Теория вероятностей. Примеры и задачи

Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

Издание второе, переработанное

Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК
2014

УДК 519.2(075.8)
Т338

Рецензенты: А. Г. Пинус, д-р физ.-мат. наук, проф.,
Г. Н. Миренкова, кандидат физ.-мат. наук, доц.

Работа подготовлена на кафедре высшей математики
для студентов технических специальностей

Т338
Теория вероятностей. Примеры и задачи : учеб. пособие /
М. Ю. Васильчик , Н. С. Аркашов, А. П. Ковалевский и др. – 2-е
издание, перераб. — Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2014. — 124 с.

ISBN 978-5-7782-2487-2

Настоящее учебное пособие рассчитано на студентов всех технических
специальностей и содержит материал семестрового курса теории вероятностей и математической статистики. Пособие состоит из двух глав и 13 параграфов. Каждый параграф начинается с основных определений и соответствующих формул, которые необходимы для решения задач. В каждом
параграфе приведены решения типичных примеров. Ко всем задачам даны
ответы, а к некоторым задачам — указания по их решению.
Второе издание расширено включением новых задач. Исправлены замеченные опечатки и ошибки в ответах. Часть материала была перенесена
в другие разделы. Изменено оформление.

УДК 519.2(075.8)

ISBN 978-5-7782-2487-2
c
Васильчик М.Ю. , Аркашов Н.С.,
Ковалевский А.П., Назарова Т.М.
Пупышев И.М., Тренева Т.В.,
Хаблов В.В., Шефель Г.С., 2011, 2014
c
 Новосибирский государственный
технический университет, 2011, 2014

Оглавление

Глава 1.
Случайные события
5
§1.1 Элементы комбинаторики
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
§1.2 Алгебра событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
§1.3 Вероятность. Классическое определение вероятности. Непосредственный подсчет вероятностей . . . . . . . . . . . . . .
17
§1.4 Геометрические вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
§1.5 Условная вероятность и теорема умножения . . . . . . . . .
27
§1.6 Формула полной вероятности. Формула Байеса . . . . . . .
32
§1.7 Повторение испытаний. Формула Бернулли . . . . . . . . .
35
§1.8 Локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа. Формула Пуассона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37

Глава 2.
Случайные величины
41
§2.1 Случайные величины с дискретным распределением. Числовые характеристики случайных величин с дискретным распределением
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.1.1
Случайная величина и ее функция распределения . . . . . .
41
2.1.2 Случайные величины с дискретным распределением . . . .
42
2.1.3 Числовые характеристики случайных величин с дискретным
распределением
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.1.4 Примеры случайных величин с дискретным распределением
45
§2.2 Случайные величины с абсолютно непрерывным распределением. Числовые характеристики случайных величин с абсолютно непрерывным распределением . . . . . . . . . . . .
53
2.2.1 Функция и плотность распределения случайной величины
с абсолютно непрерывным распределением
. . . . . . . . .
53
2.2.2 Числовые характеристики случайных величин с абсолютно
непрерывным распределением . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.2.3 Примеры случайных величин с абсолютно непрерывным распределением
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.2.4 Функции от случайных величин с абсолютно непрерывным
распределением
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

3

§2.3 Случайные векторы с дискретным распределением . . . . .
69
2.3.1 Случайные векторы. Случайные векторы с дискретным распределением. Независимость случайных величин с дискретным распределением
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.3.2 Числовые характеристики случайных векторов с дискретным распределением
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
§2.4 Случайные векторы с абсолютно непрерывным распределением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.4.1 Случайные векторы с абсолютно непрерывным распределением. Плотность распределения . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.4.2 Числовые характеристики случайных векторов с абсолютно
непрерывным распределением . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.4.3 Функции от случайных векторов с абсолютно непрерывным
распределением
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
§2.5 Предельные теоремы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.5.1 Закон больших чисел
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2.5.2 Центральная предельная теорема
. . . . . . . . . . . . . . .
90

ПРИЛОЖЕНИЕ. Таблицы
i

Литература
viii

4

Глава 1

Случайные события

1.1
Элементы комбинаторики

СХЕМА ВЫБОРА БЕЗ ВОЗВРАЩЕНИЯ.
Во многих задачах классической теории вероятностей используется комбинаторика, т. е. область математики, в которой изучаются вопросы о том,
сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух правил — правила умножения (правила произведения) и правила сложения (правила суммы).
Правило сложения. Пусть даны два непересекающихся множества: множество A, содержащее n элементов, и множество B, содержащее m элементов. Тогда число способов, которыми можно выбрать один элемент либо из
множества A, либо из множества B, равно m C n.
Правило умножения. Если элемент из множества A можно выбрать n способами и, после произведенного выбора, можно выбрать элемент из множества B
m способами, то выбор пары .a; b/
(a 2 A, b 2 B) в указанном
порядке можно осуществить m 
 n способами.
Правила сложения и умножения распространяются на случай трех и более множеств.

5

Пусть некоторое множество A содержит n элементов, т. е., A D fx1; : : : ; xng.
Размещениемиз n элементов по k элементов (0 ⩽ k ⩽ n) называется любое упорядоченное подмножество множества A, содержащее k элементов.
То есть размещение — это набор из k элементов
xi1; xi2; : : : ; xik


, причем
два размещения считаются различными, если либо в одном из них есть элементы, не входящие в другое, либо при одинаковом составе различен порядок следования элементов. Число размещений Ak
n из n по k вычисляется по
формуле
Ak
n D n .n 1/ .n 2/ : : : .n k C 1/ D
nŠ

.n k/Š;

где nŠ D 1 
 2 
 : : : 
 n D .n 1/Š 
 n. Напомним, считается, что 0Š D 1.
Перестановкойиз n элементов называется размещение из n элементов по
n «местам»:
xi1; xi2; : : : ; xin


. Две перестановки различаются порядком расположения элементов. Число разных перестановок из n элементов вычисляется по формуле
Pn D An
n D nŠ:

Сочетанием из n элементов по k элементов (0 ⩽ k ⩽ n) называется подмножество fxi1; xi2; : : : ; xikg элементов из A (сочетания различаются только
составом элементов, но не их порядком).
Число сочетаний из n по k элементов вычисляется по формуле

C k
n D n .n 1/ .n 2/ : : : .n k C 1/

kŠ
D
nŠ

kŠ .n k/Š D Ak
n

kŠ :

Свойства C k
n : 1) C 0
n D C n
n D 1; 2) C 1
n D C n1
n
D n; 3) C k
n D C nk
n
.
СХЕМА ВЫБОРА С ВОЗВРАЩЕНИЕМ.
Пусть множество A содержит n элементов. Будем составлять упорядоченные подмножества
xi1; xi2; : : : ; xik


из элементов A следующим образом: случайным (произвольным) образом выбирается первый элемент x1,
фиксируется и возвращается обратно. Затем произвольно выбирается второй элемент, фиксируется на втором месте и возвращается обратно. Также
выбирается третий элемент, фиксируется на третьем месте и возвращается
обратно. Процесс продолжается k раз. Полученный набор xi1; xi2; : : : ; xik



называется размещениемсповторениями. Число таких размещений равно nk.
Размещения с повторениями различаются либо составом элементов, либо порядком размещения элементов.
Сочетания с повторениямииз n по k. Рассмотрим элементы n типов. Составим из них набор из k элементов. Тип элементов в наборе может повторяться, а какие-то типы могут отсутствовать. Подсчитаем, сколько разных
по составу, наборов можно получить? Для этого произвольный такой набор

6

выстроим в следующем порядке: вначале друг за другом элементы первого
типа, перегородка, элементы второго типа, перегородка, и так до конца. Если выбираемым элементам сопоставлять единицы, а перегородкам – нули,
то получим последовательность, содержащую k единиц и n 1 нулей. Например, если n D 4 и k D 7, то запись 1101011101 означает, что выбрано два
элемента первого типа,один — второго, три — третьего и один — четвертого.
Последовательность 1110011110 означает, что выбрано три элемента первого типа и четыре — третьего. Элементов второго и четвертого типов в наборе нет. Количество различных по составу наборов совпадает с количеством
способов, которыми можно выбрать места для вписывания n 1 нулей (в
примере три из десяти). Остальные места соответствуют выбираемым элементам и заполняются единицами. Таким образом, для произвольных n и
k, таких возможностей C n1
nCk1. Искомое число обозначают C
k
n и называют
числом сочетаний с повторениями:

C
k
n D C n1
nCk1 D C k
nCk1:

Пусть множество A состоит из n элементов, причем в множестве A есть
k различных типов элементов S1, S2,..., Sk, где множество S1 содержит n1 элементов одного первого типа, S2 — n2 элементов 2-го типа, ..., Sk содержит
nk элементов k-го типа, и n1 C n2 C : : : C nk D n. Число перестановок с
повторениями xi1; xi2; : : : ; xin

 обозначается C n1;n2;:::;nk
n
и вычисляется по
формуле
C n1;n2;:::;nk
n
D
nŠ

n1Šn2Š : : : nkŠ:

Две перестановки с повторениями не различаются, если меняются местами
два элемента из одного подмножества Sj .

Задачи.

1.1. Из пункта A в пункт B ведут три дороги, из B в C — четыре дороги.
Сколькими способами можно проехать из A в C с заездом в пункт B?
Решение. По правилу умножения 3 
 4 D 12.
1.2. Сколько трехзначных чисел можно получить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,
если цифры в числе повторять нельзя?
Решение. A3
5 D
5Š

.5 3/Š D 5 
 4 
 3 D 60.
1.3. Каким числом способов можно усадить 5 человек в пятиместную автомашину?
Решение. Pn D 5Š D 120.

7

1.4. Для выполнения работы нужно выделить группу из четырех среди
десяти человек. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. C 4
10 D 10Š

4Š6Š D 210.
1.5. Группу из 20 человек нужно разбить на три подгруппы из 3, 5 и 12
человек. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. C 3
20 
 C 5
17 D C 3;5;12
20
D
20Š

3Š5Š12Š D 7054320.
1.6. В студенческой группе 15 человек. Сколькими способами можно выбрать:
а) троих студентов на конференцию;
б) троих разных студентов на олимпиады по математике, физике и химии;
в) старосту, профорга и культорга (должности можно совмещать)?
Решение. а) Будем составлять выборки по 3 человека. Порядок в выбор
ке не важен, поэтому общее число таких выборок равно C 3
15 D
15Š
3Š12Š D
13 
 14 
 15

6
D 455.
б) Как и в предыдущем случае, составляем выборки по 3 человека, но так
как олимпиады разные, то выборки будут упорядоченные (порядок студентов в выборке сооответствует выбранным предметам, например, математика — 1, физика — 2, химия — 3). Так как выбираем троих разных студентов,
то имеем упорядоченные выборки без возвращения. Общее число таких выборок A3
15 D 13 
 14 
 15 D 2730.
в) Здесь уже будут упорядоченные выборки с возвращением (должности
можно совмещать). Их число 153 D 3375.
1.7. Брошены 3 игральные кости. По исходам эксперимента составляем
тройки чисел .i; j; k/, где i; j; k — число выпавших очков соответственно на
1, 2, 3 кости. Сколькими способами можно составить: а) такие тройки чисел;
б) такие тройки, в которых нет числа «3»; в) тройки, в которых все числа
различны?
Решение. а) Это будут упорядоченные выборки с возвращением, так как
на разных костях могут выпасть одинаковые числа. Т. е. число таких троек
равно 63 D 216.
б) Цифру «3» убираем из рассматриваемой совокупности в 6 цифр. Тогда
общее число таких троек 53 D 125.
в) Так как цифры должны быть разные, то это будут размещения из 6 по

3 без возвращения. Их число A3
6 D 6Š

3Š D 4 
 5 
 6 D 120.
1.8. В студенческой группе 5 девушек и 10 юношей. Для участия в смешанной эстафете группу разбивают на 5 равных подгрупп. Сколькими способами:

8

а) можно получить эти подгруппы;
б) можно получить подгруппы, в которых будет по одной девушке?
Решение. а) Всего 15 студентов, в каждой подгруппе по 3 человека. Общее
число разбиений равно
15Š

.3Š/5 .

б) Будем отдельно находить число разбиений множества юношей на 5

равных подгрупп:
10Š

.2Š/5 , и также число разбиений множества девушек на 5

равных подгрупп:
5Š

.1Š/5 D 5Š. Тогда число всех разбиений, в которых будет

по 1 девушке и 2 юноши в каждой подгруппе, по правилу умножения будет
равно
10Š

.2Š/5 
 5Š.

1.9. Семь пассажиров садятся в электропоезд, состоящий из четырех вагонов. Каким числом различных способов они могут распределиться в вагонах? Решить задачу в предположении, что: а) нам важно, кто именно в каком вагоне находится; б) нас интересует только число пассажиров в каждом
вагоне.
Решение. а) Это будут размещения с повторениями. Их число 47 D 16384.
б) В этом случае — сочетания с повторениями. Их число C 7
7C41 D C 7
10 D
10Š
7Š3Š D 120.
1.10. Каким числом способов 6 человек могут стоять в очереди?
1.11. а) В финальном забеге принимают участие 20 спортсменов. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест? б) В отборочном туре принимают участие 20 конкурсантов. Сколько существует вариантов определить тройку участников, прошедших отбор?
1.12. Доказать, что среди студентов НГТУ есть по крайней мере два че-
ловека с одинаковыми инициалами. Можно ли это утверждать для потока
из 120 человек?
1.13. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? Дать ответ на тот же вопрос в
предположении, что спуск и подъем осуществляется разными путями.
1.14. Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся на 5?
1.15. Поезд должен состоять из двух багажных, четырех плацкартных и
трех купейных вагонов. Сколькими способами можно сформировать состав,
если купейные вагоны должны стоять в начале, а багажные — в конце?
1.16. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 10 дней. Сколькими способами можно расставить в расписании эти экзамены (на день может приходиться только один экзамен)? Дать ответ на тот же вопрос в предположе
9

нии, что десятый день обязательно должен быть занят экзаменом.
1.17. В автомобиле 5 мест. Сколькими способами пять человек могут
расположиться в нем, если место водителя могут занять только трое из них?
1.18. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если
среди них есть двухтомник, книги из которого должны стоять рядом?
1.19. В гостинице 9 свободных одноместных номеров. Сколькими способами можно расселить в них четырех человек?
1.20. В урне 10 красных и 8 синих шаров. Сколькими способами можно выбрать три шара так, чтобы среди них были два красных шара и один
синий?
1.21. Сколько слов можно образовать из 8 карточек с буквами «ф», «р»,
«а», «г», «м», «е», «н», «т», если слова должны состоять а) из восьми букв, б)
из семи букв, в) из трех букв? Под «словом» понимается любое сочетание
букв в определенном порядке.
1.22. У англичан зачастую дают детям несколько имен, которые не повторяются. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имен 300, а дают ему не более трех имен?
1.23. Сколько различных маршрутов может избрать пешеход, решивший
пройти 9 кварталов, 5 из них — на запад, и 4 — на север?
1.24. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра а) больше предыдущей? б) меньше предыдущей?
1.25. Сколькими способами можно выгрузить 10 одинаковых корзин с
фруктами на 8 этажей дома?
1.26 В колоде 36 карт. Сколькими способами можно: а) вытянуть 3 карты; б) вытянуть 3 карты так, чтобы среди них была одна дама; в) вытянуть
3 карты так, чтобы среди них была дама «пик»; г) вытянуть 3 карты так, чтобы все они были одной масти?
1.27. Сколько различных пятизначных чисел можно написать при помощи цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9?
1.28. В буфете 4 го корпуса НГТУ в меню имеется 5 видов салатов, 6 видов первых блюд и 7 видов вторых блюд. Сколькими способами можно составить обед из трех блюд?
1.29. Колода карт состоит из 52 листов. Наудачу берут 6 карт без возвращения. Сколько способов получить эти 6 карт, чтобы: а) среди них было
5 карт одной масти; б) среди них присутствовали все масти; в) среди них
оказался король «пик»?
1.30. Сколькими способами можно составить четырехзначный номер автомобиля так, чтобы: а) все цифры были разные; б) все цифры были одина
10

ковые; в) было две пары одинаковых цифр; г) было только три одинаковых
цифры? д) было только две одинаковых цифры?
1.31. Бросают 6 игральных костей. Сколькими способами можно получить шестерки чисел, соответствующие числу выпавших очков на гранях
костей, так, чтобы: а) среди них было 3 единицы, 1 двойка и 1 тройка; б)
среди них было 3 одинаковых цифры, а остальные — различные?
1.32. Восемь студентов, дополнительно зачисленных в университет, случайным образом распределяются по 4 группам. Сколькими способами их
можно распределить по группам так, чтобы: а) они распределились поровну по 4 группам; б) все оказались в одной группе; в) по 4 студента попали в
2 группы?
1.33. Девять пассажиров наудачу рассаживаются в трех вагонах. Сколькими способами их можно рассадить так, чтобы: а) в каждом вагоне было по
3 пассажира; б) в одном вагоне было 4 пассажира, в другом — 3, в третьем —
2?
1.34. Сколько различных «слов» («слово» — любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове АГА? в слове MISSISSIPPI?
1.35. Сколько существует шестизначных чисел, у которых на четных местах стоят четные цифры?
1.36. В классе изучается 7 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день должно быть 5 различных предметов?
1.37. Двадцать студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?
1.38. Из двадцати сотрудников лаборатории 5 человек должны выехать в
командировку. Сколько может быть различных составов отъезжающей группы, если 3 руководителя лаборатории (зав. лаб., зам. зав. лаб., главный инженер) одновременно уезжать не должны?
1.39. Сколько прямых линий можно провести через 7 точек, из которых
лишь 3 лежат на одной прямой?
1.40*. Семь яблок, три апельсина и пять лимонов раскладываются в три
пакета по пять фруктов в каждом. Сколькими способами это можно сделать?
1.41. Лифт отправился с четырьмя пассажирами и и останавливается далее на 8 этажах. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта?
1.42. Сколькими способами можно расложить 10 книг на 5 бандеролей
по 2 книги в каждую?
1.43. На грядке растет 9 белых и 6 красных роз. Сколькими способами

11

из них можно выбрать 3 белых и 2 красных для букета?

1.2
Алгебра событий

В теории вероятностей множеству всех элементарных исходов эксперимента ставится в соответствие некоторое множество Ω, называемое пространством элементарных событий. Элементы ω множества Ω называют элементарнымисобытиями. Например, при описании эксперимента «бросание игральной кости», где исходом является выпадение определенного количества
очков, можно использовать пространство Ω D fω1; ω2; ω3; ω4; ω5; ω6g. Здесь
каждому исходу опыта, заключающемуся в том, что выпадет i очков, ставится в соответствие элемент ωi. Событием будем называть любое подмножество A  Ω. В рассмотренном примере A D fω2; ω4; ω6g — событие, соответствующее выпадению четного числа очков.
Суммой событий A и B называется такое событие C D A C B, которое
состоит из всех элементарных событий, принадлежащих по крайней мере
одному из событий A или B. На практике такое событие состоит в том, что
выполняется событие A или событие B, или события A и B вместе.
Произведением событий A и B назовем событие C D A 
 B, состоящее из
элементарных событий, принадлежащих и A, и B. Интерпретируется как
событие, состоящее в совместном выполнении A и B.
Разностью событий A и B называется событие C D A n B, состоящее из
элементарных событий множества A, не принадлежащих B. Интерпретируется как выполнение события A и невыполнение B.
Событие A D Ω n A называется противоположным событию A.
Пример. Производят два выстрела. Событие A — попадание при первом выстреле, событие B — попадание при втором выстреле. Тогда событие
A C B — хотя бы одно попадание при двух выстрелах, AB — два попадания,
A — промах при первом выстреле, AB — попадание при первом выстреле и
промах при втором.
События A и B называют несовместными, если AB D ; (пустое множество).
Пример. Бросается монета. Событие A — орел, B — решка. Тогда AB D
;, так как выпадение одновременно орла и решки невозможно.
Пусть Ω — произвольное пространство элементарных событий. Класс
его подмножеств F называется алгеброй событий, если
1) Ω 2 F,
2) A C B 2 F для любых A 2 F и B 2 F,

12