Методы проектирования цифровых фильтров

Гадзиковский В.И.







Методы проектирования цифровых фильтров









Москва
Горячая линия - Телеком 2012



 УДК 621.396.6
  ББК 32.811.3
       Г13


   Рецензенты: кафедра цифровых радиотехнических систем Южно-Уральского государственного университета (заведующий кафедрой доктор техн. наук, профессор Ю. Т. Карманов); доктор техн. наук, профессор А. Ф. Котов.

         Гадзиковский В. И.
   Г13 Методы проектирования цифровых фильтров. - М.: Горячая линия-Телеком, 2012. - 416 c.: ил.
         ISBN 978-5-9912-7003-8.
             Рассмотрены методы математического синтеза одномерных скалярных вещественных нерекурсивных и эвристического синтеза рекурсивных цифровых фильтров (ЦФ). Разработаны алгоритмы синтеза одномерных скалярных комплексных ЦФ (нерекурсивных и рекурсивных). Изложены методики расчёта разрядности коэффициентов и операционных устройств одномерных скалярных и векторных ЦФ, а также требуемого быстродействия вычислителя, что необходимо для выбора элементной базы - сигнального процессора (DSP). Приведены примеры моделирования процессов цифровой фильтрации.
             Для научных работников и инженеров, занимающихся проектированием систем цифровой обработки сигналов и цифровым моделированием технических систем, а также для студентов и аспирантов радиотехнических специальностей вузов.
ББК 32.811.3



Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU












   ISBN 978-5-9912-7003-8.                  © В. И. Гадзиковский, 2007, 2012

            © Оформление издательства «Горячая линия-Телеком», 2007, 2012



    Предисловие




    Предлагаемая читателю книга является второй из серии «Цифровая обработка сигналов» (ЦОС). Запланирован выпуск следующих книг по ЦОС:
    Выпуск 1. Теоретические основы цифровой обработки сигналов [1, 2].
    Выпуск 2. Методы проектирования цифровых фильтров.
    Выпуск 3. Аппаратные и программные средства реализации цифровых фильтров.
    Выпуск 4. Области применения цифровой обработки сигналов.
    В книге материал излагается с позиций временного подхода к цифровой обработке сигналов. Последовательно рассмотрены все этапы проектирования одномерных скалярных цифровых фильтров (ЦФ), как вещественных, так и комплексных. Затронуты вопросы расчёта разрядности коэффициентов и операционных устройств вещественных векторных ЦФ.
    Автор стремился подать материал в доступной форме, но на достаточно высоком уровне. Рассмотрено большое количество примеров, иллюстрирующих особенности разработанных методов проектирования ЦФ.
    Методы синтеза скалярных ЦФ (нерекурсивных и рекурсивных) подвергнуты методической переработке и оригинально изложены. При этом многие результаты впервые получены автором.
    Весь материал, касающийся методов проектирования комплексных и расчёта разрядности коэффициентов и операционных устройств векторных ЦФ, получен автором в результате выполнения научно-исследовательских работ и является оригинальным.



1*



     Введение




    Проектирование устройств цифровой обработки сигналов (ЦОС), в частности цифровых фильтров (ЦФ), может осуществляться при наличии разработанных методов, соответствующих математического и программного обеспечений, а также технических средств. Всё это составляет основу систем автоматизированного проектирования (САПР).
    В настоящее время имеются разработанные методики [3, 6, 8, 10, 11, 13] и программные средства проектирования одномерных скалярных вещественных линейных ЦФ*. Программные средства содержатся в системе компьютерной математики MATLAB [52, 54-56].
    Проектирование одномерных скалярных вещественных нерекурсивных линейных ЦФ осуществляется строгими математическими методами синтеза. Математический синтез представляет собой оптимизационную задачу, т.е. задачу поиска наилучшего решения в смысле выбранного критерия. На практике обычно применяют либо среднеквадратический, либо минимаксный критерий оптимальности. При использовании линейной аппроксимирующей функции эта задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Эффективные алгоритмы решения таких систем уравнений содержатся в математическом обеспечении компьютеров и других ЭВМ.
    Проектирование одномерных скалярных вещественных рекурсивных линейных ЦФ в рассмотренной выше постановке приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений. Нелинейные системы уравнений не имеют разработанных универсальных алгоритмов решения. В связи с этим при проектировании рекурсивных ЦФ применяют эвристические методы синтеза. Наибольшее распространение получил метод синтеза рекурсивных ЦФ по аналоговым прототипам. В этом методе вначале осуществляется синтез аналогового нормированного ФНЧ-прототипа. Затем путём денормирования частоты и дискретизации получают передаточную функцию H(z) дискретного фильтра.
    Термин «дискретный фильтр» здесь применяется по той причине, что полученные при решении задачи синтеза значения коэффициентов передаточной функции H(z) определяются с очень высо

*

Классификацию ЦФ см. в [1, 2].



�ведение

5

кой точностью, поскольку решение соответствующих уравнений осуществляется на универсальных ЭВМ в формате с плавающей точкой при большой разрядности вычислителя. Цифровой фильтр обычно реализуется на специализированном вычислителе (DSP) в формате с фиксированной точкой при сравнительно малом числе разрядов, поэтому при реализации ЦФ имеет квантованные значения коэффициентов передаточной функции и квантованные значения отсчётов сигналов.
    Квантование коэффициентов и расчёт разрядности операционных устройств вычислителя, на котором предполагается реализация ЦФ, осуществляется на следующих этапах проектирования.
    Эффекты квантования приводят к специфическим погрешностям цифровой обработки сигналов, называемых шумами квантования. Учёт шумов квантования является важным аспектом проектирования ЦФ. Задача сводится к тому, чтобы выбрать разрядную сетку вычислителя, обеспечивающую при работе ЦФ допустимый уровень выходного шума квантования, определяющего точность цифровой обработки сигналов.
    Возможны два подхода к решению задачи учёта шумов квантования: детерминированный и вероятностный. На практике чаще используют вероятностный подход, дающий более надёжные результаты в среднем. Результаты же, получаемые при детерминированном подходе, гарантируют непревышение шумов на выходе ЦФ заранее установленных пределов. Однако это достигается ценой существенного (возможно, неоправданного) увеличения разрядности операционных устройств ЦФ.
    В системе компьютерной математики MATLAB имеются специализированные пакеты прикладных программ Signal Processing, предназначенные для создания сигналов, анализа и проектирования фильтров (аналоговых и цифровых), а также средства графического интерфейса пользователя (GUI). Последние обеспечивают не только графическое представление сигналов и характеристик фильтров, но и интерактивное управление созданием сигналов и фильтрующих устройств [54]. Кроме того, в системе MATLAB имеется пакет Image Processing Toolbox, предназначенный для обработки изображений*.
    Наконец, используя опубликованные методы проектирования ЦФ [3, 6, 8, 10, 11, 13], разработчик может составить свои оригинальные программы на любом языке программирования высокого уровня, либо в системе компьютерной математики Mathcad. Однако мето

     * По классификации ЦФ [1, 2] соответствующие ЦФ называются многомерными.



Введение

дические и программные средства проектирования ЦФ в настоящее время разработаны только для скалярных вещественных фильтров.
    Что касается одномерных скалярных комплексных и одномерных векторных (вещественных и комплексных), а также многомерных ЦФ, то для их проектирования в известной литературе нет сведений о методиках и программных средствах.
    Основная задача данной монографии состоит в том, чтобы в какой-то мере заполнить этот пробел. В книге использованы математический аппарат, а также классификация, структурные схемы и линейные шумовые модели (модели процессов квантования) ЦФ, разработанные автором в [1, 2].
    В [1, 2] показано, что при выполнении определённых условий одномерный скалярный комплексный ЦФ эквивалентен одномерному вещественному двухкоординатному векторному ЦФ. Там же получены выражения для амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристик скалярных комплексных ЦФ и исследованы их особенности*. Линейные шумовые модели скалярных вещественных ЦФ, в том числе и универсальная шумовая модель Л. Джексона, допускают обобщение на вещественные векторные ЦФ**. Такой подход позволил разработать методику оценки эффектов квантования для скалярных комплексных и вещественных векторных ЦФ. При этом получены расчётные формулы для определения необходимой разрядности вычислителя, на базе которого предполагается реализовать ЦФ.
    Предлагаемые методы синтеза одномерных скалярных комплексных ЦФ базируются на полученных в [1, 2] выражениях для АЧХ и ФЧХ. При этом методы синтеза нерекурсивных комплексных ЦФ являются математическими, а рекурсивных — эвристическими.
    Идея математического синтеза нерекурсивного комплексного ЦФ состоит в представлении квадрата требуемой АЧХ в виде суммы двух составляющих: чётной и нечётной, которые описывают соответствующие одномерные скалярные вещественные нерекурсивные фильтры, методика синтеза которых разработана и изложена в [3, 6, 8, 10, 11, 13]. Сложность этой методики заключается в том, что не удаётся получить формализованный алгоритм построения аппроксимируемых функций по чётной и нечётной составляющим квадрата требуемой

     * В отличие от вещественных фильтров, АЧХ комплексных ЦФ в общем случае не являются чётными, а ФЧХ нечётными функциями частоты.

     ** При этом адекватным математическим аппаратом является теория матриц: сигналы представляются векторами, а связи между ними — матричными уравнениями.



�ведение

7

АЧХ. В каждом конкретном случае приходится довольствоваться интуицией и опытом проектировщика. Остальные этапы синтеза поддаются формализации. Все синтезированные автором комплексные ЦФ данного типа имеют линейные ФЧХ, что важно для неискажённой передачи импульсных сигналов.
    Попытка разработать методику синтеза рекурсивного комплексного ЦФ на основе представления квадрата требуемой АЧХ в виде суммы чётной и нечётной составляющих подобно тому, как это делалось для нерекурсивных комплексных фильтров, успехом не увенчалась (во всех примерах, которые были рассчитаны автором, полученные в результате синтеза АЧХ не совпадали с заданными). Это объясняется тем, что не удалось установить связь между аппроксимируемыми функциями косинусных и синусных блоков комплексного рекурсивного ЦФ с чётной и нечётной составляющими квадрата требуемой АЧХ (см. разд. 5.1).
    Эффективными оказались два других подхода к синтезу рекурсивных комплексных ЦФ. Один из них основан на билинейном преобразовании передаточной функции аналогового фильтра-прототипа, а другой — на экспериментальном подборе положения комплексных полюсов и нулей передаточной функции H(z) на Z-плоскости для получения требуемой АЧХ комплексного ЦФ.
    На основе первого подхода удалось синтезировать цифровые эквиваленты всех типов аналоговых УПЧ с распределённым усилением (с настроенными одноконтурными и двухконтурными каскадами, на расстроенных двойках и тройках одноконтурных каскадов и по смешанной схеме), а на основе второго — цифровой эквивалент УПЧ изображения телевизионного приёмника, реализуемого по квазипа-раллельной схеме.
    Для апробации полученных результатов проведено моделирование процессов цифровой фильтрации. При этом разработаны модели характериографов, позволяющие получить квазистатические и динамические АЧХ, а также осуществлено моделирование переходных процессов в ЦФ.



�лава 1


     Решение аппроксимационной задачи при проектировании одномерных скалярных вещественных стационарных нерекурсивных линейных цифровых фильтров



        1.1. Задачи инженерного исследования и проектирования технических систем и устройств
   Все задачи, с которыми приходится иметь дело в инженерной практике при исследовании, проектировании и эксплуатации технических систем, можно разделить на три группы: 1) анализ, 2) синтез, 3) идентификация (табл. 1.1).


Таблица 1.1

Задача        Вход Система Выход
Анализ         +      +        ?
Синтез         +      ?    +    
Идентификация  ?      +    +    

    Типовая постановка задачи анализа следующая: известна система (структура, характеристики и параметры), известно также входное воздействие (или его характеристики), требуется определить реакцию системы (или ее характеристики). В [1, 2] решаются задачи анализа систем цифровой обработки сигналов. Задача анализа может иметь как самостоятельное значение, так и входить составной частью в процедуру решения задачи синтеза, например при эвристическом (инженерном) синтезе. Данная монография посвящена решению задач синтеза одномерных стационарных линейных цифровых фильтров (вещественных и комплексных).



�роектирование вещественных нерекурсивных ЦФ

9

    Задача синтеза формулируется следующим образом: известен класс входных воздействий, задана желаемая реакция системы (характеристики выходного сигнала), требуется определить систему (ее структуру, характеристики, параметры), отвечающую заданным условиям. Существует два основных подхода к решению задачи синтеза: 1) математический и 2) эвристический (инженерный).
    При математическом синтезе выбирается критерий оптимальности и исходя из условия задачи осуществляется ее математическая формулировка для заданного или выбранного класса систем (например, линейных или нелинейных), т.е. составляются уравнения и (или) другие математические соотношения, решение которых приводит к искомому результату. В этом случае результат синтеза гарантирует получение оптимальной (наилучшей) системы в заданном классе в смысле выбранного критерия оптимальности. Однако провести математический синтез удается далеко не всегда. Во-первых, это связано со сложностью строгого математического описания задачи в условиях априорной неопределенности (не все условия функционирования системы могут быть известны на этапе проектирования); во-вторых, для решения полученных уравнений в математике не всегда имеются разработанные методы; в-третьих, даже при наличии таких методов приходится применять численное решение уравнений; в-четвертых, при большой размерности задачи уравнения не всегда могут быть решены за приемлемое время и с приемлемыми затратами. В связи с этим математический синтез обычно проводят при довольно грубых допущениях, которые позволяют снизить размерность задачи, но при этом снижается также ценность результата ее решения.
    Эвристический (инженерный) синтез предполагает использование накопленного опыта проектирования систем подобного класса. Он предполагает разработку математических моделей системы, анализ функционирования этих моделей, сравнение результатов по выбранным показателям качества и выбор наилучшей модели системы. При этом обычно осуществляется поиск наилучшей структуры и оптимизация параметров системы (при математическом синтезе структура и параметры системы получаются в результате решения уравнений оптимизационной задачи). Таким образом, инженерный синтез осуществляется путем многократного решения задачи анализа для разных математических моделей системы (для разных структур) и при различных сочетаниях параметров. Математический синтез дает «глобальный» результат, т.е. действительно наилучшую систему в смысле выбранного критерия для заданного или выбранного класса систем. Инженерный синтез может гарантировать лишь



Глава 1

«локальный» результат, так как физически нереально проанализировать все возможные структуры при всех возможных сочетаниях параметров системы. Однако при инженерном синтезе удается учесть влияние на работу системы большого числа различных факторов, что делает результат синтеза более надежным. Как показывает опыт разработки различных технических систем, синтезированные эвристическими методами системы по основным показателям качества уступают строго оптимальным, т.е. полученным в результате математического синтеза, системам весьма незначительно. Кроме того, строго оптимальная система может оказаться неприемлемо сложной для реализации, поэтому приходится реализовывать квазиоптимальную систему, которая по основным показателям качества близка к системе, синтезированной эвристически.
    Типовая задача идентификации возникает, например, при физических измерениях, когда известен результат измерения, известны характеристики и параметры измерителя, требуется определить, какое же значение измеряемой величины было на входе измерительной системы.


        1.2. Характеристики одномерных скалярных стационарных линейных цифровых фильтров

    В [1, 2] рассмотрены характеристики одномерных скалярных стационарных линейных цифровых фильтров (ЦФ). Произведем краткий обзор основных результатов.
    • Главной характеристикой цифрового фильтра является алгоритм фильтрации. Алгоритм фильтрации одномерного скалярного линейного ЦФ описывается разностным уравнением
                    м
               п] = g ak x{n — k] — k=o


    Коэффициенты aₖ (к = 0, M) и bₖ к = 1, N) алгоритма фильтрации в случае стационарных ЦФ являются константами (для вещественных ЦФ все коэффициенты вещественные, а для комплексных ЦФ хотя бы один из них — комплексный). У нерекурсивных цифровых фильтров bₖ = 0 (k = 1,N). По алгоритму фильтрации осуществляется построение структурной схемы ЦФ.
    • Передаточная функция одномерного скалярного стационарного

^ bky\n - k.              (1.1)