способствовало невиданное ранее 
по своей широте государственное покровительство науке. Александрийские библиотеки обладали огромной притягательной силой. 
Наиболее значительным сочинением этого времени из дошедших 
до нас в копиях и комментариях поздних авторов, явилось сочинение 
«Начала» Евклида. Оно не было энциклопедией математических 
знаний своей эпохи, поскольку многие математические достижения 
того времени в нем отсутствовали. Но другие разделы были изложены 
столь подробно и последовательно, что на многие века стали образцом математического учебника, по которому учились студенты, 
которым как справочником пользовались ученые и вообще образованные люди. «Начала» Евклида посвящены элементарной геометрии, методам нахождения площадей и объемов, теории чисел, 
алгебре и некоторым другим разделам. Евклид подвел итог трехсотлетнему развитию греческой математики. «Начала» построены по так 
называемой дедуктивной системе. Сначала приводятся определения, 
постулаты и аксиомы, затем теоремы. Постулаты посвящены возможности выполнения некоторых геометрических построений, аксиомы 
вводят некоторые предложения, касающиеся свойств отношений равенства и неравенства между величинами. Первый постулат, например, утверждает, что «от всякой точки до всякой точки можно 
провести прямую линию», а первая аксиома говорит: «Равные одному 
и тому же равны между собой». Затем формулируются теоремы, одна 
из которых — теорема Пифагора. Приводятся их доказательства, которые служат образцом научной строгости. Метод изложения материала, основательность и строгость в изложении привели к тому, что 
геометрия Евклида признана первой естественно-научной теорией.

основные этапы развития математики
После александрийской эпохи расцвета, увлеченности самых широких слоев образованного общества математикой продолжался рост 

объема научных знаний в этой области. Однако математическая 
наука уже не достигала прежней цельности и глубины, оставаясь 
уделом отдельных ученых. Последующие столетия были эпохой возрастающего влияния религии в жизни общества. Вера и научное 
знание сталкивались. Ученых преследовала инквизиция. Боролись 
между собой научные школы. Например, неясно было, как строить 
фигуры циркулем и линейкой, если существуют несоизмеримые отрезки. В связи с этим еще в III в. до н. э. Аристотелем был наложен 
запрет на применение арифметики к геометрии. Только открытие 
иррациональных чисел позволило разобраться в этой проблеме.
Центр развития наук, в том числе и математики, переместился на 
Восток. В Индии в V–XII вв. развитие математики привело к созданию десятичной системы счисления, к употреблению нуля для 
обозначения отсутствия единиц данного разряда. Была создана алгебра, оперирующая не только дробями, но и иррациональными и 
отрицательными числами.
В Средней Азии и на Ближнем Востоке арабские завоевания, объединение огромных территорий под властью арабских халифов привели к тому, что в течение IX—XV вв. ученые Средней Азии, Ближнего Востока и Пиренейского п-ова пользовались арабским языком. 
Наука здесь развивается в мировых торговых городах и при государственной поддержке. В первой половине IX в. арабский математик 
Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной 
науки. Термин «алгебра» происходит от начала названия сочинения 
Хорезми «Аль-джебр», по которому европейские математики раннего 
Средневековья познакомились, например, с решением квадратных 
уравнений. В связи с астрономическими и геодезическими работами 
большое развитие получила тригонометрия. Выходец из Сирии АлъБаттани ввел в употребление первые тригонометрические функции 
синус и тангенс. Блестящим завершением этой эпохи явилась в XV в. 
деятельность Улугбека, который при своем дворе и обсерватории в 
Самарканде собрал более 100 ученых и организовал долго остававшиеся непревзойденными астрономические наблюдения, вычисление математических таблиц и т.д.

Математический анализ —  
качественный скачок в развитии
С XVII в. начинается новый период развития математики. Центр 
развития наук опять перемещается в Европу. Поворотным пунктом 
в математике была введенная Р. Декартом переменная величина. Количественные отношения стали рассматриваться в процессе их из