Асимптотика тепловых колебаний деформированной кристаллической решетки

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ 
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
ФИ З И К А 
Том 23, №3 
июнь, 1975 

АСИМПТОТИКА ТЕПЛОВЫХ КОЛЕБАНИЙ 
ДЕФОРМИРОВАННОЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ 

В. М. Четвериков 

Рассмотрена асимптотика по малому параметру а динамических 
уравнений для смещения атомов кристаллической решетки при заданной внешней длинноволновой деформации, где а — максимальная длина 
векторов элементарных трансляций. Полученные уравнения в длинноволновом пределе переходят в уравнения теории упругости с переменными коэффициентами. Приводится явный вид асимптотического решения и разбираются некоторые конкретные случаи внешней деформации: 
однородной и в виде плоской бегущей волны. 

В последние годы в связи с развитием экспериментальной техники значительно возрос интерес к анализу прохождения ультразвука через кристалл [1—3]. Одновременно появились и теоретические работы, в основном 
посвященные полуфеноменологическому разбору различных взаимодействий фононов с точки зрения кинетических уравнений [4—7]. 

Данная работа посвящена некоторым аспектам динамики поведения тепловых фононоь идеального неионного диэлектрического кристалла при заданной внешней деформации. В частности, подробно разбирается случай, 
когда внешняя деформация является длинноволновым звуком. 

1. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ 

Пусть равновесное положение %-го атома 1-й элементарной ячейки определяется вектором 1} 

/ 
3 

(1.1) 
х( 
j = x ( / ) + x ( x ) ^ ^ i m a m + x ( x ) , 

m = l . 

где lm — целые числа, совокупность которых мы обозначили через I, аш — 
некомпланарные векторы элементарных трансляций. Отклонение атома от 
положения равновесия обозначим в декартовых координатах в виде суммы 
двух векторов: 

(1.2) 
и(^)+Цх(^Р), 

где первый означает смещение атома за счет тепловых флуктуации, а второй характеризует вынужденное движение атома под действием каких-то 
внешних полей. 

*> Все обозначения в основном соответствуют книге [8]. 

383 

В дальнейшем исследуемой величиной будет ual 
t) , рассмотрение ведется в гармоническом приближении для потенциальной энергии U: 

£/(..., x+g+u, • • •) *U{..., 
x+g,...) + V • 
8U
1 
I 
-и" ( l t) + 

ZKa dtta 1 
£J 
(13) 
% 

+±VVV 
^ — — I 
.•.u*(lt\-ii>("l't\ 

2 ZJZJZJ 
I I \ 
(V \ I u==0 
\x / 
W' /' 

Уравнение движения для тепловых смещений при этом имеет вид 

(1.4) 
«•('.) + £ 
, т о 
,, 
I 
-и-(1'Л+ 

+ . w 

""'(к') 

. +М.. 
и = 0 К') 

Нас интересует следующая задача. Пусть до момента £=0 £ (х( 
К t 1= 

При этом общее решение (1.4) может быть записано в виде [8] 

(1.5) 
й«(* *) = - ^ R e V V e*w4-^— 
0(/,k)e< 

УУУМ, 
^
^ 
. ' ^.(k) 

=i 
к 

Введем величину а==тах|ате|, которая в дальнейшем будет играть роль 

малого параметра. Пусть в момент £=0 медленно «включается» вынужденное движение атомов кристалла £ ( Л . Будем искать асимптотику при 

а-^0 решения задачи Коши для уравнения (1.4), заданного при t<:0 формулой (1.5). 

Для решения поставленной задачи сделаем предположения. 
1. Будем считать, что взаимодействие имеет ближний порядок (корот
кодействие} и область существенного изменения £ / 
Л по I много больше 

области взаимодействия (длинноволновая деформация). В этом случае разность координат между «возмущенными» атомами, равновесное положение 

которых определяется векторамих( 
I и х( 
, \ при условии, что \1—1'\ 

меньше радиуса взаимодействия, может быть записана в виде 

384