О континуальном интеграле в случае неаддитивного действия

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ 
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
Ф И З И К А 
Том 24, № 2 
август, 1975 

О КОНТИНУАЛЬНОМ ИНТЕГРАЛЕ В СЛУЧАЕ 
НЕАДДИТИВНОГО ДЕЙСТВИЯ 

В. М. Четвериков 

Рассматривается интеграл по траекториям в случае неаддитивного 
действия, возникающих в некоторых задачах физики твердого тела и задачах, о распространении излучения в случайных средах. Обсуждаются дополнительные трудности по сравнению с аддитивным действием, возни- 
i 
кающие при работе с подобными интегралами. Для исследуемой функ- 
7 
ции Грина получено интегральное уравнение типа Дайсона, в котором, 
вершинная функция представляется в виде ряда по теории возмущений. 
Для случая квадратичного по траекториям действия приведен точный ответ, из которого следует неунитарность и даже неограниченность функции Грина как оператора из L2 в L2 при определенных значениях параметров. 

В последнее время появились работы, в которых, используя фейнмановский (винеровскйй) интеграл по траекториям, авторы рассматривают 
различные задачи: о распространении излучения в случайной среде [1, 2], 
об энергии и подвижности полярона [3, 4], о поведении электронного газа 
в случайном потенциале [5] и т. д. Многие из этих задач сводятся к вычислению континуального интеграла от неаддитивного действия: 

" 
• л Л 1 ' " 
" 
г 
• 
;- 
Is 

(1) 
G(xt;x00) = )Dx(x)en 
8(x{t)-x)8(x(0)-x0), 

t 
.о 
t 
t 

(2) 
S = J —— dt+yj dxi J 
dx2R{xi,X2\x{xi),x(x2)), 

0 
0 
0 

где функция R симметрична по т4 и т2 и, как правило, зависит лишь от 
разности аргументов ti—т2,. х(х±)—х(т2), что является следствием однородности и стационарности случайного воздействия на частицу, характеризуемого корреляционной функцией R; константа у в общем случае комплексная. 

Явное вычисление континуальных интегралов даже для аддитивного 
действия представляет собой очень сложную задачу, а в случае неаддитивного действия (2), или, иначе говоря, нелокального взаимодействия, ситуация осложняется еще тремя обстоятельствами: 

1) отсутствием полугруппового свойства 

(3) 
G (xt; х00) = J G (xt; xx) G (xx; x00) dx', 

которое обычно является следствием аддитивности действия 

S[xx0]=S[xx']+S[x'xo]; 

3* 
211