Усредненные функции грина уравнения Шредингрера со случайным потенциалом

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ 

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 

Ф И З И К А 
Том 28, № 3 
сентябрь, 1976 

УСРЕДНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 
СО СЛУЧАЙНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 

В. М. Четвериков 

Получены уравнения для одно- и двухчастичных усредненных функций Грина уравнения Шредингера со случайным гауссовым потенциалом. Рассмотрение ведется с помощью метода континуального интегри- 
\ 
рования, позволяющего легко проследить аналогии с соответствующими 
уравнениями и диаграммами в теории поля. 

1. ВВЕДЕНИЕ 

Возможность применения одного и того же математического формализма к совершенно разным физическим задачам давно уже стала привычной, 
хотя и не перестает удивлять. Целью данной статьи является еще одна иллюстрация этого факта на примере усредненных функций Грина уравнения Шредингера со случайным гауссовским потенциалом: 

(1) 
\ih — + , 
*A-V(x,t) 
]G(x,t;x0,T)=m(x-x0)8(t-x), 

L dt 
2m 
J 

G(x, t; x0, т)=0 
при t<%; Ш\ 
x*Rn\ 

<V(x, t)>=v(x, t); <(V(xu tj-vfa, 
tt)) (V(x2, t2)-v(x2, 
t2))> = 

= / l ( * i , t2, #i, X2) . 

Скобки < .» . > означают усреднение по некоторому случайному процессу, 
от которого зависит V(x, t). 

Нас будут в основном интересовать две усредненные функции Грина 
<G(x, t; х0, 0)> и <G(xu t{; x0, 0)G*(x2, t2; x0', 0)>, для которых мы получим уравнения и в некоторых простейших случаях проведем вычисления 
с помощью фейнмановских интегралов по траекториям. Подобная математическая задача возникает в теории сильно легированных полупроводников, в электронной теории аморфных полупроводников и жидких металлов, в электронной теории вещества с большими максвелловскими временами релаксации [1, 2], а также при рассмотрении прохождения коротковолнового излучения через статистически неоднородную среду [3, 4]. 

Использование метода континуального интегрирования [4] позволяет, 
во-первых, проследить связь получаемых уравнений с аналогичными 
уравнениями (Дайсона, Бете — Солпитера) и фейнмановскими диаграммами в теории поля, а во-вторых, обсудить некоторые вопросы теории 
фейнмановских интегралов по траекториям с неаддитивным действием [5]. 

359 

2. ОДНОЧАСТИЧНАЯ УСРЕДНЕННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА 

Нетрудно заметить, что одночастичная усредненная функция Грина 
<G(x, t; ze, 0)> может быть записана в виде континуального интеграла 
по фейнмановской «мере» DFx(x) [4]: 

t 

(2) 
<G(x,t;xtt0)>= 
|я*с(т).(ехр—^-Jv(*(T),T)dx^X 

t 

X6(x (t) -x) 6 (x (0) -s 0) = J £>F* (T) exp | - - j - J i; (ж (т), т) d t 
л 
l 
l 

- -^77 f d Ti f dT2 ^ (Ti> T2, Ж (Ti) , Х (Т2) ) } б (X (t) -X) б (Я (0) -Хо) . 
2A 4 
? 
J 

При этом мы фактически воспользовались характеристическим функционалом для гауссова случайного процесса. 

В работе [5] было показано, что <G>, записанное в виде (2), удовлетворяет уравнению Дайсона 1} 

во 

(3) 
<G(x, t; Хо,0) >=G0(s, t; x0, 0) + J dx J* dx'G0(x, t; x\ x)X 

X J d\i \ dzM{x',%; z, \i)<G(z, \x;x0,0)>, 

где G0(x, t\ x0, 0) является функцией Грина уравнения Шредингера с 
потенциалом v(x, t), a M(x\ т; z, \i) —так называемый массовый оператор (терминология из теории поля), связанный с искомой средней функцией Грина <G> и вершинной функцией Г посредством формулы 

00 
ОО 

(4) 
АГ0г',т;2,ц)=- — J do$dx"$ 
dvj 
dyR(x,a,x',x")X 

- o o 
0 

X<G(x',x;y,v)>Q(v-o)Q(o-ii)r(x"1G;y,v;z,ix). 
Всюду в (З), (4) предполагается, что величины G0(x, t\ у, т), 
<G(x, t; г/, т)> равны нулю при £<т, т. е. что мы выбираем запаздывающие решения. 

Формула (3) эквивалентна уравнению Шредингера с нелокальным 
гамильтонианом 

г 
д 
Пъ 
л 

(5) 
\ih — + >—-Д-РОГ,*) 
\<G(x,t;x0,0)>+ 
I 
at 
2т 
} 

+ —\d\L \ dzM(x, t\z, [i)<G(z, 
\x;x0,0)>=ih8(x—x0)8(t). 

Разумеется, уравнение (5) с учетом соотношения (4) является нелинейным относительно <G>, однако в физических приложениях часто пользуются моделями, в которых массовый оператор предполагается заданным. При таком подходе вопрос об адекватности выбранного М исходной 

4) Для полного соответствия формулы (11) работы [5] с уравнением (3) необходимо в (И) положить 7=i(27i)~l. 

360