Колебания. Волны. Оптика. Колебания и волны. Ч.1

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ



    М.П. САРИНА




                КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ, ОПТИКА




            КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ


    Часть 1

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия








НОВОСИБИРСК

2013

УДК 534+535](075.8)
      С 201
Рецензенты:
А. В. Баранов, канд. физ.-мат. наук, доцент;
Ю.В. Соколов, канд. техн. наук, доцент
        Сарина М.П.
С 201 Колебания, волны, оптика. Колебания и волны Ч. 1 : учеб. пособие. / М.П. Сарина. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2013. -100 с.
            ISBN 978-5-7782-2355-4
           В учебном пособии представлена теория по разделу физики колебаний и волн, рассмотрены типичные задачи по теме, подобраны задачи для самостоятельного решения. Учебное пособие может быть использовано преподавателями и студентами при изучении раздела «Колебания и волны».
Работа подготовлена на кафедре прикладной и теоретической физики

Сарина Марина Павловна

КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ, ОПТИКА

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Часть 1
Учебное пособие
Редактор НА. Лукашова
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор И.Е. Семенова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка ЛД. Веселовская

Подписано в печать 25.11.2013. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 300 экз.
Уч.-изд. л.5,8. Печ.л. 6,25. Изд. № 172. Заказ№1515. Цена договорная

Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
УДК 534+535](075.8)
ISBN 978-5-7782-2355-4                     © Сарина МЛ., 2013
                                            © Новосибирский государственный технический университет, 2013

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ


   Окружающий нас мир наполнен периодическими явлениями и процессами, которые повторяются через определенные промежутки времени. Такие процессы называются колебаниями. Примеры колебательных систем показаны на рис. 1.

Пружинный маятник

Колебательный контур

Рис. 1

Камертон

   При колебаниях изменяются характеристики или состояние системы (например, ток в колебательном контуре или смещение от положения равновесия маятника), но каждый раз процесс изменения характеристики проходит через одни и те же фазы. Например, математический маятник периодически отклоняется то в одну, то в другую сторону, проходя через положение равновесия.
   Различные периодически меняющиеся процессы могут иметь разную природу, но при этом описываются одинаковыми уравнениями. Это позволяет выработать единый подход к теории колебаний. При колебаниях происходит попеременное превращение одной формы энергии в другую, например, в механических маятниках кинетическая энергия переходит в потенциальную.
   По характеру взаимодействия с окружающей средой колебания можно разделить следующим образом.
   Вынужденные колебания происходят под воздействием внешнего периодически меняющегося воздействия на систему.

3

   Свободные (собственные) колебания происходят под действием внутренних сил.
   Автоколебания - это колебания, при которых система имеет некоторый собственный запас потенциальной энергии, расходуемый на совершение колебаний (например, механические часы).




1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

   Колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется по закону синуса (косинуса). Колеблющаяся величина (5) меняется со временем (t) по формуле

5 = A cos(ro₀1 + ф₀),

(1.1)

где Л - амплитуда (максимальное значение колеблющейся величины); го₀ - круговая (циклическая) частота, измеряется в радианах, поделенных на секунду (рад/с); го₀1 + ф₀ - фаза колебаний, определяет, какую долю от амплитуды составляет колеблющаяся величина в момент времени t; ф₀ - начальная фаза колебаний, задает первоначальное значение колеблющейся величины.
   Зависимость колеблющейся величины 5 от времени t показана на рис. 2.

Т

t

Рис. 2

    Физическая природа самой колеблющейся величины не имеет никакого значения. Это может быть угол отклонения математического маятника от положения равновесия, удлинение пружины в пружинном маятнике, величина тока в колебательном контуре и т. д.

4

    Период колебаний (Т) - это время, за которое фаза колебаний меняется на 2л . Запишем фазу колебаний в момент времени t:
Ю1 + Фо.                          (1.2)
   Запишем фазу колебаний через период в момент времени (t + Т):
Юо( t + Т) + фо-                    (1-3)

   Фаза колебаний за период меняется на 2л . Поэтому из (1.2) и (1.3) с учетом изменения фазы получим

ю₀ (t + Т) + ф₀ = ю₀1 + ф₀ + 2л.

   Из (1.4) можно найти связь между частотой и периодом:

ю₀ Т = 2л.

(1.4)

(1.5)

   Частотой колебаний (v ) называется количество полных колебаний, совершаемых в единицу времени. Частота колебаний измеряется в герцах (1 Гц - это частота, при которой за 1 с совершается одно колебание) и вычисляется по формуле

1 =®0. Т 2л

(1.6)

   Выведем дифференциальное уравнение, описывающее гармонические колебания. Для этого найдем сначала первую, а затем вторую производную колеблющейся величины s по времени:


              d- - ^t~ (A cos(®₀1 + Ф₀)) = - А ю₀ sin(®₀1 + ф₀); sS-= = —(-Ао>₀ sin(®₀1 + ф₀)) = -Аю₀² cos(®₀1 + ф₀) = dt dt

(1.7)

-®₀² s.

   Из (1.7) можно получить дифференциальное уравнение гармонических колебаний

d² s ,  2
                                ---+ + Юл S = 0.
dt²     ⁰

(1.8)

5

1.1. МЕХАНИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
   Рассмотрим колебания, совершаемые материальной точкой массой т вблизи положения равновесия вдоль оси А. Тогда смещение точки от положения равновесия х можно описать уравнением, аналогичным (1.1):
х = A cos(ro₀t + (р₀).           (1.9)
   Определим силу, действующую на материальную точку. Для этого необходимо найти ускорение из (1.9), дважды его продифференцировав. Первая производная от смещения материальной точки х - это скорость (v):

            dx                               (          л 1
            — = v = - A ы₀ sm(®₀t + ф₀) = Aa>₀ cos I ы₀t + cp₀ + — I. (1.10)
dt                                I          2)

   Мы видим, сравнивая (1.9) и (1.10), что скорость материальной точки максимальна в те моменты времени, когда смещение равно х = 0 (точка проходит положение равновесия). И наоборот, когда смещение точки максимально, скорость точки равно v = 0. На рис. 3 показаны графики зависимости смещения х и скорости v от го₀1 при нулевой начальной фазе <р₀ = 0:

х = A cos rn₀1; v = - Aro₀sin rn₀1.


x A

A

- A

| л I 2л \ Зл I 4л \ 5л LU".n‘.L

v

A®0

5 /Зл\ 5л_ / 7л \ 9л

>®ot

хм


                 - Aco


Рис. 5


6

   Ускорение - это производная от скорости:
а ₌ d_X ₌ dV_ ₌ _А^2 ^ ₜ ₌         .
                   dt¹  dt
   Сила F, действующая на материальную точку, пропорциональна смещению материальной точки и направлена в противоположную сторону от смещения, т. е. сила всегда стремится вернуть колеблющееся тело в положение равновесия:
F — та -_тофх .                  (1.12)

   Определим кинетическую энергию (Т) колеблющейся материальной точки, используя найденную в (1.10) скорость v :

  _.2 mv
2

т (А<в₀ sin(ro₀1 + (р₀))² 2

тА ²®0 2

sin²(ro₀1 + <р₀).

(1.13)

   Потенциальная энергия материальной точки

х       х        х              х
П - _ JFdх — _ Jmаdх — Jтro0хdх — тсу² Jхdх — 0             0        0               0
т оф х² тА ²®0cos²(ro₀1 + (р₀) —-------—-----------------------.
2                2


(1.14)

   Полная энергия материальной точки (Е) - это сумма кинетической (Т) и потенциальной энергий (П):
       т т т тА²ю? . ₂/           ч тА²ю?  ₂z      ч
Е — Т + П — ——°sin²(ro₀1 + (р₀) +-—°cos²(ro₀1 + (р₀) —


     тА²®0/ . ,/ . ч .      2/ . ч\ тА²®²           ,
     —2— ^sin (ro₀1 + (p₀)+cos (ro₀1 + (p₀)) — —^— — const. (1.15)



    Мы видим из (1.15), что полная энергия - величина постоянная, она не зависит от времени, тогда как и кинетическая, и потенциальная энергии меняются с течением времени.


7

1.2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
   Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением
d² v ,
+ ю₀² v = 0.           (1.16)

   Уравнение (1.16) часто записывают в виде
V + и\ = 0.            (1.17)
   Колебания гармонического осциллятора - это модель, применяемая во многих разделах физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный маятник, математический маятник, физический маятник, колебательный контур.

1.2.1. ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИК
   Пружинный маятник - это груз массой т, закрепленный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы (рис. 4).


   Упругая сила F записывается следующим образом:
F = - кх,                    (1.18)
где к - жесткость пружины; х - смещение груза от положения равновесия (рис. 4). Знак «-» показывает, что сила направлена противополож

8

но смещению, т. е. всегда стремиться вернуть груз в положение равновесия.
   Согласно второму закону Ньютона

F — та — тх.

                                                                         (1.19)

   Приравняем (1.18) и (1.19)
тх — - кх,

или

т х + кх - 0.

(1.20)

   Приведем уравнение (1.20) к стандартному виду (1.17), в котором коэффициент при второй производной равен единице:


х +—х — 0 . т

                                                                         (1.21)


   Из (1.21) можно найти собственную частоту колебаний пружинного маятника


к „ , ®0
т

®² ⁻

                      (1.22)


Мы видим из (1.22), что частота колебаний пружинного маятника


зависит от жесткости пружины и массы маятника.


1.2.2. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР

   Колебательный контур - это своего рода «электрический маят

ник», в котором энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и обратно (рис. 5). Колебательный контур представляет собой замкнутую электрическую цепь, состоящую из конденсато
ра С и катушки индуктивности L.
   Рассмотрим процессы, проходящие в колебательном контуре.
   Подключим к контуру заряженный конденсатор с начальным зарядом q₀ и емкостью С и с этого момента начнем отсчет времени t - 0 (рис. 6, а). Напряженность электрического поля в конденсаторе Е направлена от положительно заряженной пластины к отрица
Рис. 5

9

тельной. Тока в цепи нет, и вся энергия, запасенная в контуре, - это 2
энергия электрического поля Т - 2k.,

                                  I                  ,

в

t = о

а

б

Т t = —
4

в

Т о < t <4

I

+

Т

Т

— < t < —

4

2

Т t = —
2

д

Рбс. 6


о

В промежутке времени

Т
< t < — конденсатор начинает разряжать

ся, пои этом появляется ток в контуре Грис. 1, б). В катушке возникает ЭДС, самоиндукции, препятствующая нарастанию тока. Поскольку заряд на конденсаторе уменьшается, энергия электрического поля тоже уменьшается. Энергия магнитного поля наоборот увеличивается, так как возрастают ток через катушку индуктивности и магнитная индукция. Таким образом, энергия электрического поля превращается в энергию магнитного поля.
Т                               z _ ,
   В момент времени t — — конденсатор полностью разряжен (рис. 6, в),

ток в контуре максимальный Iо, и вся энергия электрического поля LIо² перешла в энергию магнитного поля ГТмаги - .


1о